テンソル（固有の定義）

数学において、テンソルの理論に対する現代の成分フリーアプローチは、テンソルを、ある種の特定の多重線型概念を表現する抽象的なオブジェクトと見なします。テンソルの特性は、線型写像として、またはより一般的には、テンソルの定義から導き出すことができます。テンソルの操作規則は、線型代数から多重線型代数への拡張として生じます。

微分幾何学では、本質的な^{[定義が必要]幾何学的記述は}多様体上のテンソル場によって記述される場合があり、その場合座標を参照する必要はまったくありません。同じことが一般相対論でも当てはまり、テンソル場は物理的性質を記述します。成分フリーのアプローチは、テンソルが自然に生じる抽象代数やホモロジー代数でも広く使用されています。

共通体F上のベクトル空間の有限集合{ V ₁ , ..., V _n }が与えられたとき、それらのテンソル積V ₁ ⊗ ... ⊗ V _nを形成することができ、その要素はテンソルと呼ばれます。

ベクトル空間 V上のテンソルは、次の形式のベクトル空間の要素（つまり、ベクトル）として定義されます。 ここで、V ^∗はVの双対空間です。 $${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$$

積の中にVのm 個のコピーとV ^∗のn 個のコピーがある場合、テンソルは( m , n )型で、m位の反変、n位の共変、全位数m + nであるといわれる。 0 位のテンソルはスカラー（体Fの元）であり、反変位数 1 のテンソルはVのベクトルであり、共変位数 1 のテンソルはV ^∗の1 形式である（このため、最後の 2 つの空間の元は反変ベクトルと共変ベクトルと呼ばれることが多い）。 ( m , n )型のすべてのテンソルの空間は次のように表される 。 $${\displaystyle T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}.}$$

例1. (1, 1)型テンソルの空間は、VからVへの線型変換の空間と自然に同型です。 ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)=V\otimes V^{*},}$

例 2.実ベクトル空間V上の双線型形式は、自然な形で の(0, 2)型テンソルに対応します。このような双線型形式の例は、^{[説明が必要]}関連する計量テンソルと呼ばれるように定義され、通常はgと表記されます。 ${\displaystyle V\times V\to F,}$${\displaystyle T_{2}^{0}(V)=V^{*}\otimes V^{*}.}$

単純テンソル（階数 1 のテンソル、基本テンソル、分解可能テンソル^[1]とも呼ばれる）は 、 a、b、 ...、dがゼロ以外 で、 VまたはV ^∗に含まれる、つまりテンソルがゼロ以外で完全に因数分解可能な場合の形式のテンソルの積として表されるテンソルです。すべてのテンソルは単純テンソルの和として表すことができます。テンソルTの階数は、合計がTになる単純テンソルの最小数です。^[2]$${\displaystyle T=a\otimes b\otimes \cdots \otimes d}$$

ゼロテンソルのランクはゼロです。非ゼロの 0 次または 1 次テンソルのランクは常に 1 です。非ゼロの 2 次以上のテンソルのランクは、テンソルを表現できる最高次元ベクトルを除くすべてのベクトルの次元の積 (積の和) 以下であり、各積が次元dの有限次元ベクトル空間からのn 個のベクトルの積である場合はd ^{n −1}です。

テンソルの階数という用語は、線型代数における行列の階数の概念を拡張したものですが、この用語はテンソルの順序 (または次数) を意味するためにもよく使用されます。行列の階数は、行列の範囲をカバーするために必要な列ベクトルの最小数です。したがって、行列が2 つの非ゼロベクトルの 外積として表される場合、その行列の階数は 1 になります。$${\displaystyle A=vw^{\mathrm {T} }.}$$

行列Aの階数は、その行列を生成するために加算できる外積の最小の数です。 $${\displaystyle A=v_{1}w_{1}^{\mathrm {T} }+\cdots +v_{k}w_{k}^{\mathrm {T} }.}$$

インデックスにおいて、階数1のテンソルは次の形式のテンソルである。 $${\displaystyle T_{ij\dots}^{k\ell\dots}=a_{i}b_{j}\cdots c^{k}d^{\ell}\cdots .}$$

2 次テンソルの階数は、テンソルを行列とみなしたときの階数と一致し、 [ ^3]例えばガウス消去法で決定できます。しかし、3 次以上のテンソルの階数は決定が非常に難しい場合が多く、テンソルの低階数分解は実用上非常に興味深いことがあります。^[4]実際、任意の有限体上の 3 次テンソルの階数を求める問題はNP 完全であり、有理数上の階数を求める問題はNP 困難です。^{[5]行列の効率的な乗算や}多項式の効率的な評価などの計算タスクは、 与えられた入力x _iとy _jに対して一連の双線型形式を 同時に評価する問題として書き直すことができます。テンソルTの低階数分解がわかれば、効率的な評価戦略がわかります。^[6]$${\displaystyle z_{k}=\sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}}$$

空間は、多重線型マッピングの観点から普遍的な特性によって特徴付けることができます。このアプローチの利点の 1 つは、多くの線型マッピングが「自然」または「幾何学的」である (つまり、基底の選択に依存しない) ことを示す方法を提供することです。明示的な計算情報は基底を使用して書き出すことができ、この優先順位は、式が自然なマッピングを生み出すことを証明するよりも便利です。もう 1 つの側面は、テンソル積が自由モジュールにのみ使用されるわけではなく、「普遍的な」アプローチがより一般的な状況に簡単に適用できることです。 ${\displaystyle T_{n}^{m}(V)}$

ベクトル空間の直積（または直和） 上のスカラー値関数は 、各引数について線型である場合に多重線型である。V 1 × ... × V N から W へのすべての多重線型マッピングの空間は、L N ( _V 1 , ... ^, V N _; W )_と表記 される。N ₌ 1の場合、多重線型マッピングは通常の線型マッピングにすぎず、 VからWへのすべての線型マッピングの空間は、L ( V ; W )と表記される。 $${\displaystyle f:V_{1}\times \cdots \times V_{N}\to F}$$

テンソル積の普遍的な特徴付けは、各多重線型関数 （Wはスカラー体、ベクトル空間、またはテンソル空間を表すことができる） に対して、 V内の すべてのv _iとV ^∗内のすべてのα _iに対して、 となるような 一意の線型関数が存在することを意味します。 $${\displaystyle f\in L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};W)}$$$${\displaystyle T_{f}\in L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};W)}$$$${\displaystyle f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},v_{1},\ldots ,v_{n})=T_{f}(\alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})}$$

普遍性を用いると、Vが有限次元のとき、 ( m , n ) -テンソルの空間は自然な同型性を持つことがわかる。 $${\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};F)\cong L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};F).}$$

テンソルの定義における各V は、線型写像の引数内のV ^∗に対応し、その逆も同様である。（前者の場合、Vのm 個のコピーとV ^∗のn 個のコピーがあり、後者の場合、その逆であることに注意）。特に、 $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}^{1}(V)&\cong L(V^{*};F)\cong V,\\T_{1}^{0}(V)&\cong L(V;F)=V^{*},\\T_{1}^{1}(V)&\cong L(V;V).\end{aligned}}}$$

微分幾何学、物理学、工学では、滑らかな多様体上のテンソル場を扱うことがよくあります。テンソルという用語は、テンソル場の省略形として使用されることもあります。テンソル場は、多様体上の点ごとに変化するテンソルの概念を表します。

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