共変インデックスと反変インデックスの両方を持つテンソル
テンソル解析 において 、 混合テンソル は厳密に 共変 でも厳密に 反変でもない テンソル です 。混合テンソルのインデックスの少なくとも 1 つは下付き文字 (共変) になり、インデックスの少なくとも 1 つは上付き文字 (反変) になります。
型 または 価数 の混合テンソルは 、「型 ( M , N )」とも表記され、 M > 0 かつ N > 0 であり、 M 個 の反変インデックスと N 個 の共変インデックスを持つテンソルです。このようなテンソルは、 M 個の 1 形式 と N 個の ベクトルの ( M + N ) 組を スカラー に マッピングする 線形関数 として定義できます 。
（
ま いいえ
）
{\textstyle {\binom {M}{N}}}
テンソルタイプの変更 関連するテンソルの次のオクテットを考えてみ
ましょう。最初のものは共変、最後のものは反変、残りは混合です。表記上、これらのテンソルは、インデックスの共変/反変によって互いに異なります。テンソルの与えられた反変インデックスは、 計量テンソル g μν を 使用して下げることができ、与えられた共変インデックスは、逆計量テンソル g μν を使用して上げることができます。したがって、 g μν はインデックスを下げる演算子 、 g μν は インデックス を上げる演算子 と呼ぶことができます 。
T
α β γ
、
T
α β
γ
、
T
α
β
γ
、
T
α
β γ
、
T
α
β γ
、
T
α
β
γ
、
T
α β
γ
、
T
α β γ
。
{\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }.}
一般に、共変計量テンソルは、( M 、 N )型のテンソルと縮約すると、( M −1、 N +1)型のテンソルを生成しますが、その反変逆は、( M 、 N )型のテンソルと縮約すると、( M +1、 N −1)型のテンソルを生成します 。
例 例えば、(1, 2)型の混合テンソルは、(0, 3)型の共変テンソルのインデックスを上げることで得られます
。ここで、
クロネッカーの δ はここでは単位行列のように作用する
ため、
は と同じテンソルです。
T
α β
λ
=
T
α β γ
グ
γ λ
、
{\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\gamma \lambda },}
T
α β
λ
{\displaystyle T_{\alpha \beta}{}^{\lambda}}
T
α β
γ
{\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }}
T
α β
λ
δ
λ
γ
=
T
α β
γ
、
{\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }\,\delta _{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },}
同じく、
T
α
λ
γ
=
T
α β γ
グ
β λ
、
{\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },}
T
α
λ ϵ
=
T
α β γ
グ
β λ
グ
γ ϵ
、
{\displaystyle T_{\alpha}{}^{\lambda\epsilon}=T_{\alpha\beta\gamma}\,g^{\beta\lambda}\,g^{\gamma\epsilon},}
T
α β
γ
=
グ
γ λ
T
α β λ
、
{\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },}
T
α
λ ϵ
=
グ
λ β
グ
ϵ γ
T
α β γ
。
{\displaystyle T^{\alpha}{}_{\lambda\epsilon}=g_{\lambda\beta}\,g_{\epsilon\gamma}\,T^{\alpha\beta\gamma}.}
計量テンソルの指数を上げることは、その逆数で縮約することと同等であり 、
クロネッカーのデルタを 生成します。
そのため、計量テンソルの混合バージョンはすべて、クロネッカーのデルタと等しくなり、これも混合されます。
グ
μ λ
グ
λ ν
=
グ
μ
ν
=
δ
μ
ν
、
{\displaystyle g^{\mu \lambda }\,g_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }=\delta ^{\mu }{}_{\nu }, }
参照
参考文献 DCケイ（1988年）。 テンソル微積分 。 Schaum のアウトライン、マグロウヒル (米国)。 ISBN 0-07-033484-6 。 Wheeler, JA; Misner, C.; Thorne, KS (1973). 「§3.5 テンソルの操作」. 重力 . WH Freeman & Co. pp. 85–86. ISBN 0-7167-0344-0 。 R. ペンローズ (2007)。 『現実への道』 。ヴィンテージ本 。ISBN 978-0-679-77631-4 。
外部リンク
