局所コンパクト量子群

数学と理論物理学において、局所コンパクト量子群は、カッツ代数、コンパクト量子群、ホップ代数のアプローチを一般化する、量子群に対する比較的新しいC* 代数的アプローチです。たとえば乗法ユニタリーを使用した量子群の統一的な定義の以前の試みはある程度の成功を収めましたが、いくつかの技術的な問題にも遭遇しました。

この新しいアプローチを従来のアプローチと区別する主な特徴の 1 つは、左と右の不変重みの公理的な存在です。これにより、局所的にコンパクトなハウスドルフ群上の 左と右のハール測度の非可換類似物が得られます。

局所コンパクト量子群を適切に定義する前に、まずいくつかの予備的な概念を定義し、いくつかの定理を述べる必要があります。

定義（重み）。をC*-代数とし、を の正の元の集合とする。上の重みは、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\geq 0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi :A_{\geq 0}\to [0,\infty ]}$

• ${\displaystyle \phi (a_{1}+a_{2})=\phi (a_{1})+\phi (a_{2})}$すべての に対して、そして${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{\geq 0}}$
• ${\displaystyle \phi (r\cdot a)=r\cdot \phi (a)}$すべておよびについて。${\displaystyle r\in [0,\infty )}$${\displaystyle a\in A_{\geq 0}}$

重みの表記法。 をC*-代数 上の重みとします。次の表記法を使用します。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}:=\{a\in A_{\geq 0}\mid \phi (a)<\infty \}}$これはのすべての正の積分可能要素${\displaystyle \phi}$の集合と呼ばれます。${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\phi }:=\{a\in A\mid \phi (a^{*}a)<\infty \}}$これはのすべての-平方可積分な元の集合と呼ばれます。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }:={\text{Span}}~{\mathcal {M}}_{\phi }^{+}={\text{Span}}~{\mathcal {N}}_{\phi }^{*}{\mathcal {N}}_{\phi }}$であり、これは のすべての-積分可能要素の集合と呼ばれます。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$

重みの種類。 をC*-代数上の重みとします。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$

• ゼロでない各 に対してが忠実であるとき、かつその場合に限ります。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (a)\neq 0}$${\displaystyle a\in A_{\geq 0}}$
• が下半連続であるとは、集合が任意の に対して の閉部分集合である場合に限ります。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \{a\in A_{\geq 0}\mid \phi (a)\leq \lambda \}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda \in [0,\infty ]}$
• が の稠密な部分集合である場合に限り、が稠密に定義されているといい、または同等に、 または のいずれかがの稠密な部分集合である場合に限り、が稠密に定義されているといいます。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$${\displaystyle A_{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\phi }}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }}$${\displaystyle A}$
• が適切であると言えるのは、それがゼロでなく、下側半連続で、稠密に定義されている場合のみです。${\displaystyle \phi }$

定義 (1 パラメータ群)。 をC*-代数とします。上の1 パラメータ群は、すべての に対してを満たすの *-自己同型の族です。 がノルム連続であるとは、任意の に対して、によって定義されるマッピングが連続である場合に限ります (これは強連続と呼ぶべきでしょうか?)。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{t})_{t\in \mathbb {R} }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha _{s}\circ \alpha _{t}=\alpha _{s+t}}$${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \mathbb {R} \to A}$${\displaystyle t\mapsto {\alpha _{t}}(a)}$

定義（1パラメータ群の解析的拡張）。C *-代数 上のノルム連続な1パラメータ群が与えられたとき、 の解析的拡張を定義します。各 に対して、 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle I(z):=\{y\in \mathbb {C} \mid |\Im (y)|\leq |\Im (z)|\}}$、

これは複素平面上の水平方向の帯です。次の条件が満たされる場合にのみ、 関数をノルム正則と呼びます。${\displaystyle f:I(z)\to A}$

• これは の内部に関して解析的です。つまり、の内部の各 に対して、上のノルム位相に関する極限が存在します。${\displaystyle I(z)}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle I(z)}$${\displaystyle \displaystyle \lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(y)-f(y_{0})}{y-y_{0}}}}$${\displaystyle A}$
• それは 上でノルム制限されます。${\displaystyle I(z)}$
• それは 上でノルム連続です。${\displaystyle I(z)}$

ここで、 と 仮定し、${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$

${\displaystyle D_{z}:=\{a\in A\mid {\text{There exists a norm-regular}}~f:I(z)\to A~{\text{such that}}~f(t)={\alpha _{t}}(a)~{\text{for all}}~t\in \mathbb {R} \}.}$

によって定義されます。関数は（複素解析関数の理論によって）一意に決定されるため、確かに明確に定義されています。この族はの解析的拡大と呼ばれます。 ${\displaystyle \alpha _{z}:D_{z}\to A}$${\displaystyle {\alpha _{z}}(a):=f(z)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha _{z}}$${\displaystyle (\alpha _{z})_{z\in \mathbb {C} }}$${\displaystyle \alpha }$

定理 1.集合 はの解析的元の集合と呼ばれ、 の稠密な部分集合です。 ${\displaystyle \cap _{z\in \mathbb {C} }D_{z}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

定義（KMS重み）。をC*-代数とし、上の重みとする。 が上のKMS重み（「KMS」は「Kubo-Martin-Schwinger」の略）であるとは、 が上の適切な重みであり、上 のノルム連続な1パラメータ群が存在し、${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi :A_{\geq 0}\to [0,\infty ]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\sigma _{t})_{t\in \mathbb {R} }}$${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle \phi }$は に対して不変である、すなわち、すべての に対して不変であり、${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \phi \circ \sigma _{t}=\phi }$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$
• あらゆる に対して、 が成り立ちます。${\displaystyle a\in {\text{Dom}}(\sigma _{i/2})}$${\displaystyle \phi (a^{*}a)=\phi (\sigma _{i/2}(a)[\sigma _{i/2}(a)]^{*})}$

を の乗数代数で表します。 ${\displaystyle M(A)}$${\displaystyle A}$

定理 2.およびがC*-代数であり、が非退化 *-準同型（つまり、が の稠密な部分集合）である場合、*-準同型 に一意に拡張できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi :A\to M(B)}$${\displaystyle \pi [A]B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\overline {\pi }}:M(A)\to M(B)}$

定理 3.が 上の状態 (つまり、ノルム の正の線形関数) である場合、上の状態に一意に拡張できます。 ${\displaystyle \omega :A\to \mathbb {C} }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\overline {\omega }}:M(A)\to \mathbb {C} }$${\displaystyle M(A)}$

定義（局所コンパクト量子群）。（C*-代数的）局所コンパクト量子群は、 C*-代数であり、共乗法と呼ばれる非退化*-準同型である順序付きペアであり、次の4つの条件を満たします。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(A,\Delta )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Delta :A\to M(A\otimes A)}$

• 共乗法は共結合的である、すなわち、。${\displaystyle {\overline {\Delta \otimes \iota }}\circ \Delta ={\overline {\iota \otimes \Delta }}\circ \Delta }$
• 集合と はの線型稠密な部分集合です。${\displaystyle \left\{{\overline {\omega \otimes {\text{id}}}}(\Delta (a))~{\big |}~\omega \in A^{*},~a\in A\right\}}$${\displaystyle \left\{{\overline {{\text{id}}\otimes \omega }}(\Delta (a))~{\big |}~\omega \in A^{*},~a\in A\right\}}$${\displaystyle A}$
• 上には左不変な忠実な KMS 重み、つまりすべてのおよびに対して が存在する。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi \!\left({\overline {\omega \otimes {\text{id}}}}(\Delta (a))\right)={\overline {\omega }}(1_{M(A)})\cdot \phi (a)}$${\displaystyle \omega \in A^{*}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$
• 上には右不変な、つまりすべてのおよびに対して となるKMS 重みが存在します。${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi \!\left({\overline {{\text{id}}\otimes \omega }}(\Delta (a))\right)={\overline {\omega }}(1_{M(A)})\cdot \psi (a)}$${\displaystyle \omega \in A^{*}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$

局所コンパクト量子群の定義から、右不変 KMS 重みは自動的に忠実であることが示されます。したがって、の忠実性は冗長な条件であり、仮定する必要はありません。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$

局所コンパクト量子群のカテゴリは、局所コンパクト量子群の双対が元のものと同型であることを証明できる双対構成を可能にします。この結果は、局所コンパクトハウスドルフアーベル群に対するポンチャギン双対性の広範囲にわたる一般化を与えます。

この理論はフォン・ノイマン代数によって同等の定式化が可能である。

• 局所的にコンパクトな空間
• 局所コンパクト体
• 局所コンパクトグループ

• ヨハン・クスターマンスとステファン・ヴァエス。 「局所的にコンパクトな量子群」。高等師範科学誌。 Vol. 33、No.6 (2000)、837 ～ 934 ページ。
• Thomas Timmermann。「量子群と双対性への招待 - ホップ代数から乗法ユニタリーまで、そしてその先へ。」EMS 数学教科書、ヨーロッパ数学協会 (2008)。