局所コンパクト体

代数学において、局所コンパクト体とは、位相が局所コンパクトハウスドルフ空間を形成する位相体である。^[1]この種の体は、体が上のノルムから構成される局所コンパクト位相空間であるため、もともとp 進解析で導入された。位相（および距離空間構造）は、代数的数体の類似物をp 進コンテキストで 構築できるようにするため重要である。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle |\cdot |_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

局所コンパクト体上のベクトル空間に対する有用な構造定理の一つは、有限次元ベクトル空間にはノルムの同値類、すなわちsupノルム^{[2] pg.58-59}のみが存在するということである。

局所コンパクト体上の 有限体拡大が与えられた場合、体ノルムを拡張する上で一意の体ノルムは最大で1つ存在する。つまり、${\displaystyle K/F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle |\cdot |_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |\cdot |_{F}}$

${\displaystyle |f|_{K}=|f|_{F}}$

の像にあるすべてのものに対して成り立つ。これは前の定理と次のトリックから導かれることに注意：2つの同値なノルムが、${\displaystyle f\in K}$${\displaystyle F\hookrightarrow K}$${\displaystyle ||\cdot ||_{1},||\cdot ||_{2}}$

${\displaystyle ||x||_{1}$

すると、固定された定数に対して、${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle N_{0}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \left({\frac {||x||_{1}}{||x||_{2}}}\right)^{N}}}$

すべてに対して、のべき乗から生成された数列は に収束するので、 となります。 ${\displaystyle N\geq N_{0}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 0}$

拡大の指数が次数でガロア拡大 である場合（したがって、任意の の最小多項式のすべての解も に含まれる）、一意の体ノルムは体ノルム^{[2] pg. 61}を使用して構成できます。これは次のように定義されます。${\displaystyle n=[K:F]}$${\displaystyle K/F}$${\displaystyle a\in K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |\cdot |_{K}}$

${\displaystyle |a|_{K}=|N_{K/F}(a)|^{1/n}}$

1を拡張したよく定義された体ノルムを持つためにはn乗根が必要であることに注意。なぜなら、そのノルムの像の任意のものが与えられると、${\displaystyle F}$${\displaystyle f\in K}$${\displaystyle F\hookrightarrow K}$

${\displaystyle N_{K/F}(f)=\det m_{f}=f^{n}}$

これは-ベクトル空間上のスカラー乗算として作用するからです。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle K}$

すべての有限体は、離散位相を備えることができるため、局所的にコンパクトです。特に、離散位相を持つ任意の体は、すべての点がそれ自体の近傍であり、近傍の閉包でもあるため、局所的にコンパクトであり、したがってコンパクトです。

局所コンパクト体の主な例としては、p進有理数と有限拡大がある。これらはいずれも局所体の例である。代数閉包とその完備化は、標準的な位相では 局所コンパクト体ではないことに注意すること^{[2] 72ページ。}${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$

体の拡大はヘンゼルの補題を使って見つけることができる。例えば、には解がないので、${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle f(x)=x^{2}-7=x^{2}-(2+1\cdot 5)}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2}-5)=2x}$

は の場合にのみ 0 を法として等しくなりますが、を法として解は存在しません。したがって は2 次体拡張です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle x\equiv 0{\text{}}(p)}$${\displaystyle x^{2}-7}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{5}({\sqrt {7}})/\mathbb {Q} _{5}}$

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