3D投影

正投影は記述幾何学の原理に基づいており、三次元物体を二次元で表現したものです。これは平行投影であり（投影線は現実世界と投影面の両方で平行です）、作業図面を作成する際に最もよく用いられる投影法です。

視平面（カメラの方向）の法線が主軸（x、y、またはz軸）のいずれかと平行である場合、数学的変換は次のようになります。3D点を投影するには${\displaystyle a_{x}}$、${\displaystyle a_{y}}$、${\displaystyle a_{z}}$2Dポイントへ${\displaystyle b_{x}}$、${\displaystyle b_{y}}$y軸に平行な正投影（正のy軸は前方方向、つまり側面図を表す）を用いると、以下の式が使用できます。

${\displaystyle b_{x}=s_{x}a_{x}+c_{x}}$

${\displaystyle b_{y}=s_{z}a_{z}+c_{z}}$

ここで、ベクトルsは任意のスケールファクター、cは任意のオフセットです。これらの定数はオプションであり、ビューポートを適切に位置合わせするために使用できます。行列乗算を使用すると、式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{x}&0&0\\0&0&s_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$

正投影画像は投影された物体の三次元性を表現するものの、写真に記録された物体や、直接観察する人が知覚する物体の姿を表現するものではありません。特に、正投影画像では、仮想的な観察者から遠いか近いかに関わらず、すべての点における平行線の長さは同じ縮尺になります。そのため、透視投影のように長さが短縮されることはありません。

マルチビュー投影

多面投影では、対象物の最大 6 つの画像 (主投影図と呼ばれる) が生成され、各投影面は対象物の座標軸のいずれかに平行になります。これらの投影図は、第一角法または第三角法のいずれかの方式に従って互いに相対的に配置されます。どちらの方式でも、投影図の外観は、対象物を囲む 6 面のボックスを形成する平面に投影されていると考えることができます。6 つの異なる面を描くことができますが、通常は3 つの図で 3D オブジェクトを作成するのに十分な情報が得られます。これらの図は、正面図、上面図、端面図として知られています。立面図、平面図、断面図という用語も使用されます。

キャビネット投影図で描かれた植え替え台（角度45°、比率2/3）

軍事的視点で描かれた石造りのアーチ

斜投影では、平行投影光線は正投影のように視平面に垂直ではなく、90度以外の角度で投影面に当たります。正投影と斜投影の両方において、空間内の平行線は投影画像上で平行に見えます。斜投影は単純であるため、正式な作業図面ではなく、もっぱら絵画的な目的で使用されます。斜投影による絵画的な図面では、軸間の表示角度と短縮率（縮尺）は任意です。それによって生じる歪みは通常、投影対象物の1つの平面を投影面と平行にすることで軽減され、選択した平面の真の形状の原寸大画像が作成されます。斜投影の特殊な種類は次のとおりです。

軸測投影は、空間の 3 つの方向 (軸) すべてを 1 つの図で明らかにするために、物体を斜めの方向から見た画像を示します。^{[ 2 ]}軸測投影は、正投影または斜投影のいずれかです。軸測計測器の図面は、グラフィカルな透視投影を近似するためによく使用されますが、近似にはそれに伴う歪みがあります。絵画投影には本質的にこの歪みが含まれているため、絵画の計測器の図面では、労力を節約し、最良の効果を得るために、大きな自由度が許容されます。

軸測投影は、視点が直交軸からどれだけずれているかによって、等角投影、二等角投影、三等角投影の 3 つのカテゴリにさらに細分化されます。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}正投影図の典型的な特徴は、空間の 1 つの軸が通常垂直に表示されることです。

等角投影の限界を示す例。赤球と青球の高さの差を局所的に特定することはできない。

ペンローズの階段は、反時計回りに上昇しているように見えたり、時計回りに下降しているように見えたりする階段を描いているが、実際には連続したループを形成している。

平行投影で描かれた物体は、見る人から近づいたり遠ざかったりしても、大きくも小さくも見えません。寸法を画像から直接測る必要がある建築図面には有利ですが、透視投影とは異なり、人間の目や写真の仕組みとは異なるため、結果として歪みが生じます。また、右の図に示すように、奥行きや高度を正確に把握するのが難しい状況も容易に発生します。

この等角投影図では、青い球は赤い球よりも2単位高い位置にあります。しかし、図の右半分を覆うと、高さの目安となる箱が見えなくなるため、この高さの違いは分かりにくくなります。

この視覚的な曖昧さは、オプ・アートや「不可能な物体」の絵画で活用されてきた。M.C .エッシャーの「滝」（1961年）は、厳密には平行投影を用いているわけではないが、よく知られた例である。この作品では、水の流れが下向きに自力で流れているように見えるが、逆説的に水源に戻ると再び落下する。そのため、水はエネルギー保存の法則に反しているように見える。極端な例としては、映画『インセプション』が挙げられる。この映画では、強制遠近法のトリックによって、動かない階段の接続性が変化している。ビデオゲーム『Fez』では、パズルのようにプレイヤーが移動できる場所とできない場所を決定するために、遠近法のトリックが用いられている。

透視投影は、正投影に比べてより複雑な定義を必要とします。この投影の仕組みを理解するための概念的な補助として、2D投影を、対象物がカメラのファインダーを通して見えているかのように想像してみてください。カメラの位置、向き、視野角が投影変換の挙動を制御します。この変換を記述するために、以下の変数が定義されます。

• ${\displaystyle \mathbf {a} _{x,y,z}}$–投影対象となる点Aの3次元位置
• ${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}}$–カメラを表す点Cの3D位置
• ${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}}$–カメラの向き（テイト・ブライアン角で表される）
• ${\displaystyle \mathbf {e} _{x,y,z}}$－ディスプレイ面の、前述の位置に対する相対的な位置${\displaystyle \mathbf {c} }$^{[ 8 ]}

ほとんどの慣例では、正のz値（平面がピンホールの手前にある）を使用します。${\displaystyle \mathbf {c} }$ただし、負のz値は物理的にはより正確ですが、画像は水平方向と垂直方向の両方で反転します。その結果、次のようになります。

• ${\displaystyle \mathbf {b} _{x,y}}$– 2D投影${\displaystyle \mathbf {a} .}$

いつ${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,}$そして${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle ,}$3Dベクトル${\displaystyle \langle 1,2,0\rangle }$2Dベクトルに投影される${\displaystyle \langle 1,2\rangle }$。

そうでなければ、計算するには${\displaystyle \mathbf {b} _{x,y}}$まずベクトルを定義します${\displaystyle \mathbf {d} _{x,y,z}}$カメラによって定義された座標系に対する点Aの位置。原点はCにあり、回転は${\displaystyle \mathbf {\theta } }$初期座標系に関して。これは、以下を減算することによって実現されます。${\displaystyle \mathbf {c} }$から${\displaystyle \mathbf {a} }$そして回転を適用する${\displaystyle -\mathbf {\theta } }$結果に。この変換はしばしばカメラ変換は、 x、y、z軸周りの回転で表すと次のようになります（これらの計算では、軸が左手系として並んでいると仮定しています）。 ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\mathbf {\theta } _{x})&\sin(\mathbf {\theta } _{x})\\0&-\sin(\mathbf {\theta } _{x})&\cos(\mathbf {\theta } _{x})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{y})&0&-\sin(\mathbf {\theta } _{y})\\0&1&0\\\sin(\mathbf {\theta } _{y})&0&\cos(\mathbf {\theta } _{y})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{z})&\sin(\mathbf {\theta } _{z})&0\\-\sin(\mathbf {\theta } _{z})&\cos(\mathbf {\theta } _{z})&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\left({{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}\right)}$

この表現は、 xyz規約を使用して 3 つのオイラー角(より正確には、テイト・ブライアン角)だけ回転することに対応しており、これは「外軸 (シーンの軸) を中心にz、y、x (右から左に読む) の順に回転する」または「内軸 (カメラの軸) を中心にx、y、z (左から右に読む) の順に回転する」と解釈できます。カメラが回転しない場合 (${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle }$)すると行列は（恒等式として）消え、これは単なるシフトに還元されます。${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {a} -\mathbf {c} .}$

あるいは、行列を使用せずに（${\displaystyle a_{x}-c_{x}}$と${\displaystyle \mathbf {x} }$など、略して${\displaystyle \cos \left(\theta _{\alpha }\right)}$に${\displaystyle cos_{\alpha }}$そして${\displaystyle \sin \left(\theta _{\alpha }\right)}$に${\displaystyle sin_{\alpha }}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d} _{x}&=cos_{y}(sin_{z}\mathbf {y} +cos_{z}\mathbf {x} )-sin_{y}\mathbf {z} \\\mathbf {d} _{y}&=sin_{x}(cos_{y}\mathbf {z} +sin_{y}(sin_{z}\mathbf {y} +cos_{z}\mathbf {x} ))+cos_{x}(cos_{z}\mathbf {y} -sin_{z}\mathbf {x} )\\\mathbf {d} _{z}&=cos_{x}(cos_{y}\mathbf {z} +sin_{y}(sin_{z}\mathbf {y} +cos_{z}\mathbf {x} ))-sin_{x}(cos_{z}\mathbf {y} -sin_{z}\mathbf {x} )\end{aligned}}}$

この変換された点は、次の式を使用して 2D 平面に投影できます (ここでは、投影面としてx / yが使用されます。文献によってはx / z を使用する場合もあります)。^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{x}+\mathbf {e} _{x},\\[5pt]\mathbf {b} _{y}&={\frac {\mathbf {e} _{z}}{\mathbf {d} _{z}}}\mathbf {d} _{y}+\mathbf {e} _{y}.\end{aligned}}}$

または、同次座標を用いた行列形式では、システムは次のようになる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{x}\\\mathbf {f} _{y}\\\mathbf {f} _{w}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&{\frac {\mathbf {e} _{x}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&1&{\frac {\mathbf {e} _{y}}{\mathbf {e} _{z}}}\\0&0&{\frac {1}{\mathbf {e} _{z}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}}$

相似三角形を用いた議論と組み合わせると、同次座標による除算となり、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=\mathbf {f} _{x}/\mathbf {f} _{w}\\\mathbf {b} _{y}&=\mathbf {f} _{y}/\mathbf {f} _{w}\end{aligned}}}$

視聴者とディスプレイ面との距離、${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$は視野に直接関係しており、${\displaystyle \alpha =2\cdot \arctan(1/\mathbf {e} _{z})}$は視野角です。（注：これは、点（-1,-1）と（1,1）を視野面の角にマッピングすることを前提としています。）

上記の式は次のように書き換えることもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{x}&=(\mathbf {d} _{x}\mathbf {s} _{x})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{x})\mathbf {r} _{z},\\\mathbf {b} _{y}&=(\mathbf {d} _{y}\mathbf {s} _{y})/(\mathbf {d} _{z}\mathbf {r} _{y})\mathbf {r} _{z}.\end{aligned}}}$

その中で${\displaystyle \mathbf {s} _{x,y}}$表示サイズは、${\displaystyle \mathbf {r} _{x,y}}$記録面のサイズ（CCDまたは写真フィルム）${\displaystyle \mathbf {r} _{z}}$は記録面から入射瞳（カメラ中心）までの距離であり、${\displaystyle \mathbf {d} _{z}}$これは、投影される3D点から入射瞳までの距離です。

2D平面を特定の表示媒体にマッピングするためには、後続のクリッピングおよびスケーリング操作が必要になる場合があります。

「弱」透視投影は、正投影と同じ原理を使用しますが、縮尺係数を指定する必要があるため、投影図では近いオブジェクトが大きく、遠いオブジェクトは小さく表示されます。これは正投影と透視投影のハイブリッドと見なすことができ、個々の点の深度を持つ透視投影として説明できます。${\displaystyle Z_{i}}$平均一定水深に置き換えられた${\displaystyle Z_{\text{ave}}}$[ ^{12 ]}または単に正射投影とスケーリングとして表される^{。[ 13 ]}

弱透視モデルは、純粋な（スケール調整されていない）正射影と同様に、より単純なモデルを使用しながら透視投影を近似します。視線に沿った物体の奥行きがカメラからの距離に比べて小さく、視野が狭い場合、これは妥当な近似となります。これらの条件の下では、3Dオブジェクト上のすべての点が同じ距離にあると仮定できます。${\displaystyle Z_{\text{ave}}}$カメラからの画像で、投影に大きな誤差はなく（完全な透視図モデルと比較して）。

方程式

${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{x}={\frac {X}{Z_{\text{ave}}}}\\[5pt]&P_{y}={\frac {Y}{Z_{\text{ave}}}}\end{aligned}}}$

焦点距離を仮定すると${\textstyle f=1}$。