ガロア幾何学

ガロア幾何学（19世紀フランスの数学者 エヴァリスト・ガロアにちなんで名付けられた）は、有限体（またはガロア体）上の代数幾何学と解析幾何学を扱う有限幾何学の一分野である。 ^[1]より狭義には、ガロア幾何学は有限体上の射影空間 として定義される。 ^[2]

研究対象には、有限体上のアフィン空間と射影空間、およびそれらに含まれるさまざまな構造が含まれます。特に、弧、楕円、超楕円、単位、ブロッキング セット、卵形、キャップ、スプレッド、および非有限幾何学に見られる構造のすべての有限類似体です。有限体上に定義されたベクトル空間は、特に構築方法において重要な役割を果たします。

射影幾何学の一般的な表記法が使用されることもありますが、有限体上の射影空間をPG( n , q )で表す方が一般的です。ここで、 nは「幾何学的」次元 (下記参照)、q は有限体 (またはガロア体) GF( q )の位数で、素数または素数べきの整数でなければなりません。

上記の表記における幾何学的次元とは、線が 1 次元、平面が 2 次元、点が 0 次元などであるシステムを指します。この次元の概念はベクトル空間 (つまり、基底の要素の数) に使用される概念とは異なるため、修飾語 (幾何学的ではなく射影的という用語が使用されることもあります) が必要です。通常、同じ名前の 2 つの異なる概念があっても、文脈上、別々の領域で大きな問題を引き起こすことはありませんが、この主題ではベクトル空間と射影空間の両方が重要な役割を果たしており、混乱が生じる可能性が非常に高くなります。ベクトル空間の概念は、代数的次元と呼ばれることもあります。^[3]

V = V( n + 1 , q )が有限体GF( q )上に定義された (代数的) 次元n + 1のベクトル空間を表すものとします。射影空間PG( n , q )は、 Vのすべての正の (代数的) 次元ベクトル部分空間から構成されます。この構築を別の観点から見ると、PG( n , q )の点を、2 つのベクトルが一方が他方のスカラー倍である場合にそれらのベクトルは同値であるという同値関係の下での V の非ゼロベクトルの同値類として定義することができます。次に、点の集合の 線型独立の定義を使用して、点から部分空間を構築します。

Vの代数次元d + 1のベクトル部分空間は、幾何学的次元dのPG( n , q )の (射影) 部分空間です。射影部分空間には共通の幾何学的名前が付けられています。点、線、平面、立体は、それぞれ 0、1、2、3 次元の部分空間です。空間全体はn次元の部分空間であり、 ( n − 1 ) 次元の部分空間は超平面(または素数)と呼ばれます。

ベクトル空間V( n , q )における代数次元dのベクトル部分空間の数は、ガウス二項係数によって与えられる。

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\d\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{d-1})}{(q^{d}-1)(q^{d}-q)\cdots (q^{d}-q^{d-1})}}.}$

したがって、 PG( n , q )におけるk次元射影部分空間の数は次のように与えられる。

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)(q^{n+1}-q)\cdots (q^{n+1}-q^{k})}{(q^{k+1}-1)(q^{k+1}-q)\cdots (q^{k+1}-q^{k})}}.}$

したがって、例えばPG(3,2)の行数（k = 1）は

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]_{2}={\frac {(2^{4}-1)(2^{4}-2)}{(2^{2}-1)(2^{2}-2)}}={\frac {(15)(14)}{(3)(2)}}=35.}$

したがって、 P = PG( n , q )の点の総数（k = 0）は

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)}{(q-1)}}=q^{n}+q^{n-1}+\cdots +q+1.}$

これはPの超平面の数にも等しくなります。

Pの点を通る直線の数は次のように計算することができ、これは固定点を通る超平面の数でもある。^[4]${\displaystyle q^{n-1}+q^{n-2}+\cdots +q+1}$

UとW をガロア幾何学P = PG( n , q )の部分空間とする。交差U ∩ WはPの部分空間であるが、集合論的和集合はそうではないかもしれない。これらの部分空間の結合は< U , W >で表され、 UとW の両方を含むPの最小の部分空間である。これら 2 つの部分空間の結合と交差の次元は、次の式で関連付けられる。

${\displaystyle |<U,W>|=|U|+|W|-|U\cap W|.}$

固定された基底に関して、Vのすべてのベクトルは、 GF( q )の( n + 1 ) 組の要素によって一意に表されます。射影点はベクトルの同値類であるため、同じ点に対応する (ベクトルの) さまざまな座標が多数存在します。ただし、それぞれが他の座標の非ゼロのスカラー倍数であるため、これらはすべて互いに関連しています。これにより、射影空間の点を表すために使用される同次座標の概念が生まれます。

ジーノ・ファノはガロア幾何学の分野での初期の著述家であった。1892年の論文^[5]では、射影n空間に対する彼の公理の独立性を証明し、^[6]とりわけ、第4調和点がその共役点に等しいことの結果を検討した。これは、15の点、35の直線、15の平面を持つ有限の3次元空間に含まれる7つの点と7つの直線の構成につながり、各直線には3つの点のみが含まれていた。^{[5] ：114}この空間のすべての平面は7つの点と7つの直線で構成され、現在ではファノ平面として知られている。ファノは任意の次元と素数位数のガロア幾何学について記述した。

ジョージ・コンウェルは1910年に、カークマンの女子高生問題の解を、ガロア体GF(2)上の3次元射影幾何学であるPG(3,2)における斜めの直線の集合の分割として特徴づけ、ガロア幾何学の初期の応用を示した。^[7]特性0 の体上の空間における直線幾何学の方法と同様に、コンウェルはPG(5,2)でプルッカー座標を使用し、PG(3,2)の直線を表す点をクラインの二次曲面上の点として特定した。

1955 年、ベニアミーノ・セグレはq が奇数の場合の楕円を特徴付けました。セグレの定理は、奇数次のガロア幾何学 (つまり、奇特性の有限体上に定義された射影平面) では、すべての楕円は円錐曲線になることを述べています。この結果により、ガロア幾何学が重要な研究分野として確立されたとよく言われます。1958 年の国際数学会議で、セグレは当時までに知られていたガロア幾何学の結果の調査を発表しました。

• 入射ジオメトリ

• ガロア幾何学、Encyclopaedia of Mathematics、SpringerLink