コーシー応力テンソル

コーシー応力テンソル
3次元における応力の構成要素
一般的な記号	σ
SI単位	パスカル(Pa)
その他のユニット	平方インチ当たりのポンド数（psi）、バール
SI基本単位では	Pa = kg ⋅ m −1 ⋅ s −2
座標変換における動作	テンソル
寸法	${\displaystyle {\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}}$

連続体力学において、コーシー応力テンソル（記号、オーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられた）は、真応力テンソル^[1]または単に応力テンソルとも呼ばれ、変形状態、配置、または構成にある材料内部の点における応力の状態を完全に定義します。2 次テンソルは9 つの要素で構成され、単位長さ方向ベクトルeと、eに垂直な仮想面を横切る牽引ベクトルT ^{( e )}を関連付けます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle \sigma_{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} )}=\mathbf {e} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{または}}\quad T_{j}^{(e)}=\sum _{i}\sigma _{ij}e_{i}.}$^[あ]

応力テンソルと牽引力ベクトルのSI基本単位は、応力スカラーに対応するニュートン毎平方メートル(N/m ² ) またはパスカル(Pa) です。単位ベクトルは無次元です。

コーシー応力テンソルは、座標系の変化に応じてテンソル変換法則に従います。この変換法則をグラフィカルに表現したものが、応力のモール円です。

コーシー応力テンソルは、小さな変形を受ける物体の応力解析に使用され、線形弾性理論の中心的な概念です。有限変形とも呼ばれる大きな変形の場合、ピオラ・キルヒホッフ応力テンソル、ビオ応力テンソル、キルヒホッフ応力テンソルなど、他の応力の尺度が必要になります。

線型運動量保存の原理によれば、連続体が静的平衡状態にある場合、その物体のすべての質点におけるコーシー応力テンソルの成分が平衡方程式（ゼロ加速度に対するコーシーの運動方程式）を満たすことが証明できます。同時に、角運動量保存の原理によれば、平衡状態には任意の点に対するモーメントの合計がゼロであることが必要であり、これにより応力テンソルは対称であり、したがって元の 9 つの独立した応力成分ではなく 6 つの独立した応力成分のみを持つという結論が導かれます。ただし、偶応力、つまり単位体積あたりのモーメントが存在する場合、応力テンソルは非対称です。これは、クヌーセン数が1 に近い場合、または連続体が非ニュートン流体である場合にも当てはまり、これはポリマーなどの回転不変流体につながる可能性があります。 ${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$

応力テンソルには、選択した座標系や応力テンソルが作用する領域要素に依存しない不変量がいくつか存在します。これらは応力テンソルの 3 つの固有値であり、主応力と呼ばれます。

オイラー・コーシーの応力原理は、物体を分割する任意の表面（実数または虚数）上で、物体の一部が他の部分に及ぼす作用は、物体を分割する表面上の分布力と結合のシステムと等価（等分）であることを述べています。^[2]そして、それは表面上で定義され、表面の単位ベクトルに連続的に依存すると仮定される、牽引ベクトルと呼ばれるフィールドによって表されます。^{[3] [4] : p.66–96}${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

オイラー・コーシーの応力原理を定式化するには、図 2.1a または 2.1b に示すように、連続体を 2 つのセグメントに分割する内部の物質点を通る仮想表面を考えます(切断面図、または表面で囲まれた連続体内の任意の体積を持つ図のいずれかを使用できます)。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$

ニュートンとオイラーの古典力学によれば、物体の運動は外部から加えられた力の作用によって生み出され、その力は表面力 と体積力の2種類あると想定される。^[5]したがって、物体または物体の一部に加えられる 力の合計は次のように表される。${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }$

この記事では、コーシー応力テンソルに関連する表面力についてのみ説明します。

物体が外部表面力または接触力 を受ける場合、オイラーの運動方程式に従って、内部接触力および接触モーメントは、物体内の点から点へ、また、連続体の一部が他の部分に機械的に接触することにより、分割面を介して 1 つのセグメントから他のセグメントへ伝達されます(図 2.1a および 2.1b)。法線ベクトルを持つ を含む領域要素上では、力の分布は、点 P で及ぼされる接触力および表面モーメントに等分されます。特に、接触力は次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \デルタS}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \Delta \mathbf {F} }$${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$

${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S}$

ここで平均表面牽引力は です。 ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

コーシーの応力原理は、^{[6] : p.47–102}が非常に小さくなり、ゼロに近づくにつれて、比率は になり、偶応力ベクトルは消滅すると主張しています。連続体力学の特定の分野では、偶応力は消滅しないと想定されています。ただし、連続体力学の古典的な分野では、偶応力やボディモーメントを考慮しない 非極性材料を扱っています。${\displaystyle \デルタS}$${\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}$${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$

合成ベクトルは表面牽引力^[7]、応力ベクトル[ ^8]、牽引力^[4]、牽引力ベクトル^[6]とも呼ばれ、 法線ベクトルを持つ平面に関連付けられた点で次のように定義されます。${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}$

この式は、応力ベクトルが物体内の位置とそれが作用する平面の方向によって決まることを意味します。

これは、内部接触力のバランスをとる作用によって接触力密度またはコーシー牽引力場 ^[5] が生成されることを意味します。これは、特定の時間における物体の特定の構成における物体の体積全体にわたる内部接触力の分布を表します。これはベクトル場ではありません。特定の物質点の位置だけでなく、法線ベクトルによって定義される表面要素の局所的な方向にも依存するためです。^[9]${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$

検討中の平面の方向によっては、応力ベクトルは必ずしもその平面に垂直、つまり平行であるとは限らず、2つの成分に分解できます（図2.1c）。 ${\displaystyle \mathbf {n} }$

• 平面に垂直な1つの方向（垂直応力）

${\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}$

ここで、差分領域に対する力の法線成分は${\displaystyle dF_{\mathrm {n} }}$${\displaystyle d\mathbf {F} }$${\displaystyle dS}$

• そしてもう1つはこの平面に平行なせん断応力と呼ばれる

${\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}$

ここで、 は微分表面積に対する力の接線成分です。せん断応力はさらに 2 つの互いに直交するベクトルに分解できます。${\displaystyle dF_{\mathrm {s} }}$${\displaystyle d\mathbf {F} }$${\displaystyle dS}$

コーシーの公理によれば、応力ベクトルは、点を通り、において同じ法線ベクトルを持つすべての表面に対して不変であり、^{[7] [10]}すなわち、において共通の接線を持つ。これは、応力ベクトルが法線ベクトルのみの関数であり、内部表面の曲率の影響を受けないことを意味する。 ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

コーシーの公理の帰結として、コーシーの基本補題^{[1] [7] [11]}またはコーシーの逆数定理^{[12] : p.103–130}があり、これは同じ面の反対側に作用する応力ベクトルは大きさが等しく、方向が反対であると述べています。コーシーの基本補題は、ニュートンの作用反作用の運動の第3法則に相当し、次のように表されます。

${\displaystyle -\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.}$

物体のある点における応力の状態は、その点を通るすべての平面（無限の数）に関連付けられたすべての応力ベクトルT ^{（n）によって定義されます。 [13]}しかし、コーシーの基本定理^[11]（コーシーの応力定理とも呼ばれる）^[1]によれば、互いに垂直な3つの平面上の応力ベクトルを知るだけで、その点を通る他の任意の平面上の応力ベクトルを座標変換方程式を通じて見つけることができます。

コーシーの応力定理は、コーシー応力テンソルと呼ばれるnに依存しない2 次テンソル場 σ ( x , t ) が存在し、 T がnの線形関数となることを述べています。

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

この式は、法線単位ベクトルnを持つ平面に関連付けられた連続体の任意の点Pにおける応力ベクトルT ^{( n )}は、 座標軸に垂直な平面上の応力ベクトルの関数として、つまり応力テンソルσの_成分σijとして表すことができることを意味します。

この式を証明するために、座標平面に向いた 3 つの面と、法線単位ベクトルnで指定された任意の方向に向いた微小面積 d Aを持つ四面体を考えます (図 2.2)。四面体は、単位法線nを持つ任意の平面に沿って微小要素をスライスすることによって形成されます。この平面上の応力ベクトルはT ^{( n )}で表されます。四面体の面に作用する応力ベクトルはT ^{( e ₁ )}、T ^{( e ₂ )}、およびT ^{( e ₃ )}で表され、定義により応力テンソルσの成分σ _ijです。この四面体は、コーシー四面体と呼ばれることもあります。力の釣り合い、つまりオイラーの運動の第 1 法則(ニュートンの運動の第 2 法則) は、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,}$

ここで、右辺は四面体に囲まれた質量と加速度の積を表します。ρは密度、aは加速度、h は平面nを底辺とした場合の四面体の高さです。軸に垂直な四面体の面の面積は、d A を各面に投影することで求められます (ドット積を使用)。

${\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,}$

そして、次の式に代入して d A を打ち消します。

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}\right)\mathbf {a} .}$

四面体が点に縮む極限ケースを考えると、hは0にならなければなりません（直感的には、平面nはnに沿ってOに向かって平行移動します）。その結果、方程式の右辺は0に近づき、

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.}$

直交座標系の座標軸に垂直な平面を持つ材料要素（ページ上部の図を参照）を想定すると、各要素平面に関連付けられた応力ベクトル、つまり T ^{( e ₁ )}、T ^{( e ₂ )}、およびT ^{( e ₃ )は、法線成分と 2 つのせん断成分、}つまり3 つの座標軸方向の成分に分解できます。法線単位ベクトルがx ₁軸方向に向いている表面の特定のケースでは、法線応力をσ ₁₁で表し、2 つのせん断応力をσ ₁₂とσ ₁₃で表します。

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3},}$

指数表記ではこれは

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j}=\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.}$

応力ベクトルの9つの成分σ _{ij は}、コーシー応力テンソルと呼ばれる2次直交座標テンソルの成分であり、これはある点における応力の状態を完全に定義するのに使用でき、次のように表されます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right],}$

ここで、σ ₁₁、σ ₂₂、およびσ _{33 は}垂直応力、σ ₁₂、σ ₁₃、σ ₂₁、σ ₂₃、σ ₃₁、およびσ ₃₂はせん断応力です。最初のインデックスiは、応力が X i_軸に垂直な平面に作用することを示し、2 番目のインデックスj は応力が作用する方向を示します (たとえば、 σ _{12 は、応力が 1番目の}軸、つまりX ₁に垂直な平面に作用し、2_番目の軸、つまりX ₂ に沿って作用することを意味します)。応力成分は、座標軸の正の方向に作用し、作用する平面の外向きの法線ベクトルが正の座標方向を指している場合に正になります。

したがって、応力テンソルの成分を使用すると

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\&=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}\\&=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\right)n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

あるいは、行列形式では、

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf {n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}$

コーシー応力テンソルの Voigt 表記法による表現では、応力テンソルの対称性を利用して、応力を次の形式の 6 次元ベクトルとして表現します。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{13}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}.}$

Voigt 表記法は、固体力学における応力とひずみの関係を表す際に、また数値構造力学ソフトウェアにおける計算効率を高めるために広く使用されています。

応力テンソルは反変2 次テンソルであることが示されており、これは座標系の変更によってどのように変換されるかを示しています。 x _iシステムからx _i 'システムへ、初期システムのコンポーネントσ _{ij は}、テンソル変換規則に従って新しいシステムの コンポーネントσ _ij 'に変換されます (図 2.4)。

${\displaystyle \sigma '_{ij}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{\textsf {T}},}$

ここでAはa _{ij の}成分を持つ回転行列である。行列形式では、これは

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].}$

行列演算を展開し、応力テンソルの対称性を用いて項を簡略化すると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}'={}&a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23},\\\sigma _{22}'={}&a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23},\\\sigma _{33}'={}&a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23},\\\sigma _{12}'={}&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\\\sigma _{23}'={}&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\\\sigma _{13}'={}&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}}$

応力のモール円は、応力の変換をグラフィカルに表現したものです。

任意の平面上で法線単位ベクトルnを持つ任意の点に作用する任意の応力ベクトルT ^{( n )}の法線応力成分σ _nの大きさは、応力テンソルσの成分σ _ijに関して、応力ベクトルと法線単位ベクトルのドット積 で表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} }&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} \\&=T_{i}^{(\mathbf {n} )}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.\end{aligned}}}$

ベクトルnに直交するせん断応力成分τ _{nの大きさは、}ピタゴラスの定理を使用して求めることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}.}$

線形運動量保存の原理によれば、連続体が静的平衡状態にある場合、物体内のすべての質点におけるコーシー応力テンソルの成分が平衡方程式を満たすことが証明できます。

${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0}$、

どこ${\displaystyle \sigma _{ji,j}=\sum _{j}\partial _{j}\sigma _{ji}}$

たとえば、平衡状態の静水圧流体の場合、応力テンソルは次の形式になります。

${\displaystyle {\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}},}$

ここでは静水圧、 はクロネッカーのデルタです。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle {\delta _{ij}}\ }$

角運動量保存の原理によれば、平衡では任意の点に対するモーメントの合計がゼロになる必要があり、応力テンソルは対称的であるという結論に至り、したがって、元の 9 つの独立した応力成分ではなく、6 つの独立した応力成分のみを持つことになります。

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$

しかし、偶応力、つまり単位体積あたりのモーメントが存在する場合、応力テンソルは非対称になります。これは、クヌーセン数が1 に近い場合、または連続体が非ニュートン流体である場合にも当てはまり、ポリマーなどの回転不変でない流体につながる可能性があります。 ${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$

応力を受ける物体の各点には、主平面と呼ばれる少なくとも 3 つの平面と、主方向と呼ばれる法線ベクトルがあり、対応する応力ベクトルは平面に対して垂直、つまり法線ベクトルと平行または同じ方向であり、法線せん断応力は存在しません。これらの主平面に対して垂直な 3 つの応力は、主応力と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

応力テンソルの成分は、検討中の点における座標系の方向に依存します。ただし、応力テンソル自体は物理量であるため、それを表すために選択された座標系とは無関係です。すべてのテンソルに関連付けられた不変量は、座標系からも独立しています。たとえば、ベクトルは階数 1 の単純なテンソルです。3 次元では、3 つの成分があります。これらの成分の値は、ベクトルを表すために選択された座標系に依存しますが、ベクトルの大きさは物理量 (スカラー) であり、ベクトルを表すために選択された直交座標系とは無関係です (正規である限り)。同様に、2 階数のテンソル (応力テンソルやひずみテンソルなど) には、3 つの独立した不変量が関連付けられています。このような不変量の 1 セットは、応力テンソルの主応力で、応力テンソルの固有値にすぎません。その方向ベクトルは、主方向または固有ベクトルです。 ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

法線単位ベクトルに平行な応力ベクトルは次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} }$

ここで、は比例定数であり、この特定のケースでは、法線応力ベクトルまたは主応力の大きさに対応します。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$

とを知っているので、 ${\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}}$${\displaystyle n_{i}=\delta _{ij}n_{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\\\end{aligned}}}$

これは、未知数である3つの線形方程式の同次システム、つまりゼロです。 の非自明な（ゼロでない）解を得るには、係数の行列式行列がゼロに等しくなければなりません。つまり、システムは特異です。したがって、 ${\displaystyle n_{j}}$${\displaystyle n_{j}}$

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\lambda \\\end{vmatrix}}=0}$

行列式を展開すると特性方程式が得られる。

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}={\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\\[4pt]I_{2}&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right)={\frac {1}{2}}\left[\left({\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\right)^{2}-{\text{tr}}\left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\right]\\[4pt]I_{3}&=\det(\sigma _{ij})=\det({\boldsymbol {\sigma }})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}}$

特性方程式には、応力テンソルの対称性により虚数ではない、3 つの実根があります。 、、は主応力で、固有値の関数です。固有値は特性多項式の根です。主応力は、特定の応力テンソルに対して一意です。したがって、特性方程式から、係数、、はそれぞれ第 1、第 2、第 3 の応力不変量と呼ばれ、座標系の方向に関係なく常に同じ値になります。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \sigma _{1}=\max \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$${\displaystyle \sigma _{3}=\min \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$${\displaystyle \sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$

各固有値に対して、方程式 の非自明な解が存在します。これらの解は、主応力が作用する平面を定義する主方向または固有ベクトルです。主応力と主方向は、ある点における応力を特徴付けるものであり、方向とは無関係です。 ${\displaystyle n_{j}}$${\displaystyle \left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0}$

主方向に軸が向けられた座標系は、法線応力が主応力であり、応力テンソルが対角行列で表されることを意味します。

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

主応力は、応力不変量、、、およびを形成するために組み合わせることができる。最初の不変量と3番目の不変量は、それぞれ応力テンソルのトレースと行列式である。したがって、 ${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\end{aligned}}}$

主座標系は単純であるため、特定の点における弾性媒体の状態を検討するときに役立ちます。主応力は、x方向とy方向の応力、または部品の軸方向と曲げ応力を評価するために、次の式で表されることがよくあります。^{[14] ：p.58–59}主法線応力を使用して、フォンミーゼス応力を計算し、最終的には安全係数と安全余裕を計算できます。

${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

方程式の平方根の下の部分だけを使用すると、プラスとマイナスの最大せん断応力と最小せん断応力に等しくなります。これは次のように示されます。

${\displaystyle \tau _{\max },\tau _{\min }=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

最大せん断応力または最大主せん断応力は、最大主応力と最小主応力の差の半分に等しく、最大主応力と最小主応力の方向の間の角度を二等分する平面に作用します。つまり、最大せん断応力の平面は主応力平面から方向付けられます。最大せん断応力は次のように表されます。 ${\displaystyle 45^{\circ }}$

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|}$

そうすると​ ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|}$

応力テンソルがゼロでない場合、最大せん断応力に対して平面に作用する法線応力成分はゼロでなく、次の式に等しい。

${\displaystyle \sigma _{\text{n}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)}$

応力テンソルは、他の 2 つの応力テンソルの合計として表すことができます。 ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

1. 平均静水圧応力テンソルまたは体積応力テンソルまたは平均法線応力テンソル、これは応力を受ける物体の体積を変化させる傾向がある。${\displaystyle \pi \delta _{ij}}$
2. 応力偏差テンソルと呼ばれる偏差成分は、それを歪める傾向があります。${\displaystyle s_{ij}}$

それで

${\displaystyle \sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},\,}$

ここで平均応力は次のように与えられる。 ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}={\frac {1}{3}}I_{1}.\,}$

圧力（ ）は、一般に、応力テンソルのトレースの負の1/3から速度の発散が寄与する応力を引いたものとして定義されます。つまり、 ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p=\lambda \,\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\sum _{k}\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi ,}$

ここで、は比例定数（つまり、ラメパラメータの最初のもの）、は発散演算子、はk番目の直交座標、は流速、は のk番目の直交成分です。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \nabla \cdot }$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle u_{k}}$${\displaystyle {\vec {u}}}$

偏差応力テンソルは、コーシー応力テンソルから静水圧応力テンソルを減算することで得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk}}{3}}\delta _{ij},\,\\\left[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}-\pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \end{matrix}}\right].\end{aligned}}}$

応力偏差テンソルは2次テンソルなので、不変量の集合も持ち、応力テンソルの不変量を計算するのと同じ手順で得ることができます。応力偏差テンソルの主方向は、応力テンソルの主方向と同じであることが示されます。したがって、特性方程式は次のようになります。 ${\displaystyle s_{ij}}$${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle \left|s_{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}-J_{2}\lambda -J_{3}=0,}$

ここで、、およびは、それぞれ第 1、第 2、および第 3偏差応力不変量です。これらの値は、選択した座標系の方向に関係なく同じ (不変) です。これらの偏差応力不変量は、 の成分またはその主値、、およびの関数として表すことができます。または、 またはその主値、、およびの関数として表すことができます。したがって、 ${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle J_{3}}$${\displaystyle s_{ij}}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle s_{3}}$${\displaystyle \sigma _{ij}}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\\[3pt]J_{2}&={\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ji}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {s}}^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}\right)\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\frac {1}{3}}I_{1}^{2}-I_{2}={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{2}\right],\\[3pt]J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\frac {1}{3}}s_{ij}s_{jk}s_{ki}={\frac {1}{3}}{\text{tr}}\left({\boldsymbol {s}}^{3}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(s_{1}^{3}+s_{2}^{3}+s_{3}^{3}\right)\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\frac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\frac {1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}={\frac {1}{3}}\left[{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }}^{3})-\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+{\frac {2}{9}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{3}\right].\,\end{aligned}}}$

なぜなら、応力偏差テンソルは純粋せん断状態にあるからです。 ${\displaystyle s_{kk}=0}$

等価応力またはフォン・ミーゼス応力と呼ばれる量は固体力学でよく使用されます。等価応力は次のように定義されます。

${\displaystyle \sigma _{\text{vM}}={\sqrt {3\,J_{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}~\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}\,.}$

主方向を座標軸と見なして、法線ベクトルが各主軸と等しい角度をなす（つまり、方向余弦が に等しい）平面を八面体平面と呼びます。八面体平面は全部で 8 個あります（図 6）。これらの平面上の応力テンソルの法線成分とせん断成分は、それぞれ八面体法線応力と八面体せん断応力と呼ばれます。原点を通る八面体平面はπ 平面と呼ばれます（π は、上のセクションでπで示した平均応力と混同しないでください） 。π平面上では、です。 ${\displaystyle |1/{\sqrt {3}}|}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{oct}}}$ ${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$${\textstyle s_{ij}={\frac {1}{3}}I}$

主軸上の点O（図6）の応力テンソルが

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

八面体平面上の応力ベクトルは次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\text{oct}}^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}$

八面体平面に関連する点Oにおける応力ベクトルの法線成分は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{oct}}&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3}\\&={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\frac {1}{3}}I_{1}\end{aligned}}}$

これは平均法線応力または静水圧応力です。この値は8つの八面体平面すべてで同じです。八面体平面上のせん断応力は

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{oct}}&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\text{oct}}^{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{3}}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}\right)-{\frac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\\&={\frac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}$

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