自明なトポロジー

位相幾何学において、自明位相を持つ位相空間とは、開集合が空集合と空間全体だけである空間のことである。このような空間は一般に、非離散的、反離散的、具体的、または 余離散的と呼ばれる。直感的には、これは空間のすべての点が「ひとまとめにされ」、位相的な手段では区別できないという結果をもたらす。すべての非離散的空間は、任意の 2 点間の距離が0である擬距離空間である。

自明な位相とは、開集合、つまり空集合と空間全体の数が可能な限り少ない位相のことです。位相の定義では、これら 2 つの集合が開いている必要があるためです。単純であるにもかかわらず、複数の要素と自明な位相を持つ空間Xには、重要な望ましい特性が欠けています。それは、 T ₀空間ではないということです。

非離散空間Xのその他の特性には、その多くは非常に珍しいものがありますが、次のようなものがあります。

• 唯一の閉集合は空集合とXです。
• Xの唯一の可能な基底は { X } です。
• X に複数の点がある場合、それはT ₀ではないので、より高次のT 公理のいずれも満たしません。特に、それはハウスドルフ空間ではありません。ハウスドルフではないので、X は順序位相ではなく、距離化可能でもありません。
• しかし、X は正則、完全正則、正規、完全正規です。ただし、閉集合は ∅ とX だけなので、これらはすべてかなり空虚な方法です。
• X はコンパクトであるため、パラコンパクト、リンデレフ、局所コンパクトです。
• 定義域が位相空間であり、余域Xであるすべての関数は連続です。
• X はパス連結なので連結です。
• X は2 番目に可算なので、1 番目に可算、分離可能、Lindelöfです。
• Xのすべての部分空間は自明な位相を持ちます。
• Xのすべての商空間は自明な位相を持つ
• 積位相またはボックス位相のいずれかを持つ自明位相空間の任意の積には、自明位相が存在します。
• X内のすべてのシーケンスは、 Xのすべての点に収束します。特に、すべてのシーケンスには収束する部分シーケンス (シーケンス全体または他の任意の部分シーケンス) があるため、X は順次コンパクトです。
• X を除くすべてのセットの内部は空です。
• Xの空でない部分集合の閉包はXです。言い換えると、Xの空でない部分集合は稠密であり、これは自明な位相空間を特徴付ける性質です。
  • この結果、Xのすべての開部分集合Uの閉包は、∅ ( U = ∅ の場合) またはX (それ以外の場合) のいずれかになります。特に、Xのすべての開部分集合の閉包は再び開集合であるため、X は極値的に不連続です。
• S が1 つ以上の要素を持つXの任意の部分集合である場合、 Xのすべての要素はSの極限点です。S が単集合である場合、X \ Sのすべての点は依然としてSの極限点です。
• X はベール空間です。
• 自明な位相を持つ 2 つの位相空間は、それらが同じ濃度を持つ場合に限り、同相で ある。

ある意味では、自明な位相の反対は離散位相であり、その中のすべての部分集合は開いています。

自明な位相は、直積X × X全体が唯一の周囲である均一空間に属します。

Top を連続写像を持つ位相空間の圏、Set を関数を持つ集合の圏とする。G :  Top → Setが各位相空間にその基礎集合を割り当てる関手（いわゆる忘却関手）であり、H  : Set → Top が与えられた集合に自明な位相を置く関手である場合、H（いわゆる共自由関手）はGの右随伴である。（与えられた集合に離散位相を置くいわゆる自由関手F  : Set → TopはGの左随伴である。）^{[1] [2]}

• トポロジのリスト
• 些細なこと（数学）

• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア(1995) [1978]、位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446