X線回折

結晶は原子の規則的な配列であり、X線は電磁波です。原子は主に原子の電子を介してX線を散乱します。海の波が灯台に当たると灯台から二次的な円形波が発生するのと同様に、X線が電子に当たると電子から二次的な球面波が発生します。この現象は弾性散乱として知られており、電子（または灯台）は散乱体として知られています。規則的な散乱体の配列は規則的な球面波の配列を生成します。これらの波は、破壊的干渉によってほとんどの方向で互いに打ち消し合いますが、いくつかの特定の方向では建設的に加算されます。^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}

X線回折の直感的な理解は、ブラッグの回折モデルから得られます。このモデルでは、特定の反射は、結晶を貫く等間隔のシートのセットに関連付けられており、通常は結晶格子の原子の中心を通過します。特定のシートセットの向きは、3つのミラー指数（h、k、l）によって識別され、それらの間隔はdによって識別されます。ウィリアム・ローレンス・ブラッグは、入射X線が各面から鏡のように散乱されるモデルを提案しました。この仮定から、隣接する面から散乱されたX線は、面とX線の間の角度θによって、経路長の差がX線波長λの整数倍nになるときに、建設的に結合します（建設的干渉）。

${\displaystyle 2d\sin \theta =n\lambda .}$

反射は、既知の波長と散乱角 2θ からミラー指数 (より正確には、逆格子ベクトル成分) が特定されたときに指数付けされたと言われます。このような指数付けにより、単位格子パラメータ、単位格子の長さと角度、およびその空間群が得られます。^{[ 20 ]}

各X線回折パターンは、エワルド球の構成からわかるように、逆格子空間の球面スライスを表します。与えられた入射波数ベクトルk₀に対して、同じ_{エネルギー}を持つ波数ベクトルは球面上にあります。図では、波数ベクトルk₁_はエワルド球上にあり、逆格子ベクトルg₁にもあるため_、ブラッグの法則を満たします。対照的に、波数ベクトルk₂_は、励起誤差と呼ばれるベクトルsだけ逆格子点とg₂と異なります_。結晶学で主に用いられる大きな単結晶では、ブラッグの法則の場合のみが重要です。電子回折やその他のタイプのX線回折では、励起誤差の非ゼロ値も重要になります。^{[ 22 ]}

X線散乱は、結晶内の電子密度によって決まります。X線のエネルギーは価電子のエネルギーよりもはるかに大きいため、この散乱はトムソン散乱、すなわち電磁波と荷電粒子との弾性相互作用としてモデル化できます。

質量mと素電荷qを持つ 1 つの粒子のトムソン散乱の強度は次のようになります。^{[ 21 ]}

${\displaystyle I_{o}=I_{e}\left({\frac {q^{4}}{m^{2}c^{4}}}\right){\frac {1+\cos ^{2}2\theta }{2}}=I_{e}7.94\times 10^{-26}{\frac {1+\cos ^{2}2\theta }{2}}=I_{e}f}$

したがって、電子よりもはるかに重い原子核は、散乱X線にほとんど寄与しない。その結果、原子から検出されるコヒーレント散乱は、系内の電子からの集団散乱を解析することで正確に近似できる。^{[ 20 ]}

入射X線ビームは偏光を持ち、ベクトル波として表されるべきですが、ここでは簡略化のためスカラー波として表します。波の時間依存性は無視し、空間依存性のみに注目します。平面波は波数ベクトルk_で表すことができ、したがって時刻t  =  0における入射波は次のように与えられます。

${\displaystyle A\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {r} }.}$

試料内の位置rにおいて、散乱体の密度をf ( r ) とします。これらの散乱体は、入射波の局所振幅に、 rを中心とした微小体積dV内の散乱体の数を乗じた値に比例する振幅を持つ散乱球面波を生成します。

${\displaystyle {\text{amplitude of scattered wave}}=A\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }Sf(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V,}$

ここでSは比例定数である。

散乱波のうち、出射波数ベクトルがk _outで、スクリーン (検出器) の位置r _screenに到達する波の割合を考えます。エネルギー損失がないため (弾性散乱であり、非弾性散乱ではない)、波長は同じであり、波数ベクトルの大きさも | k _in |  =  | k _{out | となります。光子が}rで散乱されてからr _screenで吸収されるまでの間、光子は位相変化を起こします。

${\displaystyle e^{2\pi i\mathbf {k} _{\text{out}}\cdot \left(\mathbf {r} _{\text{screen}}-\mathbf {r} \right)}.}$

_{スクリーン}rに到達する正味の放射は、結晶全体で散乱されたすべての波の合計である。

${\displaystyle AS\int \mathrm {d} \mathbf {r} \,f(\mathbf {r} )\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \mathbf {k} _{\text{in}}\cdot \mathbf {r} }e^{2\pi i\mathbf {k} _{\text{out}}\cdot \left(\mathbf {r} _{\text{screen}}-\mathbf {r} \right)}=ASe^{2\pi i\mathbf {k} _{\text{out}}\cdot \mathbf {r} _{\text{screen}}}\int \mathrm {d} \mathbf {r} \,f(\mathbf {r} )\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \left(\mathbf {k} _{\text{in}}-\mathbf {k} _{\text{out}}\right)\cdot \mathbf {r} },}$

これはフーリエ変換として記述できる。

${\displaystyle AS\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \mathbf {k} _{\text{out}}\cdot \mathbf {r} _{\text{screen}}}\int d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \mathbf {g} \cdot \mathbf {r} }=AS\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \mathbf {k} _{\text{out}}\cdot \mathbf {r} _{\text{screen}}}F(\mathbf {g} ),}$

ここで、g = k _out  – k _{in は}、ブラッグの法則と上述のエワルド構成を満たす逆格子ベクトルです。反射の測定強度はこの振幅の二乗になります^{[ 20 ] [ 21 ]} 

${\displaystyle A^{2}S^{2}\left|F(\mathbf {g} )\right|^{2}.}$

上記は、結晶領域が、例えば数ミクロン程度の大きさであるが、X線が複数回散乱されるほど大きくはないことを前提としている。これらのいずれかが当てはまらない場合、回折強度はより複雑になる。^{[ 22 ] [ 23 ]}

小規模な回折実験は、通常イメージングプレート検出器と組み合わせた局所的なX線管光源を用いて行うことができます。これらの装置は、比較的安価でメンテナンスが容易であり、サンプルの迅速なスクリーニングと収集を可能にするという利点があります。ただし、生成されるX線の波長は、さまざまな陽極材料の入手可能性によって制限されます。さらに、強度は、陽極の溶融を避けるために利用可能な電力と冷却能力によって制限されます。このようなシステムでは、電子は陰極から沸騰し、約50 kVの強い電位によって加速されます。高速に達した電子は金属板に衝突し、制動放射と、金属の内殻電子の励起に対応するいくつかの強いスペクトル線を放出します。最も一般的に使用される金属は銅で、熱伝導率が高いため容易に冷却でき、強いKα線とKβ_線を生成します。Kβ線は_、薄い（約10 μm）ニッケル箔で抑制されることがあり_ます。最もシンプルで安価な密閉型X線管は、固定陽極（クルックス管）を備え、約2kWの電子ビーム出力で動作する。より高価なタイプは、回転陽極型の光源を備え、約14kWの電子ビーム出力で動作する。    

X線は一般的に、結晶に照射される前に、 X線フィルターを用いて単一波長（単色）に絞り込まれ、一方向にコリメートされます。このフィルタリングにより、データ解析が簡略化されるだけでなく、有用な情報が得られないまま結晶を劣化させる放射線も除去されます。コリメートは、コリメータ（基本的には長い管）を用いるか、緩やかに湾曲したミラーを配置することで行われます。ミラーシステムは、0.3  mm以下の小さな結晶や、150  Åを超える大きな単位格子を持つ結晶に適しています。

より最近の開発としては、マイクロフォーカスチューブがあり、これは回転陽極光源と同等以上のビーム束（コリメーション後）を実現できるにもかかわらず、数キロワットではなく、数十ワットから数百ワット程度のビーム出力しか必要としない。

シンクロトロン放射光源は、地球上で最も明るい光源の一つであり、X線回折や結晶学において最も強力なツールの一つです。シンクロトロンでは、電荷を帯びた粒子（多くは電子）を光速に近い速度まで加速し、磁場を用いて（ほぼ）円形のループ内に閉じ込めることで、X線ビームを生成します。

シンクロトロンは一般的に国立施設であり、それぞれに複数の専用ビームラインがあり、そこでデータが途切れることなく収集されます。シンクロトロンはもともと、素粒子や宇宙現象を研究する高エネルギー物理学者による利用を目的として設計されました。各シンクロトロンの最大の構成要素は電子蓄積リングです。このリングは完全な円形ではなく、多角形です。多角形、つまりセクターの各頂点には、精密に配置された磁石があり、電子の流れを曲げます。電子の軌道が曲げられると、X線という形でエネルギーのバーストが放出されます。

強烈な電離放射線は、特に高分子結晶などの試料に放射線損傷を引き起こす可能性があります。クライオ結晶学は、結晶を液体窒素温度（約100 K）で凍結することで、試料を放射線損傷から保護することができます。 ^{[ 24 ]}クライオ結晶学法は、ホームソース回転陽極光源にも適用されます。^{[ 25 ]} しかし、シンクロトロン放射は、ユーザーが波長を選択できるという利点があり、異常信号を最大化する異常散乱実験を可能にします。これは、単一波長異常分散（SAD）や多波長異常分散（MAD）などの実験において重要です。

自由電子レーザーは、 X線回折および結晶学で使用するために開発されました。^{[ 26 ]}これらは現在利用可能な最も明るいX線源であり、X線はフェムト秒バーストで照射されます。光源の強度は、収集するには小さすぎる結晶の原子分解能回折パターンを解像できるほどです。しかし、強力な光源はサンプルも破壊するため、^{[ 27 ]}複数の結晶を照射する必要があります。各結晶はビーム内でランダムな方向に配向されるため、完全なデータセットを取得するには、数十万個の個々の回折画像を収集する必要があります。この方法、連続フェムト秒結晶学は、多くのタンパク質結晶構造の構造を解明するために使用されており、シンクロトロン光源から収集された同等の構造との違いが指摘されることもあります。^{[ 28 ]}

単結晶回折以外の弾性X線散乱法には、粉末回折、小角X線散乱（SAXS）、および数種類のX線繊維回折などがあり、後者はロザリンド・フランクリンがDNAの二重らせん構造を決定する際に用いた手法である。一般的に、単結晶X線回折はこれらの他の手法よりも多くの構造情報を提供するが、十分な大きさで規則的な結晶が必要となるため、常に利用できるとは限らない。

これらの散乱法は一般的に、波長がわずかにずれた単色X線を使用します。X線回折を行うには、広範囲のX線スペクトル（つまり、異なる波長のX線が混ざったもの）を使用することもできます。これはラウエ法として知られる手法です。これは、X線回折の最初の発見に使用された方法です。ラウエ散乱は、X線ビームへの短い照射時間で多くの構造情報を提供するため、非常に高速な現象の構造研究（時間分解結晶学）に使用されます。ただし、結晶の完全な原子構造を決定するには単色散乱ほど適していないため、比較的単純な原子配列を持つ結晶に適しています。

ラウエ後方反射モードでは、広帯域光源から後方に散乱されたX線を記録します。これは、試料が厚すぎてX線が透過しない場合に有効です。結晶内の回折面は、回折面の法線が入射ビームと回折ビームの間の角度を二等分することを知ることで決定されます。グレニンガー図表^{[ 29 ]}を使用して、後方反射ラウエ写真の解釈を行うことができます。

クーロン力によって相互作用するため、物質による電子の散乱は、X線の場合よりも 1000 倍以上強くなります。したがって、電子ビームは、比較的薄い結晶 (>10 nm) であっても、強い多重散乱または動的散乱を引き起こします。ジョン M. カウリー の著書^{[ 22 ]}に見られるように、 X 線と電子の回折には類似点がありますが、運動学的アプローチやブラッグの法則アプローチではなく、ハンス ベーテ^{[ 30 ]}のオリジナルのアプローチに基づいて相対論的電子のシュレーディンガー方程式を解くというアプローチは異なります。単一原子までの非常に小さな領域に関する情報が得られます。電子回折、透過型電子顕微鏡、高エネルギー電子を用いた透過型電子結晶学の応用範囲は広範です。詳細情報と引用については、関連リンクを参照してください。透過法に加えて、低エネルギー電子回折^{[ 31 ]}は、電子が表面から後方散乱される技術であり、原子スケールでの表面構造を決定するために広く使用されており、反射高エネルギー電子回折は、薄膜の成長を監視するために広く使用されているもう1つの技術である。^{[ 32 ]}

中性子回折は構造決定に用いられるが、十分な量の強力な単色中性子ビームを得ることは困難であった。従来は原子炉が用いられてきたが、核破砕によって中性子を生成する源がますます利用可能になりつつある。中性子は電荷を持たないため、電子よりも原子核から散乱されることが多い。したがって、中性子散乱は、電子の少ない軽い原子、特にX線回折ではほとんど見えない水素の位置を観測するのに有用である。また、中性子散乱には、通常の水（ _H₂O）と重水（D₂O _）の比率を調整することで溶媒を不可視化できるという特性もある。