計測可能な空間

位相幾何学および関連する数学分野において、距離空間とは、距離空間と同相な位相空間のことである。すなわち、位相空間は距離空間と同相な位相空間である。${\displaystyle (X,\tau )}$メトリックが存在する場合、それはメトリック化可能であると言われる。${\displaystyle d:X\times X\to [0,\infty )}$それによって誘導されるトポロジー${\displaystyle d}$は${\displaystyle \tau .}$^{[ 1 ] [ 2 ]}距離化定理位相空間が距離化可能であるための十分条件を与える定理です

距離空間は、距離空間からすべての位相的性質を継承します。例えば、距離空間はハウスドルフ・パラコンパクト空間（したがって正規空間およびチコノフ空間）であり、第一可算空間です。しかし、完備性などの距離空間の性質は継承されない場合があります。これは、距離空間に関連する他の構造についても同様です。例えば、距離空間の一様空間は、同相な距離空間とは異なる縮約写像の集合を持つ場合があります。

最初に広く認められた計量定理の1つはウリゾーンの計量化定理。これは、すべてのハウスドルフ第2可算正則空間は計量可能であることを述べている。したがって、たとえば、すべての第2可算多様体は計量可能である。（歴史的注記：ここに示した定理の形式は、実際には1926年にティホノフウリゾーンが1925年に死後出版された論文で示したのは、すべての第2可算正規ハウスドルフ空間は計量可能であるということだった。）逆は成り立たない。たとえば、離散計量を備えた非可算集合など、第2可算ではない計量空間が存在する。 ^{[ 3 ]}以下に説明する永田-スミルノフ計量化定理は、逆が成り立つより具体的な定理を提供する。

ウリゾーンの定理から、他にもいくつかの距離化定理が単純な系として導かれる。例えば、コンパクトなハウスドルフ空間は、それが第二可算である場合に限り、距離化可能である。

ウリゾーンの定理は次のように言い換えることができます。位相空間が分離可能かつ距離化可能であるのは、それが正則かつハウスドルフ空間であり、かつ第2可算である場合に限ります。永田・スミルノフの距離化定理は、これを非分離の場合に拡張します。この定理は、位相空間が距離化可能であるのは、それが正則かつハウスドルフ空間であり、かつσ-局所的に有限な基底を持つ場合に限ります。σ-局所的に有限な基底とは、可算個の局所的に有限な開集合の集合の和集合である基底のことです。密接に関連する定理については、ビングの距離化定理を参照してください。

分離可能な距離化空間は、ヒルベルト立方体の部分空間と同相な空間としても特徴づけられる。${\displaystyle \lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },}$すなわち、単位区間（実数からの自然な部分空間位相を持つ）とそれ自身との可算無限積であり、積位相を備えている。

空間は、すべての点が距離化可能な近傍を持つ場合、局所的に距離化可能であると言われます。スミルノフは、局所的に距離化可能な空間が距離化可能であるのは、それがハウスドルフかつパラコンパクトである場合に限ることを証明しました。特に、多様体が距離化可能であるのは、それがパラコンパクトである場合に限ります。

ユニタリ演算子のグループ$\displaystyle \mathbb {U} (\mathcal {H}})$分離可能なヒルベルト空間上$\displaystyle {\mathcal {H}}}$強力な作用素位相を備えているため、距離化可能である（ ^{[ 4 ]}の命題II.1を参照）。

非正規空間は計量化できない。重要な例としては、

• 代数多様体または環のスペクトル上のザリスキ位相は、代数幾何学で用いられる。
• 実数直線上のすべての関数の位相ベクトル空間${\displaystyle \mathbb {R} }$点ごとの収束のトポロジーで、それ自体に収束する。

下限位相を持つ実数直線は距離化できません。通常の距離関数はこの空間上では距離関数になりません。なぜなら、この関数が決定する位相は通常の位相であり、下限位相ではないからです。この空間はハウスドルフ空間であり、パラコンパクトかつ第一可算です。

• アポロニウス計量法– ルーマニアの数学者、詩人（1895年 - 1961年） 
• ビングの計量化定理– 位相空間が計量可能である条件を規定する 
• 計量可能な位相ベクトル空間– 位相が計量によって定義できる位相ベクトル空間 
• ムーア空間（トポロジー）
• 永田・スミルノフの距離化定理– 位相空間が距離化可能である条件を規定する 
• 均一化可能性– 位相が均一な構造によって生成される位相空間、位相空間が均一な空間と同相であるという性質、または同等に、位相が擬距離の族によって定義されるという性質。リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 

この記事は、 PlanetMathの Metrizable の資料を組み込んでおり、クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンスの下でライセンスされています。