完全に切り離された空間

位相幾何学および関連する数学の分野において、完全に不連続な空間とは、連結な部分集合としてシングルトンのみを持つ位相空間のことである。すべての位相空間において、シングルトン（および連結とみなされる場合は空集合）は連結である。完全に不連続な空間では、これらが連結な部分集合のみである。

完全に不連続な空間の重要な例としては、p進整数の集合に同相なカントール集合が挙げられる。代数的整数論で重要な役割を果たすもう 1 つの例として、 p進数の体Q _{p が}挙げられる。

位相空間が完全不連結であるとは、その連結成分が一点集合であるときである。[ ^{1] [2]}同様に、位相空間が完全パス不連結であるとは、その位相空間の全ての パス成分が一点集合であるときである。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

もう一つの密接に関連する概念は、完全に分離された空間の概念、すなわち準成分が単独である空間です。つまり、位相空間 が完全に分離されたとは、任意の に対して、のすべての閉開近傍の共通部分が単独である場合です。同様に、異なる点の各ペアに対して、となる の互いに素な開近傍のペアが存在します 。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle X=U\sqcup V}$

完全に分離された空間はすべて明らかに完全に不分離ですが、その逆は距離空間であっても偽です。たとえば、カントールのティーピーを とします。これは、頂点を取り除いたクナスター・クラトフスキー扇です。すると は完全に不分離ですが、その準成分はシングルトンではありません。局所コンパクトハウスドルフ空間の場合、2 つの概念 (完全に不分離と完全に分離) は同値です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

紛らわしいことに、文献（例えば^[3]）では完全に切断された空間は遺伝的に切断された空間と呼ばれることがあるが、^[4]完全に切断された空間という用語 は完全に分離された空間に対して使用されている。^[4]

完全に切り離された空間の例を以下に示します。

• 離散空間
• 有理数​
• 無理数
• p進数。より一般的には、すべてのprofinite 群は完全に分離されています。
• カントール集合とカントール空間
• ベールスペース
• ソルゲンフライ線
• 小さな帰納的次元0のハウスドルフ空間はすべて完全に不連続である
• エルデシュ空間ℓ 2^は、小さな誘導次元 0 を持たない、完全に不連続なハウスドルフ空間です。${\displaystyle \,\cap \,\mathbb {Q} ^{\omega }}$
• 極端に不連続なハウスドルフ空間
• 石の空間
• クナスター・クラトフスキー扇は連結空間の例であり、1 点を除去すると完全に連結されていない空間が生成されます。

• 完全に不連続な空間の部分空間、積、余積は完全に不連続です。
• 完全に切断された空間は、シングルトンが閉じているため、 T ₁空間です。
• 完全に不連続な空間の連続像は必ずしも完全に不連続であるわけではなく、実際、すべてのコンパクト 距離空間はカントール集合の連続像です。
• 局所コンパクトなハウスドルフ空間は、完全に不連続である場合に限り、小さな誘導次元0 を持ちます。
• 完全に不連続なコンパクト距離空間はすべて、離散空間の可算積の部分集合に同相である。
• 一般に、完全に分離した空間内のすべての開集合が閉じているというのは真実ではありません。
• 一般に、完全に不連続な空間内のすべての開集合の閉包が開いている、つまり、すべての完全に不連続なハウスドルフ空間が極限的に不連続であるというのは正しくありません。

を任意の位相空間とします。 が である場合に限り、 とします(ここで はを含む最大の連結部分集合を表します)。これは明らかに同値関係であり、その同値類は の連結成分です。に商位相、つまり写像を連続させる最も細かい位相を与えます。少し努力すれば、 が完全に不連結であることがわかります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle y\in \mathrm {conn} (x)}$${\displaystyle \mathrm {conn} (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim}}$${\displaystyle m:x\mapsto \mathrm {conn} (x)}$${\displaystyle X/{\sim}}$

実際、この空間は完全に不連続な商であるだけでなく、ある意味では最大の です。次の普遍的性質が成り立ちます。任意の完全に不連続な空間と任意の連続写像に対して、を持つ唯一の連続写像 が存在します。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle {\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y}$${\displaystyle f={\breve {f}}\circ m}$

• 極めて分断された空間
• 完全に孤立したグループ

• マンクレス、ジェームズ・R (2000)。トポロジー（第2版）。アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティスホール社。ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• ウィラード、スティーブン（2004）、一般位相幾何学、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-43479-7、MR  2048350（1970 年のオリジナルの復刻版、MR 0264581）
• クラトフスキ、カジミエシュ (1968)、トポロジー II: フランス語からの翻訳(改訂版)、ニューヨーク: アカデミック プレス [ua]、ISBN 9780124292024