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数学において、完全体とは、距離を備え、その距離に関して完全な体である。基本的な例としては、実数、複素数、完全な値を持つ体（ p進数など）が挙げられる。

実数は、標準ユークリッド計量 を持つ体です。これは、この計量に関する の完備化から構成されるため、完備体です。実数をその代数的閉包で拡張すると、体 が得られます(絶対ガロア群がであるため)。この場合、も完備体ですが、多くの場合はそうではありません。 ${\displaystyle |xy|}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

p進数はp進絶対値を使って構築される。${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle v_{p}(a/b)=v_{p}(a)-v_{p}(b)}$

ここで、因数分解を使うと、その値は整数を割り切れない。によるの完備化は、p進数と呼ばれる完全な体である。これは、体^[1]が代数的に閉じていない場合である。典型的には、分離閉包を取り、それを再度完備化するプロセスである。この体は通常、${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle a=p^{n}c}$${\displaystyle p}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle v_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}.}$

曲線の関数体では、すべての点は絶対値、つまり場所に対応します。分数で表現される要素を考えると、場所はにおけるの消失の位数から におけるの消失の位数を引いたものを測定し、次ににおけるの完備化により新しい体が得られます。たとえば、アフィンチャートの原点が である場合、におけるの完備化は冪級数環と同型です。${\displaystyle k(X)}$${\displaystyle X/k,}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle v_{p}}$${\displaystyle f\in k(X)}$${\displaystyle g/h,}$${\displaystyle v_{p}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle p}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle k(X)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle p=[0:1],}$${\displaystyle x_{1}\neq 0,}$${\displaystyle k(X)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k((x)).}$

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