許容される表現

数学において、許容表現は、簡約リー群と局所コンパクト全不連続群の表現論で使用される、行儀の良い表現のクラスです。これらは、ハリシュ・チャンドラによって導入されました。

実数または複素数の簡約リー群

Gを連結な簡約的（実または複素）リー群とする。Kを最大コンパクト部分群とする。複素ヒルベルト空間V ^[1]上のGの連続表現 (π, V )は、π がKに制限されてユニタリであり、 Kの各既約ユニタリ表現が有限重複でその中に現れるとき、許容可能と呼ばれる。典型的な例は、 Gの既約ユニタリ表現である。

許容表現 π は、代数的対象であるため扱いやすい- 加群を誘導します。2 つの許容表現は、それらの関連する - 加群が同型である場合に無限小同値であると言われます。一般の許容表現の場合、この概念は通常の同値とは異なりますが、2 つの同値の概念がユニタリ (許容) 表現に対して一致することは重要な結果です。さらに、 - 加群のユニタリ性の概念があります。これにより、 Gの既約ユニタリ表現の同値類の研究は、許容表現の無限小同値類の研究と、これらのクラスのどれが無限小ユニタリであるかの決定に還元されます。許容表現の無限小同値類をパラメータ化する問題は、ロバートラングランズによって完全に解決され、ラングランズ分類と呼ばれています。 $({\mathfrak {g}},K)$ $({\mathfrak {g}},K)$ $({\mathfrak {g}},K)$

完全に分断されたグループ

G を局所コンパクトで完全に不連結な群（非アルキメデス的局所体上の簡約代数群や大域体の有限アデール上のものなど）とする。複素ベクトル空間V上のGの表現 (π, V ) は、 Vの任意のベクトルを固定するGの部分群が開である場合に、滑らかであると呼ばれる。さらに、任意のコンパクトな開部分群によって固定されるベクトル空間が有限次元である場合、 π は許容されると呼ばれる。p進群の許容表現は、 G上の局所定数関数のヘッケ代数の作用を通じて、より代数的な記述が可能になる。

p進簡約群の許容表現に関する詳細な研究は、1970 年代にCasselmanとBernsteinおよびZelevinskyによって行われました。より最近では^{[いつ? ]}Howe、 Moy 、Gopal Prasad 、 Bushnell および Kutzkoによって進展があり、彼らは型の理論を展開し、多くの場合に許容双対 (つまり、既約許容表現の同値類の集合) を分類しました。^{[引用が必要]}

注記

^ すなわち準同型π : G → GL( V ) (ここで GL( V ) はV上の有界線型作用素の群であり、その逆も有界かつ線型である) であり、関連する写像G × V → Vは連続である。

参考文献

コリン・J・ブッシュネル; Henniart, Guy (2006)、GL(2) の局所ラングランズ予想、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、vol. 335、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/3-540-31511-X、ISBN 978-3-540-31486-8、MR 2234120
ブッシュネル、コリン J.; フィリップ C. クツコ (1993)。コンパクト開部分群による GL(N) の許容双対。数学研究年報 129。プリンストン大学出版。ISBN 0-691-02114-7。
Knapp, Anthony W. (2001)の第 8 章。「半単純群の表現理論: 例に基づく概要」。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-09089-0。

[1] すなわち準同型π : G → GL( V ) (ここで GL( V ) はV上の有界線型作用素の群であり、その逆も有界かつ線型である) であり、関連する写像G × V → Vは連続である。