多様体上の密度

数学、特に微分幾何学において、密度とは、微分可能多様体上の空間的に変化する量であり、固有の方法で積分することができます。抽象的には、密度は、密度束と呼ばれる特定の線束のセクションです。密度束のxにおける要素は、xにおけるn 個の指定された接ベクトルによって張られる平行四辺形の体積を割り当てる関数です。

操作の観点から見ると、密度は座標チャート上の関数の集合であり、座標変換でヤコビ行列式の絶対値が乗じられます。密度はs密度に一般化でき、その座標表現はヤコビ行列式の絶対値のs乗が乗じられます。向き付けられた多様体上では、1 密度はM上のn形式と標準的に同一視できます。向き付けられていない多様体では、密度バンドルがMの向きバンドルとT ^∗ Mのn番目の外積バンドルのテンソル積であるため、この同一視はできません(擬テンソルを参照)。

一般に、 n次元ベクトル空間V内のベクトルv ₁ , ..., v _nによって生成される平行四辺形には、「体積」という自然な概念は存在しません。ただし、そのような平行四辺形に体積を割り当てる関数μ  : V × ... × V → Rを定義する場合は、次の特性を満たす必要があります。

• ベクトルv _{kのいずれかに}λ ∈ Rを掛ける場合、体積には | λ | を掛ける必要があります。
• ベクトルv ₁、...、v _{j −1}、v _{j +1}、...、v _nの任意の線形結合をベクトルv _jに追加した場合、体積は不変のままになります。

これらの条件は、 μ がV上の変換不変測度によって与えられるという命題と同値であり、次のように言い換えることができる。

${\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}$

このような写像μ  : V × ... × V → Rはベクトル空間V上の密度と呼ばれる。 ( v ₁ , ..., v _n ) がVの任意の基底である場合、μ ( v ₁ , ..., v _n ) を固定するとμ が完全に固定されるので、 V上のすべての密度の集合 Vol( V ) は1次元ベクトル空間を形成する。V上の任意のn形式ω は、 V上の密度 | ω | を次のように 定義する。

${\displaystyle |\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|.}$

を満たす すべての関数o  : V ×...× V → Rの集合Or( V )は、

${\displaystyle o(Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\operatorname {sign} (\det A)o(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V)}$

線形独立である場合、そうでない場合 は${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$${\displaystyle o(v_{1},\ldots ,v_{n})=0}$

は1次元ベクトル空間を形成し、V上の向きは、任意の線型独立なv ₁ , ..., v _nに対して| o ( v ₁ , ..., v _n ) | = 1となるようなo ∈ Or ( V )の2つの元のうちの1つである。V上の任意の非ゼロのn形式ω は、向きo ∈ Or( V )を定義し、

${\displaystyle o(v_{1},\ldots ,v_{n})|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{ n}),}$

逆に、任意のo ∈ Or( V )と任意の密度μ ∈ Vol( V )は、 V上のn形式ω を次のように 定義する。

${\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})=o(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu (v_{1},\ldots ,v_{n} )。}$

テンソル積空間の観点から見ると、

${\displaystyle \operatorname {Or} (V)\otimes \operatorname {Vol} (V)=\bigwedge ^{n}V^{*},\quad \operatorname {Vol} (V)=\operatorname {Or} (V)\otimes \bigwedge ^{n}V^{*}.}$

V上のs密度は関数μ  : V ×...× V → Rであり、

${\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|^{s}\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}$

密度と同様に、s密度は1次元ベクトル空間Vol ^s ( V ) を形成し、V上の任意のn形式ω はV上のs密度 | ω | ^{s を}次のように 定義します。

${\displaystyle |\omega |^{s}(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|^{s}。 }$

s ₁密度とs ₂密度の積μ ₁とμ ₂は、 ( s ₁ + s ₂ )密度μ を形成する。

${\displaystyle \mu (v_{1},\ldots ,v_{n}):=\mu _{1}(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu _{2}(v_{ 1},\ldots ,v_{n}).}$

テンソル積空間の観点からこの事実は次のように述べられる。

${\displaystyle \operatorname {Vol} ^{s_{1}}(V)\otimes \operatorname {Vol} ^{s_{2}}(V)=\operatorname {Vol} ^{s_{1}+s_{ 2}}(V)。}$

形式的には、微分可能多様体Mのs密度バンドルVol ^s ( M )は、1次元群表現を絡み合わせた付随バンドル構成によって得られる。

${\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s},\quad A\in \operatorname {GL} (n)}$

Mのフレームバンドルを持つ一般線型群の。

結果として得られる線束はs密度の束として知られ、次のように表記される。

${\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}=\left|\Lambda \right|^{s}(TM).}$

1 密度は単に密度とも呼ばれます。

より一般的には、付随するバンドル構成により、 M上の任意のベクトルバンドル Eから密度を構築することもできます。

詳細には、( U _α , φ _α )がM上の座標チャートのアトラスである場合、${\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}}$

${\displaystyle t_{\alpha }:\left|\Lambda \right|_{M}^{s}|_{U_{\alpha }}\to \phi _{\alpha }(U_{\alpha })\times \mathbb {R} }$

開被覆U _αに従属し、関連する GL(1)-コサイクルが

${\displaystyle t_{\alpha \beta }=\left|\det(d\phi _{\alpha }\circ d\phi _{\beta }^{-1})\right|^{-s}.}$

密度は多様体上の積分理論において重要な役割を果たします。実際、密度の定義は、座標の変化によって測度 dx がどのように変化するかによって決まります (Folland 1999、セクション 11.4、pp. 361-362)。

座標チャートU _αでサポートされた1密度ƒ が与えられた場合、積分は次のように定義されます。

${\displaystyle \int _{U_{\alpha }}f=\int _{\phi _{\alpha }(U_{\alpha })}t_{\alpha }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}d\mu }$

ここで、後者の積分はR ⁿ上のルベーグ測度に関するものである。1-密度の変換則は、変数のヤコビ変換とともに、異なる座標チャートの重なりにおける互換性を保証するため、一般的なコンパクトに支えられた1-密度の積分は、1 の分割の議論によって定義できる。したがって、1-密度は、多様体が必ずしも方向付けられていることや方向付け可能であることを必要としない体積形式の概念の一般化である。より一般的には、リース-マルコフ-角谷表現定理を使用して、ラドン測度の一般理論を の分布セクションとして展開することができる。 ${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{1}}$

となるような1/p密度の集合はノルム線型空間であり、その完備化はMの固有L ^p空間と呼ばれる。 ${\displaystyle |\phi |_{p}=\left(\int |\phi |^{p}\right)^{1/p}<\infty }$${\displaystyle L^{p}(M)}$

いくつかの分野、特に共形幾何学では、異なる重み付け規則が使用される。すなわち、 s密度の束は、代わりに文字

${\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s/n}.}$

この規則では、例えば、1 密度ではなくn密度を積分します。また、これらの規則では、共形計量は重み 2 の テンソル密度と同一視されます。

• の双対ベクトル束はです。${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{s}}$${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{-s}}$
• テンソル密度は、密度バンドルとテンソルバンドルのテンソル積のセクションです。

• ベルリン、ニコール。ゲツラー、エズラ。 Vergne、Michele (2004)、Heat Kernels and Dirac Operators、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-20062-8。
• フォランド、ジェラルド B. (1999)、実分析：現代の技術とその応用（第 2 版）、ISBN 978-0-471-31716-6最後のセクションでは密度について簡単に説明します。{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• Nicolaescu, Liviu I. (1996)、Lectures on the Geometry of Manifolds、ニュージャージー州リバーエッジ：World Scientific Publishing Co. Inc.、ISBN 978-981-02-2836-1、MR  1435504
• Lee, John M (2003)、滑らかな多様体入門、Springer-Verlag