同型定理

させて${\displaystyle G}$そして${\displaystyle H}$グループとし、${\displaystyle f:G\rightarrow H}$準同型写像とする。すると：

1. 核​​${\displaystyle f}$は、​${\displaystyle G}$、
2. イメージ​​${\displaystyle f}$は、​${\displaystyle H}$、 そして
3. イメージ${\displaystyle f}$商群と同型である${\displaystyle G/\ker f}$。

特に、${\displaystyle f}$は全射である${\displaystyle H}$は同型である${\displaystyle G/\ker f}$。

この定理は通常、第一同型定理と呼ばれます。

させて${\displaystyle G}$グループにしましょう。${\displaystyle S}$サブグループである${\displaystyle G}$、そして${\displaystyle N}$通常のサブグループである${\displaystyle G}$すると、以下のことが成り立つ。

1. この製品は${\displaystyle SN}$は、${\displaystyle G}$、
2. サブグループ${\displaystyle N}$は、${\displaystyle SN}$、
3. 交差点​${\displaystyle S\cap N}$は、${\displaystyle S}$、 そして
4. 商のグループ${\displaystyle (SN)/N}$そして${\displaystyle S/(S\cap N)}$同型である。

技術的には、${\displaystyle N}$通常のサブグループである限り、${\displaystyle S}$は正規化群のサブグループです${\displaystyle N}$で${\displaystyle G}$。 この場合、${\displaystyle N}$は、通常のサブグループではありません。${\displaystyle G}$、 しかし${\displaystyle N}$これは依然として製品の通常のサブグループです${\displaystyle SN}$。

この定理は、第二同型定理^{[ 3 ]} 、ダイヤモンド定理^{[ 4 ]}、または平行四辺形定理^{[ 5 ]}と呼ばれることもあります。

第2同型定理の適用により射影線形群が特定される。例えば、複素射影直線上の群は、と設定することから始まる。${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$可逆な2 × 2複素行列のグループ、${\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$行列式1のサブグループ、および${\displaystyle N}$スカラー行列の正規部分群${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$、 我々は持っています${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$、 どこ${\displaystyle I}$は単位行列であり、${\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$そして、第二同型定理は次のように述べている。

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

させて${\displaystyle G}$グループであり、${\displaystyle N}$通常のサブグループの${\displaystyle G}$。 それから

1. もし${\displaystyle K}$は、${\displaystyle G}$そのため${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$、 それから${\displaystyle G/N}$部分群は${\displaystyle K/N}$。
2. すべてのサブグループ${\displaystyle G/N}$形式は${\displaystyle K/N}$あるサブグループの場合${\displaystyle K}$の${\displaystyle G}$そのため${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$。
3. もし${\displaystyle K}$は、${\displaystyle G}$そのため${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$、 それから${\displaystyle G/N}$正規部分群は${\displaystyle K/N}$。
4. すべての正常なサブグループ${\displaystyle G/N}$形式は${\displaystyle K/N}$ある正規部分群に対して${\displaystyle K}$の${\displaystyle G}$そのため${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$。
5. もし${\displaystyle K}$は、${\displaystyle G}$そのため${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$商のグループ${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$は同型である${\displaystyle G/K}$。

最後の記述は、第三同型定理と呼ばれることもあります。最初の4つの記述は、多くの場合、下記の定理Dに含まれ、束定理、対応定理、または第四同型定理と呼ばれます。

させて${\displaystyle G}$グループであり、${\displaystyle N}$通常のサブグループの${\displaystyle G}$正準射影準同型${\displaystyle G\rightarrow G/N}$部分群の集合間の全単射対応を定義する${\displaystyle G}$含む${\displaystyle N}$そして、(すべての)サブグループの集合${\displaystyle G/N}$この対応関係の下では、正規部分群は正規部分群に対応する。

この定理は、対応定理、格子定理、第4同型定理などと呼ばれることもある。

ザッセンハウスの補題（蝶の補題とも呼ばれる）は、第4同型定理と呼ばれることもある。^{[ 6 ]}

第一同型定理は、群の圏が（正規全射、単射）分解可能であると圏論的に表現できます。言い換えれば、正規全射と単射は圏の分解系を形成します。これは余白の可換図に示されており、その図には射から存在が推論できる対象と射が示されています。${\displaystyle f:G\rightarrow H}$図は、群の圏におけるすべての射が圏論的な意味で核を持つことを示している。任意の射fは に因数分解される。${\displaystyle \iota \circ \pi }$ここで、ιは単射、πは全射である（共正規圏では、全射はすべて正規である）。これは図式ではオブジェクトで表される。${\displaystyle \ker f}$そして単射${\displaystyle \kappa$ :\ker f\rightarrow G} (カーネルは常に単射です) は、図の左下から右上まで続く短い完全シーケンスを完成させます。完全シーケンス規約を使用することで、ゼロ射を描く必要がなくなります。${\displaystyle \ker f}$に${\displaystyle H}$そして${\displaystyle G/\ker f}$。

シーケンスが右に分割されている場合（つまり、写像σが存在して${\displaystyle G/\operatorname {ker} f}$π-逆像に）、 Gは正規部分群の半直積である${\displaystyle \operatorname {im} \kappa }$そしてサブグループ${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$左に分割されている場合（つまり、いくつかの${\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}$そのため${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}$) の場合、右分割でなければならず、${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$はGの直積分解である。一般に、右分割の存在は左分割の存在を意味しないが、アーベル圏（アーベル群など）では、分割補題により左分割と右分割は同値であり、右分割は直和分解を生成するのに十分である。${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }$アーベル圏では、すべての単射も正規であり、図式は第2の短完全列によって拡張される可能性がある。${\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$。

第２同型定理では、積SNはGの部分群の格子におけるSとNの結合であり、交差S∩Nは交わりである。  

第3同型定理は、9つの補題によってアーベル圏および対象間のより一般的な写像に一般化される。

以下に、A、B、C、Dとラベル付けされた4つの定理を示します。これらはしばしば「第一同型定理」、「第二…」などと番号付けされますが、番号付けについては普遍的な合意はありません。ここでは、文献に見られる群同型定理の例をいくつか示します。これらの定理には、環や加群にも同様の定理が存在することに注意してください。

格子定理または対応定理として知られる定理Dを同型定理の1つとして含めることはあまり一般的ではないが、含める場合は最後にする。

させて${\displaystyle R}$そして${\displaystyle S}$リングとし、${\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}$環準同型である。すると：

1. 核​​${\displaystyle \varphi }$は、${\displaystyle R}$、
2. イメージ​​${\displaystyle \varphi }$は、​${\displaystyle S}$、 そして
3. イメージ${\displaystyle \varphi }$は商環と同型である${\displaystyle R/\ker \varphi }$。

特に、${\displaystyle \varphi }$は全射である${\displaystyle S}$は同型である${\displaystyle R/\ker \varphi }$[ ^{17 ]​}

させて${\displaystyle R}$リングにしてください。${\displaystyle S}$部分環である${\displaystyle R}$、そして${\displaystyle I}$両面的な理想である${\displaystyle R}$。 それから：

1. 合計​${\displaystyle S+I=\{s+i\mid s\in S,i\in I\}}$は、${\displaystyle R}$、
2. 交差点${\displaystyle S\cap I}$は、${\displaystyle S}$、 そして
3. 商環${\displaystyle (S+I)/I}$そして${\displaystyle S/(S\cap I)}$同型である。

させて${\displaystyle R}$指輪であり、${\displaystyle I}$両面的な理想${\displaystyle R}$。 それから

1. もし${\displaystyle A}$は、${\displaystyle R}$そのため${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$、 それから${\displaystyle A/I}$は、${\displaystyle R/I}$。
2. すべてのサブリング${\displaystyle R/I}$形式は${\displaystyle A/I}$一部のサブリングの場合${\displaystyle A}$の${\displaystyle R}$そのため${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$。
3. もし${\displaystyle J}$は、${\displaystyle R}$そのため${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$、 それから${\displaystyle J/I}$は、${\displaystyle R/I}$。
4. 左派、右派、または両派の理想主義${\displaystyle R/I}$形式は${\displaystyle J/I}$左派、右派、あるいは両派の理想主義${\displaystyle J}$の${\displaystyle R}$そのため${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$。
5. もし${\displaystyle J}$は、${\displaystyle R}$そのため${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$すると商環${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$は同型である${\displaystyle R/J}$。

させて${\displaystyle I}$両面的な理想である${\displaystyle R}$通信${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$部分環の集合間の包含関係を保持する全単射である${\displaystyle A}$の${\displaystyle R}$含まれる${\displaystyle I}$そして のサブリングの集合⁠${\displaystyle R/I}$⁠ . ^{[ 18 ]}

させて${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$モジュールとし、${\displaystyle \varphi :M\rightarrow N}$モジュール準同型である。すると：

1. 核​​${\displaystyle \varphi }$はサブモジュールです${\displaystyle M}$、
2. イメージ​​${\displaystyle \varphi }$はサブモジュールです${\displaystyle N}$、 そして
3. イメージ${\displaystyle \varphi }$商モジュールと同型である${\displaystyle M/\ker \varphi }$。

特に、${\displaystyle \varphi }$は全射である${\displaystyle N}$は同型である${\displaystyle M/\ker \varphi }$。

させて${\displaystyle M}$モジュールとし、${\displaystyle S}$そして${\displaystyle T}$サブモジュールである${\displaystyle M}$。 それから：

1. 合計${\displaystyle S+T=\{s+t\mid s\in S,t\in T\}}$はサブモジュールです${\displaystyle M}$、
2. 交差点${\displaystyle S\cap T}$はサブモジュールです${\displaystyle M}$、 そして
3. 商モジュール${\displaystyle (S+T)/T}$そして${\displaystyle S/(S\cap T)}$同型である。

Mを加群、TをMの部分加群とする。

1. もし${\displaystyle S}$はサブモジュールです${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$、 それから${\displaystyle S/T}$はサブモジュールです${\displaystyle M/T}$。
2. すべてのサブモジュール${\displaystyle M/T}$形式は${\displaystyle S/T}$サブモジュールの場合${\displaystyle S}$の${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$。
3. もし${\displaystyle S}$はサブモジュールです${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$商モジュール${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$は同型である${\displaystyle M/S}$。

させて${\displaystyle M}$モジュールである、${\displaystyle N}$サブモジュール${\displaystyle M}$部分モジュール間には全単射が存在する。${\displaystyle M}$含まれる${\displaystyle N}$そしてサブモジュール${\displaystyle M/N}$対応関係は次のように表される。${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$すべての人々のために${\displaystyle A\supseteq N}$この対応関係は和と交差を取るプロセスと可換である（つまり、部分加群の格子間の格子同型である）。${\displaystyle M/N}$そして部分モジュールの格子${\displaystyle M}$含まれる${\displaystyle N}$) ^{[ 19 ]}

させて${\displaystyle f:A\rightarrow B}$代数準同型である。すると、の像は${\displaystyle f}$は の部分代数である${\displaystyle B}$、次の関係${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$（つまり、${\displaystyle f}$) は、${\displaystyle A}$、そして代数${\displaystyle A/\Phi }$そして${\displaystyle \operatorname {im} f}$同型である。（群の場合、${\displaystyle f(x)=f(y)}$もし${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$（したがって、この場合、群論で用いられる核の概念が回復される。）

代数が与えられた場合${\displaystyle A}$部分代数${\displaystyle B}$の${\displaystyle A}$、そして合同${\displaystyle \Phi }$の上${\displaystyle A}$、 させて${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$痕跡となる${\displaystyle \Phi }$で${\displaystyle B}$そして${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$交差する同値類の集合${\displaystyle B}$。 それから

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$は合同です${\displaystyle B}$、
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$は の部分代数である${\displaystyle A/\Phi }$、 そして
3. 代数${\displaystyle [B]^{\Phi }}$代数と同型である${\displaystyle B/\Phi _{B}}$。

させて${\displaystyle A}$代数であり、${\displaystyle \Phi ,\Psi }$2 つの合同関係${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$。 それから${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$は合同です${\displaystyle A/\Psi }$、 そして${\displaystyle A/\Phi }$は同型である${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}$

させて${\displaystyle A}$代数とし、${\displaystyle \operatorname {Con} A}$上のすべての合同式の集合${\displaystyle A}$セット ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$は包含関係によって順序付けられた完全格子である。^{[ 20 ]} もし${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$は合同式であり、 と表記する。${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A}$を含むすべての合同関係の集合${\displaystyle \Phi }$（つまり）${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]}$は主要なフィルターです${\displaystyle \operatorname {Con} A}$さらに、それは部分格子である）ならば、写像 ${\displaystyle \alpha$ :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi } は格子同型写像である。 ^{[ 21 ] [ 22 ]}