順序付き位相ベクトル空間

数学、特に関数解析と順序理論において、順序付き位相ベクトル空間（順序付きTVSとも呼ばれる）は、位相ベクトル空間（TVS）Xが部分順序≤を持ち、正錐がXの閉部分集合となる順序付きベクトル空間となるものである。^{[1]順序付きTVSは}スペクトル理論 において重要な応用がある。 ${\displaystyle C:=\left\{x\in X:x\geq 0\right\}}$

C がTVS X内の円錐である場合、が原点における近傍フィルタ、がXのサブセットUのC飽和包である場合、 C は正規です。^[2]${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left[{\mathcal {U}}\right]_{C}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \left[{\mathcal {U}}\right]_{C}=\left\{\left[U\right]:U\in {\mathcal {U}}\right\}}$${\displaystyle [U]_{C}:=\left(U+C\right)\cap \left(UC\right)}$

CがTVS X（実数または複素数上）の円錐である場合、次の式は同値である： ^[2]

1. C は通常の円錐です。
2. X内のすべてのフィルタについて、次の場合。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \lim {\mathcal {F}}=0}$${\displaystyle \lim \left[{\mathcal {F}}\right]_{C}=0}$
3. Xにはとなる近傍基数が存在する。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \left[B\cap C\right]_{C}\subseteq B}$

そしてXが実数上のベクトル空間であれば次のようになる。^[2]

1. 原点には凸でバランスのとれたC飽和集合からなる近傍基底が存在します。
2. すべてのおよびに対してとなるような、X上の半ノルムの生成族が存在する。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle p(x)\leq p(x+y)}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$

X上の位相が局所的に凸である場合、正規円錐の閉包は正規円錐である。^[2]

C がXの正規錐で、B がXの有界部分集合である場合、は有界です。特に、すべての区間は有界です。^[2] Xがハウスドルフである 場合、 Xのすべての正規錐は真錐です。^[2]${\displaystyle \left[B\right]_{C}}$${\displaystyle [a,b]}$

• Xを有限次元の実数上の順序付きベクトル空間とする。このとき、 Xの順序がアルキメデス的であるためには、 Xの正錐が、XがハウスドルフTVSとなる唯一の位相に対して閉じている必要がある。^[1]
• Xを正錐Cを持つ実数上の順序付きベクトル空間とする。このとき、以下は同値である: ^[1]

1. Xの順序は規則的です。
2. CはX上のハウスドルフ局所凸TVS位相に対して順次閉じており、X内の点を区別する${\displaystyle X^{+}}$
3. Xの順序はアルキメデス的であり、C はX上の何らかのハウスドルフ局所凸 TVS 位相に対して正規である。

• 一般化された計量 – 計量幾何学
• 順序位相（関数解析）  – 順序ベクトル空間の位相
• 順序体 – 順序付けられた構造を持つ代数的オブジェクト
• 順序付きグループ – 互換性のある半順序を持つグループリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• オーダーリング – 互換性のある合計順序を持つリングフォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 順序付きベクトル空間 – 半順序を持つベクトル空間
• 半順序空間 – 半順序位相空間
• リース空間 – 格子として順序付けられた半順序ベクトル空間
• 位相ベクトル格子

• ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.