線形弾性論は、固体物体が所定の荷重条件によってどのように 変形し 、内部応力 が発生するかを数学的にモデル化したものである。これは、より一般的な非線形弾性理論 を簡略化したものであり、連続体力学 の一分野である。
線形弾性論の基本的な仮定は、微小ひずみ （ つまり「小さな」変形） と、応力とひずみの成分間の線形関係（そのため「線形」という名称が付けられている）です。線形弾性論は、 降伏 を生じない応力状態に対してのみ有効です。その仮定は、多くの工学材料や工学設計シナリオにおいて妥当です。そのため、線形弾性論は、有限要素解析 の助けを借りて、構造解析 や工学設計において広く用いられています。
線形弾性境界値問題を支配する方程式は 、線形運動量の保存則 に関する3つのテンソル 偏微分方程式 と、6つの微小ひずみ -変位 関係に基づいている。微分方程式系は、一連の線形 代数構成関係 によって完成される。
直交座標 系に関する成分で表すと、線形弾性の支配方程式は次のようになります。[ 1 ]
等方性均質媒体に対する弾性静力学的境界値問題は、15個の独立した方程式と、同数の未知数（平衡方程式3個、ひずみ-変位方程式6個、構成方程式6個）からなるシステムです。境界条件を指定することで、境界値問題は完全に定義されます。境界値問題の境界条件に応じて、このシステムを解くには、変位定式化 と応力定式化 の2つのアプローチが考えられます。
球面座標では（r 、 θ 、 ϕ {\displaystyle r,\theta ,\phi } [ 1 ] ∂ σ r r ∂ r + 1 r ∂ σ r θ ∂ θ + 1 r 罪 θ ∂ σ r ϕ ∂ ϕ + 1 r （ 2 σ r r − σ θ θ − σ ϕ ϕ + σ r θ ベビーベッド θ ） + F r = ρ ∂ 2 u r ∂ t 2 ∂ σ r θ ∂ r + 1 r ∂ σ θ θ ∂ θ + 1 r 罪 θ ∂ σ θ ϕ ∂ ϕ + 1 r [ （ σ θ θ − σ ϕ ϕ ） ベビーベッド θ + 3 σ r θ ] + F θ = ρ ∂ 2 u θ ∂ t 2 ∂ σ r ϕ ∂ r + 1 r ∂ σ θ ϕ ∂ θ + 1 r 罪 θ ∂ σ ϕ ϕ ∂ ϕ + 1 r （ 2 σ θ ϕ ベビーベッド θ + 3 σ r ϕ ） + F ϕ = ρ ∂ 2 u ϕ ∂ t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}
物理学 で一般的に使用される球面座標 ( r 、θ 、φ ) : 半径距離r 、極角θ (シータ )、方位角φ (ファイ) 。r の代わりに記号ρ (ロー ) がよく使用されます。球面座標におけるひずみテンソルは ε r r = ∂ u r ∂ r ε θ θ = 1 r （ ∂ u θ ∂ θ + u r ） ε ϕ ϕ = 1 r 罪 θ （ ∂ u ϕ ∂ ϕ + u r 罪 θ + u θ コス θ ） ε r θ = 1 2 （ 1 r ∂ u r ∂ θ + ∂ u θ ∂ r − u θ r ） ε θ ϕ = 1 2 r [ 1 罪 θ ∂ u θ ∂ ϕ + （ ∂ u ϕ ∂ θ − u ϕ ベビーベッド θ ） ] ε r ϕ = 1 2 （ 1 r 罪 θ ∂ u r ∂ ϕ + ∂ u ϕ ∂ r − u ϕ r ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}}
等方性 媒体では、剛性テンソルは応力（結果として生じる内部応力）とひずみ（結果として生じる変形）の関係を表します。等方性媒体の場合、剛性テンソルには特定の方向はありません。つまり、加えられた力は、力が加えられる方向に関係なく、（力の方向に対して）同じ変位を生じさせます。等方性の場合、剛性テンソルは次のように表すことができます。C 私 j k l = K δ 私 j δ k l + μ （ δ 私 k δ j l + δ 私 l δ j k − 2 3 δ 私 j δ k l ） {\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})} δ 私 j {\displaystyle \delta _{ij}} クロネッカーデルタ 、K は体積弾性率 （または非圧縮性）であり、μ {\displaystyle \mu } はせん断弾性率 （または剛性）であり、2つの弾性率 です。媒体が不均質な場合、媒体が区分的に一定であるか、または弱く不均質である場合は、等方性モデルが妥当です。強く不均質な滑らかなモデルでは、異方性を考慮する必要があります。媒体が均質で ある場合、弾性率は媒体内の位置に依存しません。構成方程式は次のように記述できます。 σ 私 j = K δ 私 j ε k k + 2 μ （ ε 私 j − 1 3 δ 私 j ε k k ） 。 {\displaystyle \sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}\right).}
この式は、応力を左側のスカラー部分（スカラー圧力に関連付けられる可能性がある）と右側のトレースレス部分（せん断力に関連付けられる可能性がある）に分離します。より簡単な式は次のとおりです。[ 3 ] [ 4 ] σ 私 j = λ δ 私 j ε k k + 2 μ ε 私 j {\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}} ラメの第1パラメータ である。構成方程式は単純な線形方程式のセットであるため、ひずみは応力の関数として次のように表すことができる。[ 5 ] ε 私 j = 1 9 K δ 私 j σ k k + 1 2 μ （ σ 私 j − 1 3 δ 私 j σ k k ） {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)} ε 私 j = 1 2 μ σ 私 j − ν E δ 私 j σ k k = 1 E [ （ 1 + ν ） σ 私 j − ν δ 私 j σ k k ] {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]} ν {\displaystyle \nu } ポアソン比 であり、E {\displaystyle E} はヤング率 です。
弾性静力学 弾性静力学は、弾性体にかかるすべての力が合計でゼロになり、変位が時間の関数ではない平衡状態における線形弾性の研究である。平衡方程式 は次のようになる。σ j 私 、 j + F 私 = 0. {\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0.} せん断応力 を表す）、
∂ σ x ∂ x + ∂ τ y x ∂ y + ∂ τ z x ∂ z + F x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0} ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y ∂ y + ∂ τ z y ∂ z + F y = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0} ∂ τ x z ∂ x + ∂ τ y z ∂ y + ∂ σ z ∂ z + F z = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0} このセクションでは、等方性均質の場合のみを扱います。
この場合、変位は境界内のあらゆる場所で規定されています。このアプローチでは、ひずみと応力は定式化から除外され、変位が支配方程式で解くべき未知数として残ります。まず、ひずみ-変位方程式を構成方程式（フックの法則）に代入し、ひずみを未知数から除外します。 σ 私 j = λ δ 私 j ε k k + 2 μ ε 私 j = λ δ 私 j u k 、 k + μ （ u 私 、 j + u j 、 私 ） 。 {\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).} λ {\displaystyle \lambda } μ {\displaystyle \mu } σ 私 j 、 j = λ u k 、 k 私 + μ （ u 私 、 j j + u j 、 私 j ） 。 {\displaystyle \sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).} λ u k 、 k 私 + μ （ u 私 、 j j + u j 、 私 j ） + F 私 = 0 {\displaystyle \lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0} または（シュワルツ の定理により、二重（ダミー）（＝総和）添え字k,kをj,jに置き換え、添え字ijをjiに交換する） μ u 私 、 j j + （ μ + λ ） u j 、 j 私 + F 私 = 0 {\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0} λ {\displaystyle \lambda } μ {\displaystyle \mu } はラメ定数 である。このようにして、残る未知数は変位のみとなるため、この定式化はラメ定数と呼ばれる。このようにして得られる支配方程式は弾性静力学方程式と呼ばれ、以下に示す定常 ナビエ・コーシー方程式 の特殊な場合である。
変位場が計算されたら、その変位をひずみ-変位方程式に代入してひずみを求め、その後、そのひずみを構成方程式に代入して応力を求める。
重調和方程式 弾性静力学方程式は次のように表すことができます。 （ α 2 − β 2 ） u j 、 私 j + β 2 u 私 、 m m = − F 私 。 {\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.}
弾性静力学方程式の両辺の発散 を取り、体積力の発散がゼロであると仮定する（領域内で均質）（F 私 、 私 = 0 {\displaystyle F_{i,i}=0\,\!} （ α 2 − β 2 ） u j 、 私 私 j + β 2 u 私 、 私 m m = 0. {\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.}
添え字の合計は必ずしも一致する必要はなく、偏微分は可換であることに注意すると、2つの微分項は同じであることがわかります。α 2 u j 、 私 私 j = 0 {\displaystyle \alpha ^{2}u_{j,iij}=0} u j 、 私 私 j = 0. {\displaystyle u_{j,iij}=0.}
弾性静力学方程式の両辺のラプラシアンを 取り、さらにF 私 、 k k = 0 {\displaystyle F_{i,kk}=0\,\!} （ α 2 − β 2 ） u j 、 k k 私 j + β 2 u 私 、 k k m m = 0. {\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.}
発散方程式から、左辺の最初の項はゼロになります（注：ここでも、合計した添え字は一致する必要はありません）。そして、次のようになります。 β 2 u 私 、 k k m m = 0 {\displaystyle \beta ^{2}u_{i,kkmm}=0} u 私 、 k k m m = 0 {\displaystyle u_{i,kkmm}=0} ∇ 4 u = 0 {\displaystyle \nabla ^{4}\mathbf {u} =0} 、 u {\displaystyle \mathbf {u} \,\!}
この場合、表面境界上のあらゆる場所で表面応力が規定されます。このアプローチでは、ひずみと変位は消去され、応力のみが支配方程式で解くべき未知数となります。応力場が求められたら、構成方程式を用いてひずみを求めます。
応力テンソルには決定する必要のある独立した成分が 6 つありますが、変位の定式化では、決定する必要のある変位ベクトルの成分は 3 つだけです。これは、自由度を 3 つに減らすために、応力テンソルに何らかの制約を課す必要があることを意味します。構成方程式を使用すると、これらの制約は、同じく 6 つの独立した成分を持つひずみテンソルに対して成り立つ必要がある対応する制約から直接導出されます。ひずみテンソルに対する制約は、変位ベクトル場 の関数としてのひずみテンソルの定義から直接導出できるため、これらの制約は新しい概念や情報を導入しません。最も理解しやすいのは、ひずみテンソルに対する制約です。弾性媒体を、ひずみのない状態の微小立方体の集合として視覚化すると、媒体にひずみが生じた後、任意のひずみテンソルは、歪んだ立方体が重なり合うことなく互いに適合する状況をもたらす必要があります。言い換えれば、与えられたひずみに対して、そのひずみテンソルを導出できる連続ベクトル場（変位）が存在しなければならない。この条件を満たすために必要なひずみテンソルの制約はサン・ヴナンによって発見され、「サン・ヴナン適合方程式 」と呼ばれている。これらは81個の方程式からなり、そのうち6個は独立した非自明な方程式で、異なるひずみ成分を関連付けている。これらは添え字表記で次のように表される。 ε 私 j 、 k m + ε k m 、 私 j − ε 私 k 、 j m − ε j m 、 私 k = 0. {\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.} ∂ 2 ϵ x ∂ y 2 + ∂ 2 ϵ y ∂ x 2 = 2 ∂ 2 ϵ x y ∂ x ∂ y ∂ 2 ϵ y ∂ z 2 + ∂ 2 ϵ z ∂ y 2 = 2 ∂ 2 ϵ y z ∂ y ∂ z ∂ 2 ϵ x ∂ z 2 + ∂ 2 ϵ z ∂ x 2 = 2 ∂ 2 ϵ z x ∂ z ∂ x ∂ 2 ϵ x ∂ y ∂ z = ∂ ∂ x （ − ∂ ϵ y z ∂ x + ∂ ϵ z x ∂ y + ∂ ϵ x y ∂ z ） ∂ 2 ϵ y ∂ z ∂ x = ∂ ∂ y （ ∂ ϵ y z ∂ x − ∂ ϵ z x ∂ y + ∂ ϵ x y ∂ z ） ∂ 2 ϵ z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ z （ ∂ ϵ y z ∂ x + ∂ ϵ z x ∂ y − ∂ ϵ x y ∂ z ） {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\end{aligned}}}
この式におけるひずみは、構成方程式を用いて応力で表され、それによって応力テンソルに対する対応する制約が得られます。これらの応力テンソルに対する制約は、ベルトラミ・ミッチェル 適合方程式として知られています。 σ 私 j 、 k k + 1 1 + ν σ k k 、 私 j + F 私 、 j + F j 、 私 + ν 1 − ν δ 私 、 j F k 、 k = 0. {\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.} [ 6 ]に簡略化されます。 （ 1 + ν ） σ 私 j 、 k k + σ k k 、 私 j = 0. {\displaystyle (1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.}
この状況下での互換性の必要条件ではあるが、十分条件ではないのは、∇ 4 σ = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}} σ 私 j 、 k k ℓ ℓ = 0 {\displaystyle \sigma _{ij,kk\ell \ell }=0} 1 ]
これらの制約条件と平衡方程式（または弾性力学における運動方程式）を用いることで、応力テンソル場 を計算することができる。これらの式から応力場が計算されると、構成方程式からひずみを、ひずみ-変位方程式から変位場を求めることができる。
別の解法としては、応力テンソルを応力関数 で表現する方法があり、これにより平衡方程式の解が自動的に得られます。応力関数は、適合方程式に対応する単一の微分方程式に従います。
弾性静力学ケースのソリューション
もう1つの有用な解は、無限半空間の表面に作用する点力です。[ 6 ] [ 10 ]によって、接線力についてはセルッティによって導出され、ランダウとリフシッツ [ 7 ] の 1 = （ 1 − 2 ν ） {\displaystyle a=(1-2\nu )} b = 2 （ 1 − ν ） {\displaystyle b=2(1-\nu )} ν {\displaystyle \nu }
G 私 k = 1 4 π μ r [ b r + z r + z + （ 2 r （ ν r + z ） + z 2 ） x 2 r 2 （ r + z ） 2 （ 2 r （ ν r + z ） + z 2 ） x y r 2 （ r + z ） 2 x z r 2 − 1 x r + z （ 2 r （ ν r + z ） + z 2 ） y x r 2 （ r + z ） 2 b r + z r + z + （ 2 r （ ν r + z ） + z 2 ） y 2 r 2 （ r + z ） 2 y z r 2 − 1 y r + z z x r 2 + 1 x r + z z y r 2 + 1 y r + z b + z 2 r 2 ] {\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}{\frac {br+z}{r+z}}+{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})x^{2}}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})xy}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{2}}}-{\frac {ax}{r+z}}\\{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})yx}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {br+z}{r+z}}+{\frac {(2r(\nu r+z)+z^{2})y^{2}}{r^{2}(r+z)^{2}}}&{\frac {yz}{r^{2}}}-{\frac {ay}{r+z}}\\{\frac {zx}{r^{2}}}+{\frac {ax}{r+z}}&{\frac {zy}{r^{2}}}+{\frac {ay}{r+z}}&b+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}
変位の観点から見た弾性力学 弾性力学は弾性波 の研究であり、時間とともに変化する線形弾性を扱います。弾性波は、弾性体または 粘弾性 体中を伝播する機械波 の一種です。材料の弾性によって、波の復元力が生まれます。 地震 やその他の擾乱の結果として地球内部で発生する弾性波は、通常、 地震波 と呼ばれます。
線形運動量方程式は、平衡方程式に慣性項を追加したものである。 σ j 私 、 j + F 私 = ρ u ¨ 私 = ρ ∂ t t u 私 。 {\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.}
材料が異方性フックの法則に従う場合（剛性テンソルが材料全体で均一である場合）、弾性力学の変位方程式 が得られます。 （ C 私 j k l u （ k 、 l ） ） 、 j + F 私 = ρ u ¨ 私 。 {\displaystyle \left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.}
材料が等方性かつ均質である場合、（一般または過渡的な）ナビエ・コーシー方程式 が得られる。 μ u 私 、 j j + （ μ + λ ） u j 、 私 j + F 私 = ρ ∂ t t u 私 または μ ∇ 2 u + （ μ + λ ） ∇ （ ∇ ⋅ u ） + F = ρ ∂ 2 u ∂ t 2 。 {\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad {\text{or}}\quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.}
弾性力学波動方程式は次のように表すこともできます。 （ δ k l ∂ t t − A k l [ ∇ ] ） u l = 1 ρ F k {\displaystyle \left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}} A k l [ ∇ ] = 1 ρ ∂ 私 C 私 k l j ∂ j {\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}} 音響微分演算子 であり、δ k l {\displaystyle \delta _{kl}} はクロネッカーデルタ です。
等方性 媒体では、剛性テンソルは次の形式をとる。 C 私 j k l = K δ 私 j δ k l + μ （ δ 私 k δ j l + δ 私 l δ j k − 2 3 δ 私 j δ k l ） {\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})} K {\displaystyle K} は体積弾性率 （または非圧縮性）であり、μ {\displaystyle \mu } はせん断弾性率 （または剛性）であり、2つの弾性率 です。材料が均質である場合（つまり、剛性テンソルが材料全体で一定である場合）、音響演算子は次のようになります。 A 私 j [ ∇ ] = α 2 ∂ 私 ∂ j + β 2 （ ∂ m ∂ m δ 私 j − ∂ 私 ∂ j ） {\displaystyle A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})}
平面波 の場合、上記の微分演算子は音響代数演算子 になります。 A 私 j [ k ] = α 2 k 私 k j + β 2 （ k m k m δ 私 j − k 私 k j ） {\displaystyle A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})} α 2 = （ K + 4 3 μ ） / ρ β 2 = μ / ρ {\displaystyle \alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho } 、 A [ k ^ ] {\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]} 固有ベクトル 付きu ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}} k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!} それぞれ、縦 波と横波と呼ばれます。関連する波は、縦弾性波と横弾性波と呼ばれます。地震学の文献では、対応する平面波はP波とS波と呼ばれます（ 地震波を 参照）。
応力の観点から見た弾性力学 支配方程式から変位とひずみを除去すると、弾性力学のイグナチャック方程式が得られます [ 13 ]。 （ ρ − 1 σ （ 私 k 、 k ） 、 j ） − S 私 j k l σ ¨ k l + （ ρ − 1 F （ 私 ） 、 j ） = 0. {\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}
局所等方性の場合、これは次のように簡略化されます。 （ ρ − 1 σ （ 私 k 、 k ） 、 j ） − 1 2 μ （ σ ¨ 私 j − λ 3 λ + 2 μ σ ¨ k k δ 私 j ） + （ ρ − 1 F （ 私 ） 、 j ） = 0. {\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left({\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}
この定式化の主な特徴は次のとおりです。(1) コンプライアンスの勾配を回避しますが、質量密度の勾配を導入します。(2) 変分原理から導出できます。(3) 牽引力の初期境界値問題を扱うのに有利です。(4) 弾性波のテンソル分類を可能にします。(5) 弾性波伝播問題に幅広い応用が可能です。(6) さまざまなタイプの相互作用場 (熱弾性、流体飽和多孔質、圧電弾性など) および非線形媒体を持つ古典的またはマイクロポーラ固体のダイナミクスに拡張できます。
異方性媒体の場合、剛性テンソルC 私 j k l {\displaystyle C_{ijkl}} σ 私 j {\displaystyle \sigma _{ij}} ε 私 j {\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!} C 私 j k l {\displaystyle C_{ijkl}} C α β {\displaystyle C_{\alpha \beta }} フォークト記法 はテンソルの添え字の標準的なマッピングです。 私 j = ⇓ α = 11 22 33 23 、 32 13 、 31 12 、 21 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 1 2 3 4 5 6 {\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}}
この表記法を用いると、任意の線形弾性媒体の弾性行列は次のように表すことができる。 C 私 j k l ⇒ C α β = [ C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36 C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56 C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66 ] 。 {\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.}
図に示すように、行列C α β {\displaystyle C_{\alpha \beta }} σ 私 j = ∂ W ∂ ε 私 j {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}} C α β {\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}
等方性特殊ケースには、2つの独立した要素があります。 C α β = [ K + 4 μ / 3 K − 2 μ / 3 K − 2 μ / 3 0 0 0 K − 2 μ / 3 K + 4 μ / 3 K − 2 μ / 3 0 0 0 K − 2 μ / 3 K − 2 μ / 3 K + 4 μ / 3 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ ] 。 {\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.}
最も単純な異方性の場合、立方対称性の場合、3つの独立した要素が存在する。 C α β = [ C 11 C 12 C 12 0 0 0 C 12 C 11 C 12 0 0 0 C 12 C 12 C 11 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 ] 。 {\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.}
横等方性（ 極性異方性とも呼ばれる）の場合（対称軸が1つ（3軸）の場合）、5つの独立した要素があります。 C α β = [ C 11 C 11 − 2 C 66 C 13 0 0 0 C 11 − 2 C 66 C 11 C 13 0 0 0 C 13 C 13 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 66 ] 。 {\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}
横等方性が弱い場合（つまり等方性に近い場合）、トムセンパラメータ を利用した別のパラメータ化は、波速の式にとって便利です。
直交異方性（レンガの対称性）の場合、9つの独立した要素があります。 C α β = [ C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 12 C 22 C 23 0 0 0 C 13 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 55 0 0 0 0 0 0 C 66 ] 。 {\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}
弾性力学 異方性媒体の弾性力学波動方程式は次のように表される。 （ δ k l ∂ t t − A k l [ ∇ ] ） u l = 1 ρ F k {\displaystyle (\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}} A k l [ ∇ ] = 1 ρ ∂ 私 C 私 k l j ∂ j {\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}} 音響微分演算子 であり、δ k l {\displaystyle \delta _{kl}} はクロネッカーデルタ です。
平面波とクリストッフェル方程式 平面波は 次のような形をしている。 u [ x 、 t ] = U [ k ⋅ x − ω t ] u ^ {\displaystyle \mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}} u ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}\,\!} 単位長さの。これは、次の場合に限り 、強制力がゼロの波動方程式の解である。ω 2 {\displaystyle \omega ^{2}} u ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}} 音響代数演算子 の固有値/固有ベクトル対を構成するA k l [ k ] = 1 ρ k 私 C 私 k l j k j 。 {\displaystyle A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.} 伝播条件 （クリストッフェル方程式 とも呼ばれる）は次のように表される。 A [ k ^ ] u ^ = c 2 u ^ {\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}} k ^ = k / k ⋅ k {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}} c = ω / k ⋅ k {\displaystyle c=\omega /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}}
いくつかの古典的な2次元線形弾性解 以下では
G = E 2 （ 1 + ν ） （せん断弾性率） κ = { 3 − ν 1 + ν 平面応力 3 − 4 ν 平面ひずみ {\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {E}{2(1+\nu )}}\quad {\text{(Shear modulus)}}\\\kappa &={\begin{cases}{\dfrac {3-\nu }{1+\nu }}&{\text{Plane stress}}\\[6pt]3-4\nu &{\text{Plane strain}}\end{cases}}\end{aligned}}}
ここ、E {\displaystyle E} ν {\displaystyle \nu }
1 {\displaystyle a} σ x x = σ {\displaystyle \sigma _{xx}=\sigma } 応力場と変位場は、(方向)によって与えられる。θ = 0 {\displaystyle \theta =0} x {\displaystyle x} [ 14 ]
σ r r （ r 、 θ ） = σ 2 （ 1 − 1 2 r 2 ） + σ 2 （ 1 − 4 1 2 r 2 + 3 1 4 r 4 ） コス 2 θ σ θ θ （ r 、 θ ） = σ 2 （ 1 + 1 2 r 2 ） − σ 2 （ 1 + 3 1 4 r 4 ） コス 2 θ σ r θ （ r 、 θ ） = − σ 2 （ 1 + 2 1 2 r 2 − 3 1 4 r 4 ） 罪 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}(r,\theta )&={\frac {\sigma }{2}}\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)+{\frac {\sigma }{2}}\left(1-{\frac {4a^{2}}{r^{2}}}+{\frac {3a^{4}}{r^{4}}}\right)\cos 2\theta \\\sigma _{\theta \theta }(r,\theta )&={\frac {\sigma }{2}}\left(1+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)-{\frac {\sigma }{2}}\left(1+{\frac {3a^{4}}{r^{4}}}\right)\cos 2\theta \\\sigma _{r\theta }(r,\theta )&=-{\frac {\sigma }{2}}\left(1+{\frac {2a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {3a^{4}}{r^{4}}}\right)\sin 2\theta \end{aligned}}}
u r （ r 、 θ ） = σ 4 G [ r 2 （ κ − 1 2 + コス 2 θ ） + 1 2 r （ 1 + コス 2 θ ） − 1 4 2 r 3 コス 2 θ ] u θ （ r 、 θ ） = σ 4 G [ − r 2 罪 2 θ + 1 2 r （ κ + 1 2 ） 罪 2 θ − 1 4 2 r 3 罪 2 θ ] {\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}(r,\theta )&={\frac {\sigma }{4G}}{\Bigg [}{\frac {r}{2}}\left({\frac {\kappa -1}{2}}+\cos 2\theta \right)+{\frac {a^{2}}{r}}\left(1+\cos 2\theta \right)-{\frac {a^{4}}{2r^{3}}}\cos 2\theta {\Bigg ]}\\u_{\theta }(r,\theta )&={\frac {\sigma }{4G}}{\Bigg [}-{\frac {r}{2}}\sin 2\theta +{\frac {a^{2}}{r}}\left({\frac {\kappa +1}{2}}\right)\sin 2\theta -{\frac {a^{4}}{2r^{3}}}\sin 2\theta {\Bigg ]}\end{aligned}}}
穴の境界で：
σ r r （ 1 、 θ ） = 0 、 σ r θ （ 1 、 θ ） = 0 σ θ θ （ 1 、 θ ） = σ （ 1 − 2 コス 2 θ ） {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}(a,\theta )&=0,\quad \sigma _{r\theta }(a,\theta )=0\\\sigma _{\theta \theta }(a,\theta )&=\sigma (1-2\cos 2\theta )\end{aligned}}}
最大周方向応力は、θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2}
σ θ θ 最大 = 3 σ {\displaystyle \sigma _{\theta \theta }^{\text{max}}=3\sigma }
したがって、応力集中係数（SCF）は3である。
半平面をその位置に置くy ≥ 0 {\displaystyle y\geq 0} σ y y = − p {\displaystyle \sigma _{yy}=-p} − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -a\leq x\leq a}
応力場は次のように与えられる。
σ x x = − p 2 π [ 2 （ θ 2 − θ 1 ） + （ 罪 2 θ 2 − 罪 2 θ 1 ） ] σ y y = − p 2 π [ 2 （ θ 2 − θ 1 ） − （ 罪 2 θ 2 − 罪 2 θ 1 ） ] σ x y = p 2 π [ （ コス 2 θ 2 − コス 2 θ 1 ） ] {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}=-{\frac {p}{2\pi }}\left[2(\theta _{2}-\theta _{1})+(\sin 2\theta _{2}-\sin 2\theta _{1})\right]\\\sigma _{yy}=-{\frac {p}{2\pi }}\left[2(\theta _{2}-\theta _{1})-(\sin 2\theta _{2}-\sin 2\theta _{1})\right]\\\sigma _{xy}={\frac {p}{2\pi }}\left[(\cos 2\theta _{2}-\cos 2\theta _{1})\right]\\\end{aligned}}}
どこ
タン θ 1 、 2 = z x ∓ 1 {\displaystyle \tan \theta _{1,2}={\frac {z}{x\mp a}}}
主応力は次のように与えられる。
σ 1 、 2 = − p π （ α ∓ 罪 α ） {\displaystyle \sigma _{1,2}=-{\frac {p}{\pi }}(\alpha \mp \sin \alpha )}
どこα = θ 1 − θ 2 {\displaystyle \alpha =\theta _{1}-\theta _{2}} τ m 1 x = p π 罪 α {\displaystyle \tau _{max}={\frac {p}{\pi }}\sin \alpha }
参考文献 1 2 3 4 5 Slaughter, William S. (2002). 『線形化された弾性理論 』 ボストン、マサチューセッツ州: Birkhäuser Boston. doi : 10.1007/978-1-4612-0093-2 . ISBN 978-1-4612-6608-2 。 ↑ ベレンキー;サラエフ（1988）。 「層状結晶の変形効果」 。 ウスペキ・フィジチェスキフ・ナウク 。 155 (5): 89–127 。 土井 : 10.3367/UFNr.0155.198805c.0089 。 ↑ Aki, Keiiti ; Richards, Paul G. (2002). Quantitative seismology (2nd ed.). Mill Valley, California: University Science Books. ISBN 978-1-891389-63-4 。↑ エンジニアのための連続体力学 2001 Mase、式 5.12-2 ↑ ゾンマーフェルト、アーノルド (1964)。 変形体の力学 。ニューヨーク：アカデミック・プレス。 1 2 tribonet (2017-02-16). "弾性変形" . Tribology . 2017-02-16 に取得. 1 2 Landau, LD ; Lifshitz, EM (1986). Theory of Elasticity (3rd ed.). Oxford, England: Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2633-X 。↑ Bouchbinder, Eran (2021年5月5日). "線形弾性I（非平衡連続体物理学）" (PDF) . ワイツマン科学研究所 . 化学・生物物理学科. 2025年 5月20日 取得 . ↑ Moulinec, H.; Suquet, P. (1994). "複合材料の線形および非線形機械的特性を計算するための高速数値法" (PDF) . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série II . 318 : 1417– 1423 . 2025-05-17 に取得. ↑ ブシネスク、ジョゼフ (1885)。 安定性と固体の耐久性の応用 。フランス、パリ：ゴーティエ・ヴィラール。 2024-09-03 のオリジナルから アーカイブされました 。 2007 年 12 月 19 日 に取得 。 ↑ Mindlin, RD (1936). "半無限固体内部の一点における力" . Physics . 7 (5): 195– 202. Bibcode : 1936Physi...7..195M . doi : 10.1063/1.1745385 . 2017年9月23日に オリジナル からアーカイブ済み。 ↑ ヘルツ、ハインリヒ (1882)。 「固体弾性体同士の接触」。 数学に関するジャーナル 。 ９２ ． ↑ Ostoja-Starzewski, M. , (2018), Ignaczak の弾性力学方程式 , Mathematics and Mechanics of Solids. doi : 10.1177/1081286518757284↑ サッド、マーティン (2014). 弾性：理論、応用、数値計算 . ISBN 978-0443132452 。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 日付と年 (リンク)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723da856c3591d5b6d338a054450eafcda8054bc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beeff6e05d12be13c23e0e9934f192af0cdfd89d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa90ca80dd65296f4517746b485f85f251972d8)
![{\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe88a3285b79201e7c5ce6006f71f213e5f3469)
![{\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09318d1a5bbc2480ee34601e06a2b2919c15e1ee)
![{\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01709be91fa16951f8daa978ef6627be53d4c36)
![{\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8431e9c95967db2d6c8f563b9c016da98fd55e0c)
![{\displaystyle G_{ij}(q)={\frac {1}{\mu }}{\bigg [}{\frac {\delta _{ij}}{|q|^{2}}}-{\frac {1}{b}}{\frac {q_{i}q_{j}}{|q|^{4}}}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5a52283c0babf867f8215e9ec2d1443f105080)
![{\displaystyle \left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2164a9d2877536a28ad8a729396ded783ba7e3)
![{\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2076a92b96baea73708b16ae9523f010d2b627a)
![{\displaystyle A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec4cdf746891ffeabe2766c264491c3ba7d0db2)
![{\displaystyle A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb65c8cd57f9fa2e0c81565b2d2009683f2b4a47)
![{\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293081d36ba89658f43c20a9427f9f933d848eef)
![{\displaystyle (\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe7fafcbea8b562114cd763d58898eb23475713)
![{\displaystyle \mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6956e3d78df705544527732eb4688c2ba0afbb07)
![{\displaystyle A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97692acb27e756074f8ffd93856db2ff758817b1)
![{\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb51b8efe978661f7d4c2005e7b60cef76bebfc6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {E}{2(1+\nu )}}\quad {\text{(せん断弾性率)}}\\\kappa &={\begin{cases}{\dfrac {3-\nu }{1+\nu }}&{\text{平面応力}}\\[6pt]3-4\nu &{\text{平面ひずみ}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a07e6898714f472d16cbfda1b2564b3a05421a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}(r,\theta )&={\frac {\sigma }{4G}}{\Bigg [}{\frac {r}{2}}\left({\frac {\kappa -1}{2}}+\cos 2\theta \right)+{\frac {a^{2}}{r}}\left(1+\cos 2\theta \right)-{\frac {a^{4}}{2r^{3}}}\cos 2\theta {\Bigg ]}\\u_{\theta }(r,\theta )&={\frac {\sigma }{4G}}{\Bigg [}-{\frac {r}{2}}\sin 2\theta +{\frac {a^{2}}{r}}\left({\frac {\kappa +1}{2}}\right)\sin 2\theta -{\frac {a^{4}}{2r^{3}}}\sin 2\theta {\Bigg ]}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e682af39583bf05391dccd08c4aca68a2029ed7)
![\begin{aligned}\sigma _{xx}=-{\frac {p}{2\pi }}\left[2(\theta _{2}-\theta _{1})+(\sin 2\theta _{2}-\sin 2\theta _{1})\right]\\\sigma _{yy}=-{\frac {p}{2\pi }}\left[2(\theta _{2}-\theta _{1})-(\sin 2\theta _{2}-\sin 2\theta _{1})\right]\\\sigma _{xy}={\frac {p}{2\pi }}\left[(\cos 2\theta _{2}-\cos 2\theta _{1})\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44541f7c3a41afa167bf44e6e2c9122188cc9f0)
