チコノフ空間

位相幾何学および関連する数学の分野において、チコノフ空間と完全正則空間は位相空間の一種である。これらの条件は分離公理の例である。チコノフ空間とは、ハウスドルフ空間でもある任意の完全正則空間である。チコノフではない（つまりハウスドルフではない）完全正則空間も存在する。

ポール・ウリゾーンは1925年の論文^[1]で完全に規則的な空間という概念を名前をつけずに使用していました。しかし、1930年に完全に規則的な用語を導入したのはアンドレイ・ティコノフでした^[2]。

閉集合から点を（有界な）連続実数値関数を介して分離できる場合、位相空間は完全に正則であると呼ばれます。技術的に言えば、これは次のことを意味します。任意の閉集合と任意の点に対して、およびとなる実数値連続関数が存在する（同様に、およびの代わりに任意の 2 つの値を選択でき、さらに が有界関数であることを要求することもできます）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X\setminus A,}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=1}$${\displaystyle f\vert _{A}=0.}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f}$

位相空間は、完全に正則なハウスドルフ空間である場合、チコノフ空間（または、T _3½空間、T _π空間、または完全に T ₃空間）と呼ばれます。

注意。完全正則空間とチコノフ空間は、コルモゴロフ同値の概念によって関連しています。位相空間がチコノフ空間であるためには、完全正則かつT ₀である必要があります。一方、空間が完全に正則であるためには、そのコルモゴロフ商がチコノフである必要があります。

数学文献全体にわたって、「完全に正則」という用語と「T」公理に関しては、さまざまな慣習が適用されます。このセクションの定義は、典型的な現代の用法に基づいています。ただし、著者の中には、2 種類の用語の意味を入れ替えたり、すべての用語を互換的に使用したりしている人もいます。Wikipedia では、「完全に正則」と「チコノフ」という用語が自由に使用されており、「T」表記は一般的に避けられています。したがって、標準的な文献では、著者がどの定義を使用しているかを確認するために注意することをお勧めします。この問題の詳細については、「分離公理の歴史」を参照してください。

数学的解析で研究されるほぼすべての位相空間はチコノフであるか、少なくとも完全に正則です。たとえば、実数直線は標準ユークリッド位相ではチコノフです。他の例には以下が含まれます。

• すべての計量空間はチコノフであり、すべての擬似計量空間は完全に正則です。
• すべての局所コンパクト 正則空間は完全に正則であり、したがってすべての局所コンパクト ハウスドルフ空間はチコノフです。
• 特に、すべての位相多様体はチコノフです。
• 順序位相を持つすべての全順序集合はチコノフ集合である。
• すべての位相群は完全に正則です。
• すべての擬距離化可能空間は完全に正則ですが、その空間がハウスドルフでない場合はティコノフではありません。
• すべての半ノルム空間は完全に正則です（擬距離化可能であり、位相ベクトル空間であるため位相群であるため）。しかし、半ノルムがノルムでない場合は、チコノフにはなりません。
• 距離空間と位相群の両方を一般化すると、すべての一様空間は完全に正則になります。逆もまた真です。つまり、すべての完全に正則な空間は一様化可能です。
• すべてのCW 複合体は Tychonoff です。
• すべての通常の正則空間は完全に正則であり、すべての通常のハウスドルフ空間はチコノフです。
• ニーミツキー平面は、正規ではないチコノフ空間の例です。

完全に正則ではない正則ハウスドルフ空間も存在しますが、そのような例を構築するのは複雑です。その 1 つが、いわゆるティコノフのコルクスクリューです。^{[3] [4]}この空間には 2 つの点があり、その空間上の任意の連続した実数値関数は、この 2 つの点で同じ値を持ちます。さらに複雑な構築は、ティコノフのコルクスクリューから始まり、ヒューイットの凝縮コルクスクリューと呼ばれる正則ハウスドルフ空間を構築します。^{[5] [6]}これはより強い意味で完全に正則ではありません。つまり、空間上のすべての連続した実数値関数は定数です。

完全な正則性とチコノフの性質は、初期位相に関して適切に動作します。具体的には、完全な正則性は任意の初期位相を取ることで維持され、チコノフの性質は点分離初期位相を取ることで維持されます。したがって、次のようになります。

• 完全に正則な空間またはチコノフ空間のすべての部分空間は同じ特性を持ちます。
• 空でない積空間が完全に正則（それぞれチコノフ）であるためには、各因子空間が完全に正則（それぞれチコノフ）である必要があります。

すべての分離公理と同様に、最終位相をとることによって完全な正則性は保持されません。特に、完全に正則な空間の商は正則である必要はありません。チコノフ空間の商はハウスドルフである必要さえありません。1つの基本的な反例として、2つの原点を持つ直線があります。反例となる ムーア平面の閉じた商があります。

任意の位相空間に対して、は上の実数値連続関数の族を表し、 は有界実数値連続関数 の部分集合であるとします。${\displaystyle X,}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{b}(X)}$

完全に正規な空間は、その位相が、または特に、 によって完全に決定されるという事実によって特徴付けられます。${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle C_{b}(X).}$

• 空間が完全に正則であるのは、それがまたはによって誘導される初期位相を持つ場合のみです。${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle C_{b}(X).}$
• 空間が完全に正則であるためには、すべての閉集合がの零集合の族の共通部分として表される必要がある（つまり、零集合が の閉集合の基底を形成する）。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 空間が完全に正則であるためには、の余零集合がの位相の基底を形成する必要がある。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

任意の位相空間が与えられたとき、完全正則空間を に関連付ける普遍的な方法があります。 ρを によって誘導される上の初期位相、または同値として、 の余弦集合の基底によって生成される位相とします。すると、 ρ はよりも粗い 上の最も細かい完全正則位相になります。この構成は、 完全正則空間への任意の連続関数が上で連続するという意味で 普遍的です。圏論の言語では、に送る関数は、包含関数CReg → Topの左随伴です。したがって、完全正則空間のカテゴリCRegは、位相空間のカテゴリTopの反射サブカテゴリです。コルモゴロフ商を取ると、チコノフ空間のサブカテゴリも反射的であることがわかります。 ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{\tau }(X)}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$$${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,\rho ).}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\rho )}$

上記の構成では、環とは通常完全に正則な空間に対してのみ研究されることがわかる。${\displaystyle C_{\tau}(X)=C_{\rho}(X)}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle C_{b}(X)}$${\displaystyle X.}$

実コンパクトチコノフ空間のカテゴリは、環準同型を写像として組み合わせた環のカテゴリ(ここではは実コンパクト) と反同値です。たとえば、 が (実) コンパクトな場合、から再構成できます。したがって、これらの環の代数理論は集中的な研究の対象です。この環のクラスの広範な一般化は、チコノフ空間の多くの特性に似ていますが、実代数幾何学にも適用可能であり、実閉環のクラスです。 ${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X}$

ティコノフ空間とは、コンパクトハウスドルフ空間に埋め込むことができる空間のことである。より正確には、任意のティコノフ空間に対して、その部分空間に同相なコンパクトハウスドルフ空間が存在する。${\displaystyle X,}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K.}$

実際、常にチコノフ立方体（つまり、単位区間の無限積）を選択できます。チコノフの定理の結果として、すべてのチコノフ立方体はコンパクト ハウスドルフです。コンパクト ハウスドルフ空間のすべての部分空間はチコノフであるため、次のようになります。 ${\displaystyle K}$

位相空間がチコノフとなるのは、それがチコノフ立方体に埋め込むことができる場合のみです。

特に興味深いのは、 の像がに稠密である埋め込みです。これらはのハウスドルフコンパクト化と呼ばれます。コンパクトなハウスドルフ空間への ティコノフ空間の任意の埋め込みが与えられた場合、におけるの像の閉包はのコンパクト化です。ティコノフが完全に正則な空間を定義した 同じ 1930 年の論文^[2]で、彼はすべてのティコノフ空間にハウスドルフコンパクト化があることも証明しました。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle K;}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X.}$

これらのハウスドルフコンパクト化の中には、唯一の「最も一般的な」もの、ストーン・チェフコンパクト化が ある。これは、から任意の他のコンパクトなハウスドルフ空間への連続写像が与えられたときに、の合成である意味で拡張される唯一の連続写像が存在するという普遍的な性質 によって特徴付けられる。${\displaystyle \beta X.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle g:\beta X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle j.}$

完全な正則性は、位相空間上の均一構造の存在に必要な条件そのものです。言い換えれば、すべての均一空間は完全に正則な位相を持ち、すべての完全に正則な空間は均一化可能です。位相空間が分離した均一構造を許容するのは、それがチコノフである場合のみです。 ${\displaystyle X}$

完全に正則な空間が与えられた場合、の位相と両立する 上の一様性は複数存在するのが普通である。しかし、 上の最もよく両立する一様性、すなわち上の精一様性は常に存在する。 がチコノフの場合、 が一様空間の完備化となるように一様構造を選択できる。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \beta X}$${\displaystyle X.}$

• ストーン・チェフのコンパクト化 – 位相幾何学の概念