対称セット

数学では、群Gの空でない部分集合S は、そのすべての要素の 逆集合を含む場合、対称であると言われます。

集合記法では、群の部分集合が対称的であるとは、の逆集合も に属する場合である。したがって、が乗法的に記述される 場合、が対称的であるのは、 が である場合に限ります。が加法的に記述される場合、 が対称的であるのは、 が である場合に限ります。${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=S^{-1}}$${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=-S}$${\displaystyle -S:=\{-s:s\in S\}.}$

がベクトル空間の部分集合である場合、ベクトル空間の加法群構造に関して対称であるとき、は対称集合であると言われる。つまり、が成り立つ場合、 が成り立つとき、 が成り立つときのみである。部分集合の対称包は を含む最小の対称集合であり、 に等しい。に含まれる最大の対称集合はである。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=-S,}$${\displaystyle -S\subseteq S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S\cup -S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\cap -S.}$

対称集合の任意の和集合と積集合は対称的である。

ベクトル空間内の任意のベクトル部分空間は対称集合です。

対称集合の例としては、のタイプの区間や集合および${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle (-k,k)}$${\displaystyle k>0,}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (-1,1).}$

が群の任意の部分集合である場合、およびは対称集合です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S\cup S^{-1}}$${\displaystyle S\cap S^{-1}}$

実ベクトル空間または複素ベクトル空間の任意のバランスの取れた部分集合は対称です。

• 絶対凸集合 – 凸かつバランスのとれた集合
• 吸収セット – 任意のポイントに到達するために「膨らませる」ことができるセット
• バランスのとれた機能 – 機能分析における構成リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• バランスセット – 機能分析における構成
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 凸集合 – 幾何学において、すべての直線との交点が単一の線分である集合
• ミンコフスキー関数 – 集合から構成される関数
• スタードメイン – ユークリッド空間における点集合の性質

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