法線（幾何学）

幾何学において、法線とは、与えられた物体に垂直な物体（例えば、直線、半直線、ベクトルなど）のことです。例えば、ある点における平面曲線の法線は、その点における曲線の接線に垂直な無限直線です。

法線ベクトルとは、特定の点において与えられた物体に垂直なベクトルです。長さが 1 の法線ベクトルは、単位法線ベクトルまたは法線方向と呼ばれます。曲率ベクトルとは、長さが物体の曲率である法線ベクトルです。法線ベクトルに を掛けると、−1は反対のベクトルとなり、これは側面 (例えば、内側または外側) や方向 (例えば、時計回り vs. 反時計回り、右利き vs. 左利き)を示すために使用できます。

3次元空間において、点Pにおける曲面の法線、または単に法線とは、点Pにおける曲面の接平面に垂直なベクトルのことです。曲面の法線方向のベクトル場はガウス写像として知られています。「法線」という言葉は形容詞としても使われ、平面に垂直な線、力の法線成分などを指します。法線性の概念は直交性（直角）に一般化されます。

この概念は、ユークリッド空間に埋め込まれた任意の次元の微分可能多様体に一般化されている。点における多様体の法線ベクトル空間または法線空間${\displaystyle P}$は、における接空間に直交するベクトルの集合である。${\displaystyle P.}$法線ベクトルは、滑らかな曲線や滑らかな曲面 の場合に特に重要となる。

The normal is often used in 3D computer graphics (notice the singular, as only one normal will be defined) to determine a surface's orientation toward a light source for flat shading, or the orientation of each of the surface's corners (vertices) to mimic a curved surface with Phong shading.

The foot of a normal at a point of interest Q (analogous to the foot of a perpendicular) can be defined at the point P on the surface where the normal vector contains Q. The normal distance of a point Q to a curve or to a surface is the Euclidean distance between Q and its foot P.

The normal direction to a space curve is:

${\displaystyle \mathbf {N} =R{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}}$

where ${\displaystyle R=\kappa ^{-1}}$ is the radius of curvature (reciprocal curvature); ${\displaystyle \mathbf {T} }$ is the tangent vector, in terms of the curve position ${\displaystyle \mathbf {r} }$ and arc-length ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}}$

For a convexpolygon (such as a triangle), a surface normal can be calculated as the vector cross product of two (non-parallel) edges of the polygon.

For a plane given by the general form plane equation${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$ the vector ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$ is a normal.

For a plane whose equation is given in parametric form $${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,}$$ where $\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ is a point on the plane and ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ are non-parallel vectors pointing along the plane, a normal to the plane is a vector normal to both ${\displaystyle \mathbf {p} }$ and ${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ which can be found as the cross product${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .}$

If a (possibly non-flat) surface ${\displaystyle S}$ in 3D space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ is parameterized by a system of curvilinear coordinates${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),}$ with ${\displaystyle s}$ and ${\displaystyle t}$real variables, then a normal to S is by definition a normal to a tangent plane, given by the cross product of the partial derivatives$${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$$

If a surface ${\displaystyle S}$ is given implicitly as the set of points ${\displaystyle (x,y,z)}$ satisfying ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$ then a normal at a point ${\displaystyle (x,y,z)}$ on the surface is given by the gradient$${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).}$$ since the gradient at any point is perpendicular to the level set of ${\displaystyle S.}$

For a surface ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ given as the graph of a function ${\displaystyle z=f(x,y),}$ an upward-pointing normal can be found either from the parametrization ${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),}$ giving $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);}$$ or more simply from its implicit form ${\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,}$ giving ${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}$曲面は特異点 において接平面を持たないため、その点（例えば円錐の頂点）には明確な法線が存在しません。一般に、リプシッツ連続な曲面であれば、ほぼあらゆる場所で法線を定義することが可能です。

オリエンテーション

（超）曲面の法線は通常、単位長さにスケーリングされますが、反対方向も単位法線であるため、一意の方向を持ちません。3次元空間における集合の位相境界である曲面の場合、内向き法線と外向き法線という2つの法線の向きを区別できます。向き付けられた曲面の場合、法線は通常、右手の法則、または高次元におけるその類似法則によって決定されます。

法線が接線ベクトルの外積として構築される場合（上記のテキストで説明されているように）、それは擬似ベクトルです。

のために${\displaystyle (n-1)}$次元超平面${\displaystyle n}$次元空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そのパラメトリック表現によって与えられる $${\displaystyle \mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {v} _{n-1},}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$は超平面上の点であり、${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$のために${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$は超平面に沿って指す線形独立なベクトルであり、超平面の法線は任意のベクトルである。${\displaystyle \mathbf {n} }$行列の零空間において${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n-1}\end{bmatrix}},}$意味​${\displaystyle V\mathbf {n} =\mathbf {0} }$つまり、平面内のすべてのベクトルに直交する任意のベクトルは、定義により曲面法線ベクトルとなる。あるいは、超平面が単一の線形方程式の解集合として定義される場合、${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c}$⁠、するとベクトル${\displaystyle \mathbf {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$正常です。

3次元空間における表面の法線の定義は、以下のように拡張できます。${\displaystyle (n-1)}$次元超曲面​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$超曲面は、点の集合として局所的に暗黙的に定義されることがある。${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$方程式を満たす${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0}$⁠、そこで${\displaystyle F}$は与えられたスカラー関数です。${\displaystyle F}$が連続的に微分可能であるならば、勾配がゼロでない点の近傍では、超曲面は微分多様体となる。これらの点における法線ベクトルは、勾配によって与えられる。 $${\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}$$

法線は基底を持つ一次元部分空間である${\displaystyle \{\mathbf {n} \}.}$

線形独立なベクトルv ₁ , ..., v _{r −1}によって張られる空間に垂直で、かつ線形独立なベクトル v ₁ , ..., v _rによって張られるr次元空間内に含まれるベクトルは、行列Λ = V ( V ^T V ) ^−1のr番目の列で与えられます。ここで、行列V = ( v ₁ , ..., v _r )はr列ベクトルの並置です。(証明: ΛはVと行列の積なので、Λの各列はVの列の線形結合です。さらに、V ^T Λ = Iなので、最後の列以外のVの各列はΛの最後の列に垂直です。) この式は、 rがユークリッド空間 の次元nより小さい場合でも有効です。r = nの場合、 式はΛ = ( V ^T ) ⁻¹に簡略化されます。

暗黙の方程式によって定義される微分多様体${\displaystyle n}$次元空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は、有限個の微分可能な関数の共通零点の集合である。${\displaystyle n}$変数 $${\displaystyle f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).}$$多様体の ヤコビ行列は${\displaystyle k\times n}$行列の${\displaystyle i}$-行目は勾配です${\displaystyle f_{i}.}$陰関数定理により、多様体はヤコビ行列のランクがである点の近傍の多様体である。${\displaystyle k.}$このような時点で${\displaystyle P,}$正規ベクトル空間は、次の値によって生成されるベクトル空間です。${\displaystyle P}$勾配ベクトルの${\displaystyle f_{i}.}$

言い換えれば、多様性は、${\displaystyle k}$超曲面とは、ある点における法線ベクトル空間のことで、その点における超曲面の法線ベクトルによって生成されるベクトル空間のことである。

点における法線（アフィン）空間${\displaystyle P}$多様体の一つは、アフィン部分空間が通過する${\displaystyle P}$そして、法線ベクトル空間で生成される${\displaystyle P.}$

これらの定義は、多様体が多様体ではない点にもそのまま拡張できる。

• 表面法線は、ベクトル場の表面積分を定義する際に有用である。
• 表面法線は、 3D コンピュータグラフィックスで照明計算によく使用され(ランベルトの余弦法則を参照)、多くの場合、法線マッピングによって調整されます。
• 表面法線情報を含むレンダリングレイヤーは、デジタル合成において、レンダリングされた要素の見かけ上の照明を変更するために使用できます。
• コンピュータビジョンでは、フォトメトリックステレオを使用して表面法線から3Dオブジェクトの形状を推定します。^{[ 1 ]}
• 法線ベクトルは、符号付き距離関数の勾配として得られる。

の法線光線とは、光学媒体特定の点において表面に垂直な外向きの光線のことです^{。 [ 2 ]}光の反射では、入射角と反射角はそれぞれ、法線と入射光線入射面上）の間の角度と、法線と反射光線。

• 双対空間– 数学において、線形形式のベクトル空間 
• 楕円体の法線ベクトル
• 正規束– 数学における概念 
• 擬似ベクトル– 不適切な回転によって符号が変化する物理量 
• 接線成分と法線成分– 数学的ベクトル成分 
• 頂点法線– 頂点に関連付けられた方向ベクトル 
• 平均曲率– 微分幾何学における尺度であり、すべての角度における符号付き曲率の平均値。 

• ワイススタイン、エリック W. 「法線ベクトル」 . MathWorld .
• MicrosoftのMSDNにおける法線ベクトルの説明
• 三角形または多角形から表面法線を計算する ための明確な擬似コード。2016年8月18日にWayback Machineにアーカイブされました。