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数学において、同変性とは、対称性を持つ空間から別の対称空間への関数の対称性の一形態です（対称空間など）。関数の定義域と値域が同じ対称群によって作用され、かつ関数がその群の作用と可換である場合、その関数は同変写像であると言われます。つまり、対称変換を適用してから関数を計算するのと、関数を計算してから変換を適用するのとでは、同じ結果が得られるということです。
同変写像は、不変量の概念を一般化したものです。不変量とは、引数の対称変換によって値が変化しない関数のことです。同変写像の値は、しばしば（厳密には正しくありませんが）不変量と呼ばれます。
統計的推論において、データの統計的変換に対する同変性は、様々な推定方法の重要な特性です。詳細は不変推定量を参照してください。純粋数学においては、同変性は同変位相幾何学、およびその下位分野である同変コホモロジーと同変安定ホモトピー理論における中心的な研究対象です。
三角形の幾何学では、三角形の面積と周長はユークリッド変換に対して不変です。つまり、三角形を平行移動、回転、または鏡映しても、面積や周長は変わりません。しかし、重心、外心、内心、垂心などの三角形の中心は不変ではありません。三角形を移動すると、その中心も移動するからです。代わりに、これらの中心は同変です。三角形に任意のユークリッド合同式（平行移動と回転の組み合わせ）を適用してから中心を作図すると、最初に中心を作図してから同じ合同式をその中心に適用した場合と同じ点が得られます。より一般的には、すべての三角形の中心は相似変換（平行移動、回転、鏡映、および拡大縮小の組み合わせ）に対しても同変であり[ 1 ] 、重心はアフィン変換 に対しても同変です[ 2 ]。
同じ関数でも、ある対称群に対しては不変量となり、別の対称群に対しては同変量となる場合があります。例えば、合同変換ではなく相似変換を用いる場合、面積と周長はもはや不変量ではありません。三角形の拡大縮小を行うと、面積と周長も変化します。しかし、これらの変化は予測可能な形で起こります。三角形をs倍に拡大縮小すると、周長もs倍になり、面積はs²倍になります。このように、各三角形をその面積または周長にマッピングする関数は、正の実数に対する拡大縮小変換の乗法群作用に対して同変量とみなすことができます。
もう一つの簡単な例は、統計的推定から得られます。標本（実数の集合）の平均は、標本の中心傾向としてよく用いられます。平均は実数の線形変換に対して不変であるため、例えば、数値を表す単位の選択によって影響を受けません。対照的に、平均は指数関数などの非線形変換に対しては不変ではありません。
標本のメジアンは、実数の（厳密に）単調関数という、はるかに大きな変換群に対して同変です。この分析は、メジアンがデータセットの特定の種類の変更に対してより頑健であり、（平均とは異なり）順序データに対して意味があることを示しています。[ 3 ]
不変推定量と等変推定量の概念は、この種の分析を形式化するために用いられてきた。
有限群の表現論において、空間の線形変換によって作用する群を備えたベクトル空間は、群の線形表現と呼ばれる。作用と可換な線形写像はインターツワイナーと呼ばれる。つまり、インターツワイナーは、2 つの表現間の同変線形写像にすぎない。あるいは、体K上の群Gの表現に対するインターツワイナーは、 K [ G ]モジュールのモジュール準同型と同じである。ここで、K [ G ]はGの群環である。[ 4 ]
ある条件下では、XとY が両方とも既約表現である場合、インターツワイナー (ゼロ写像以外) は、2 つの表現が等価 (つまり、加群として同型) である場合にのみ存在します。そのインターツワイナーは、乗法因子 (K からの非ゼロのスカラー) を除いて一意です。これらの性質は、K [ G ] の像が中心 K を持つ単純代数である場合に成り立ちます (シューアの補題と呼ばれるものにより:単純加群を参照)。結果として、重要なケースでは、インターツワイナーの構成だけで、表現が実質的に同じであることを示すのに十分です。[ 5 ]
同変性は、群GのG集合の概念を用いて形式化できる。これは、数学的集合Sと、Sに対するGの群作用(左から)からなる数学的対象である。XとY が両方とも同じ群GのG集合である場合、関数f : X → Yは、次の条件を満たす場合に同変性であると言われる。
すべてのg ∈ Gおよびすべてのx ∈ Xに対して。[ 6 ]
どちらか一方または両方の行動が正しい行動である場合、同変性条件は適切に修正される可能性がある。
同変写像は、G集合の圏における射です( Gは固定されています)。[ 7 ]したがって、 G射、[ 7 ] G写像、[ 8 ]またはG準同型とも呼ばれます。[ 9 ] G集合の同型は、単純に全単射の同変写像です。[ 7 ]
同変性条件は、次の可換図式としても理解できます。要素を受け取るマップを表しますそして返します。
同変写像は、任意の圏に容易に一般化できます。任意の群Gは、単一の対象を持つ圏と見なすことができます (この圏の射は、 Gの要素です)。任意の圏Cが与えられたとき、圏CにおけるGの表現は、 GからCへの関手です。このような関手は、 Cの対象と、その対象の自己同型の部分群を選択します。たとえば、G集合は、Gから集合の圏Setへの関手と等価であり、線形表現は、体上のベクトル空間の圏Vect Kへの関手と等価です。
CにおけるGの 2 つの表現 ρ と σ が与えられたとき、それらの表現間の同変写像は、 ρ から σ への自然変換に他なりません。自然変換を射として用いることで、 CにおけるGのすべての表現の圏を構成できます。これはまさに関手圏C Gです。
別の例として、位相空間の圏であるC = Top を考えてみましょう。TopにおけるGの表現とは、G が連続的に作用する位相空間のことです。同変写像とは、表現間の連続写像f : X → Yであり、 Gの作用と可換なものです。
