同相群

数学、特に位相幾何学において、位相空間の同相群は、関数合成を群演算とする空間からその空間自体へのすべての同相写像からなる群である。同相群は位相空間の理論にとって重要であり、一般に自己同型群の例であり、群同型の意味で位相的に不変である。

ある空間の同相群のその空間への自然な群作用が存在する。を位相空間とし、 の同相群を で表すとしよう。作用は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\times X&\longrightarrow X\\(\varphi ,x)&\longmapsto \varphi (x)\end{aligned}}}$

これはグループアクションです。 なぜなら、全員に対して、${\displaystyle \varphi ,\psi \in G}$

${\displaystyle \varphi \cdot (\psi \cdot x)=\varphi (\psi (x))=(\varphi \circ \psi )(x)}$

ここで は群作用を表し、の単位元(上の恒等関数) は点を自分自身に送ります。この作用が推移的である場合、空間は同次であると言われます。 ${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

他の位相空間間の写像の集合と同様に、同相群にはコンパクト開位相などの位相を与えることができる。正則な局所コンパクト空間の場合、群の乗法は連続的である。

空間がコンパクトかつハウスドルフである場合、反転も連続であり、位相群となる。がハウスドルフであり、局所コンパクトかつ局所連結である場合も、これは成り立つ。^[1] 局所コンパクト可分距離空間の中には、連続しない反転写像を示すものがあり、その結果、位相群を形成しないものがある。^[1]${\displaystyle \operatorname {ホメオ} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{ホメオ}}(X)}$

特に幾何学的位相幾何学では、 を同位体で割って得られる商群（写像類群と呼ばれる）を考慮します。

${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)={\rm {Homeo}}(X)/{\rm {Homeo}}_{0}(X)}$

MCG は 0 番目のホモトピー群として解釈することもできます。これにより、短い正確なシーケンスが生成されます。 ${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))}$

${\displaystyle 1\rightarrow {\rm {Homeo}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Homeo}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.}$

いくつかの応用、特に曲面では、同相群はこの短い正確なシーケンスを介して研究され、最初に写像類群と同位体的に自明な同相群を研究し、次に（場合によっては）拡張を研究します。

• マッピングクラスグループ

• 「同相群」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]