点から平面までの距離

ユークリッド空間において、点から平面までの距離とは、与えられた点と、その点の平面への直交投影との間の距離、すなわち平面上の最も近い点までの垂直距離のことである。

原点を与えられた点と一致させる変数変換から始めて、移動した平面上の点を見つけることで、それを求めることができます。${\displaystyle ax+by+cz=d}$原点に最も近い点。結果として得られる点はデカルト座標を持つ。${\displaystyle (x,y,z)}$:

${\displaystyle \displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$。

原点と点の間の距離${\displaystyle (x,y,z)}$は${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$。

平面上の点 ( ) に最も近い点を見つけたいとします。${\displaystyle X_{0},Y_{0},Z_{0}}$)、ここで平面は次のように与えられる。${\displaystyle aX+bY+cZ=D}$定義します${\displaystyle x=X-X_{0}}$、${\displaystyle y=Y-Y_{0}}$、${\displaystyle z=Z-Z_{0}}$、 そして${\displaystyle d=D-aX_{0}-bY_{0}-cZ_{0}}$取得するために${\displaystyle ax+by+cz=d}$変換された変数で表現された平面として。問題は、この平面上で原点に最も近い点と、原点からの距離を求めることになります。元の座標で表された平面上の点は、上記の関係式を用いてこの点から求めることができます。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle X}$、 間${\displaystyle y}$そして${\displaystyle Y}$、そしてその間${\displaystyle z}$そして${\displaystyle Z}$元の座標で表した距離は、修正後の座標で表した距離と同じです。

原点に最も近い点の公式は、線形代数の記法を用いてより簡潔に表現できる。${\displaystyle ax+by+cz}$平面の定義では、ドット積は${\displaystyle (a,b,c)\cdot (x,y,z)}$、そして表現${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}$解に現れるのは二乗ノルムである${\displaystyle |(a,b,c)|^{2}}$したがって、${\displaystyle \mathbf {v} =(a,b,c)}$が与えられたベクトルである場合、平面はベクトルの集合として記述できます。${\displaystyle \mathbf {w} }$そのために${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =d}$そしてこの平面上で原点に最も近い点はベクトルである

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\mathbf {v} d}{|\mathbf {v} |^{2}}}}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

原点から平面までのユークリッド距離は、この点のノルムである。

${\displaystyle {\frac {|d|}{|\mathbf {v} |}}={\frac {|d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$。

座標表現でもベクトル表現でも、与えられた点を平面の方程式に代入することで、その点が与えられた平面上にあることを確認できます。

それが平面上の原点に最も近い点であることを確認するには、次の点に注目してください。${\displaystyle \mathbf {p} }$ベクトルのスカラー倍です${\displaystyle \mathbf {v} }$平面を定義するので、平面に直交します。したがって、$\displaystyle \mathbf {q} }$平面上の任意の点${\displaystyle \mathbf {p} }$それ自体、そして原点から${\displaystyle \mathbf {p} }$そして${\displaystyle \mathbf {p} }$に$\displaystyle \mathbf {q} }$直角三角形を形成し、ピタゴラスの定理により、原点からの距離は${\displaystyle q}$は

${\displaystyle {\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+|\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}}}}$。

以来${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}}$正の数でなければなりません。この距離は以下よりも大きいです。${\displaystyle |\mathbf {p} |}$原点からの距離${\displaystyle \mathbf {p} }$[ ^{2 ]​}

あるいは、ドット積を用いて平面の方程式を書き換えることも可能で、${\displaystyle \mathbf {p} }$元のドット積の代わりに${\displaystyle \mathbf {v} }$（これら2つのベクトルは互いにスカラー倍であるため）その後、${\displaystyle \mathbf {p} }$最も近い点はコーシー・シュワルツの不等式の直接的な結果となる。^{[ 1 ]}

超平面のベクトル方程式${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ある一点を通して${\displaystyle \mathbf {p} }$法線ベクトル付き${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$は${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} =0}$または${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =d}$どこ${\displaystyle d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} }$[ ^{3 ]対応する} デカルト形式は${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=d}$どこ${\displaystyle d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} =a_{1}p_{1}+a_{2}p_{2}+\cdots a_{n}p_{n}}$[ ^{3 ]​}

この超平面上の任意の点に最も近い点${\displaystyle \mathbf {y} }$は

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} }$

そして距離は${\displaystyle \mathbf {y} }$超平面へは

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|=\left\|\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} \right\|={\dfrac {\left|(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} \right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\dfrac {\left|\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d\right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}}$[ ^{3 ]​}

デカルト座標系で表すと、最も近い点は次のように表されます。${\displaystyle x_{i}=y_{i}-ka_{i}}$のために${\displaystyle 1\leq i\leq n}$どこ

${\displaystyle k={\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\dfrac {a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}}$、

そして距離は${\displaystyle \mathbf {y} }$超平面へは

${\displaystyle {\dfrac {\left|a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d\right|}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}}}$。

したがって、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$平面上の点${\displaystyle ax+by+cz=d}$任意の点に最も近い${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$は${\displaystyle (x,y,z)}$によって与えられた

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}x=x_{1}-ka\\y=y_{1}-kb\\z=z_{1}-kc\end{array}}\right\}}$

どこ

${\displaystyle k={\dfrac {ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$、

そして、その点から平面までの距離は

${\displaystyle {\dfrac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$。

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