近隣システム

トポロジーおよび関連する数学分野では、近傍システム、完全近傍システム^{[ 1 ]}、または近傍フィルタと呼ばれる。$\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ある点について${\displaystyle x}$位相空間では、すべての近傍の集合は${\displaystyle x.}$

点または集合の近傍

1点の開近傍（または部分集合^{[注1 ]}）${\displaystyle x}$位相空間において${\displaystyle X}$任意の開部分集合である${\displaystyle U}$の${\displaystyle X}$含まれる${\displaystyle x.}$ A近隣​${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$任意の部分集合${\displaystyle N\subseteq X}$オープンな近隣地域を含む${\displaystyle x}$; 明示的に、${\displaystyle N}$は近隣地域です${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$ある開部分集合が存在する場合に限る${\displaystyle U}$と${\displaystyle x\in U\subseteq N}$^{[ 2 ] [ 3 ]} 同様に、${\displaystyle x}$は、${\displaystyle x}$その位相的内部において。

重要な点として、「近傍」は必ずしも開集合である必要はありません。たまたま開集合でもある近傍は「開近傍」と呼ばれます。^{[注2 ]}同様に、閉集合（それぞれコンパクト集合、連結集合など） でもある近傍は、閉鎖された近隣地域（それぞれ、コンパクトな近隣地域、連結近傍など）。トポロジーや関数解析などの関連分野では、他にも多くの種類の近傍が使用されています。ある特定の「有用な」性質を持つすべての近傍の族は、多くの場合、近傍基底局所的にコンパクトな空間とは、すべての点で、コンパクト集合のみからなる近傍基底を持つ空間のことです。

近隣フィルター

点（または空でない部分集合）の近傍システム${\displaystyle x}$は、近隣フィルタと呼ばれるフィルタです。${\displaystyle x.}$ある地点の近傍フィルタ${\displaystyle x\in X}$シングルトンセットの近傍フィルターと同じです${\displaystyle \{x\}.}$

もし${\displaystyle \mathbb {R} }$通常のユークリッド位相を持ち、その近傍は${\displaystyle 0}$それらすべての部分集合は${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$ある実数が存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle (-r,r)\subseteq N.}$例えば、以下のすべての集合は、${\displaystyle 0}$で${\displaystyle \mathbb {R} }$: $${\displaystyle (-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R} }$$ しかし、以下の集合はどれも近傍ではない${\displaystyle 0}$: $${\displaystyle \{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$$ どこ${\displaystyle \mathbb {Q} }$は有理数を表します。

もし${\displaystyle U}$位相空間の開部分集合である${\displaystyle X}$そして、すべての${\displaystyle u\in U,}$${\displaystyle U}$近隣地域${\displaystyle u}$で${\displaystyle X.}$ より一般的に言えば、${\displaystyle N\subseteq X}$は任意の集合であり、${\displaystyle \operatorname {int} _{X}N}$位相的内部を表す${\displaystyle N}$で${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle N}$近隣地域（${\displaystyle X}$）あらゆる点${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$さらに、${\displaystyle N}$他のどの地点の近隣でもない。言い換えれば、${\displaystyle N}$点の近傍${\displaystyle x\in X}$かつその場合に限り${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N.}$

地域拠点

任意の位相空間において、ある点の近傍系は、その点の近傍基底でもある。ある点におけるすべての開近傍の集合は、その点における近傍基底を形成する。任意の点について${\displaystyle x}$距離空間において、の周りの開いた球の列${\displaystyle x}$半径付き${\displaystyle 1/n}$数えられる近隣基盤を形成する${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}}$これは、すべての距離空間が第一可算であることを意味します。

空間が与えられた${\displaystyle X}$離散的でないトポロジーでは、任意の点の近傍システムは${\displaystyle x}$空間全体のみを含み、${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\{X\}}$。

空間上の測度の空間上の弱位相において${\displaystyle E,}$近隣の拠点について${\displaystyle \nu }$は $${\displaystyle \left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}}$$ どこ${\displaystyle f_{i}}$連続有界関数${\displaystyle E}$実際の数字と${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}}$は正の実数です。

半ノルム空間と位相群

半ノルム空間、すなわち半ノルムによって誘導される位相を持つベクトル空間では、すべての近傍システムは、原点の近傍システムの 平行移動によって構築できます。$$\displaystyle {\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.}$$

これは、仮定により、誘導された位相空間においてベクトル加算が個別に連続であるためです。したがって、位相空間は原点における近傍系によって決定されます。より一般的には、空間が位相群である場合、または位相空間が擬距離によって定義される場合、このことは常に成り立ちます。

仮定する${\displaystyle u\in U\subseteq X}$そして$\displaystyle {\mathcal {N}}}$近隣の基盤となる${\displaystyle u}$で${\displaystyle X.}$作る$\displaystyle {\mathcal {N}}}$上位集合の包含関係によって部分順序付けすることで、有向集合にする${\displaystyle \,\supseteq .}$それから${\displaystyle U}$近隣地域ではない${\displaystyle u}$で${\displaystyle X}$存在する場合に限り$\displaystyle {\mathcal {N}}}$-インデックス付きネット${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$で${\displaystyle X\setminus U}$そのため${\displaystyle x_{N}\in N\setminus U}$すべての${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$（これは、${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u}$で${\displaystyle X}$)

• 基底（トポロジー）– トポロジーを定義するために使用される開集合の集合 
• セットに対するフィルタリング– 「大きな」セットを表す部分集合のファミリー 
• トポロジーにおけるフィルター– フィルターを用いてすべての基本的なトポロジー概念と結果を記述および特徴付ける 
• 局所凸位相ベクトル空間– 凸集合によって生成される位相を持つ空間 
• 近傍（数学）– 与えられた点を含む開集合 
• サブベース– トポロジーを生成するサブセットの集合 
• 管状近傍– 部分多様体の近傍 

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジ: 第 1 章から第 4 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。土井: 10.1007/978-3-642-61701-0。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• ディクスミエ、ジャック（1984）。一般位相幾何学。数学学部教科書。ベルベリアン、SK訳。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-90972-1OCLC 10277303​​ 
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般トポロジー。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .