方向の絡み合い

数学や物理学では、方向エンタングルメントの概念は、スピノルの^幾何学に関する直感を養うために、あるいは特殊直交群が単連結ではないことを具体的に実現するために使われることがあります[ 1 ] 。

空間ベクトルだけでは、空間内の回転の特性を完全に記述するには不十分です。

次の例を考えてみましょう。^[2] コーヒーカップは、部屋の壁に固定された一対の弾性ゴムバンドによって部屋に吊り下げられています。カップはハンドルによって360°完全に回転し、ハンドルはカップの中心の垂直軸の周りを一周して元の位置に戻ります。

この回転の後、カップは元の向きに戻っていますが、壁に対する向きはねじれていることに注目してください。言い換えると、コーヒーカップを部屋の床まで下ろすと、2 つの輪ゴムは互いに巻きつき、二重らせんが完全に 1 回転します。これは向きの絡み合いの例です。部屋に埋め込まれたコーヒーカップの新しい向きは、輪ゴムのねじれからもわかるように、実際には古い向きと同じではありません。言い換えると、コーヒーカップの向きは周囲の壁の向きと絡み合っています。

明らかに、空間ベクトルの幾何学だけでは、方向の絡み合い (輪ゴムのねじれ) を表現するには不十分です。カップを横切るベクトルを描くことを考えてみましょう。完全に回転すると、ベクトルは動き回り、ベクトルの新しい方向は古い方向と同じになります。ベクトルだけでは、コーヒー カップが部屋の壁と絡み合っていることを認識できません。

実際、コーヒーカップは解けないほど絡み合っています。カップを回転させずにバンドのねじれを解く方法はありません。しかし、カップを 360 度 1 回転ではなく、 360 度2回転、合計 720 度回転させるとどうなるか考えてみましょう。次に、カップを床まで下げると、2 本の輪ゴムが互いに巻き付き、二重らせんを 2 回完全にねじります。カップをこのらせんの 1 つのコイルの中心に通して反対側に渡すと、ねじれは消えます。追加の回転を行わなくても、バンドは互いに巻き付いていません (この実験は、リボンまたはベルトを使用するとより簡単に実行できます。以下を参照してください)。

したがって、カップの向きは、360° 回転しただけで壁に対してねじれていましたが、720° 回転するとねじれがなくなりました。ただし、カップに付けられたベクトルだけを考慮すると、これら 2 つのケースを区別することはできません。カップにスピノルを付ける場合にのみ、ねじれたケースとねじれていないケースを区別できます。

この状況では、スピノルは一種の分極ベクトルです。隣の図では、スピノルは、その先端がメビウスの帯の片側にある内側を向いた旗であるベクトルとして表すことができます。最初、旗が図のように帯の上にあるとします。コーヒーカップが回転すると、スピノルとその旗が帯に沿って移動します。カップが 360° 回転すると、スピノルは最初の位置に戻りますが、旗は帯の下にあり、外側を向いています。旗を元の向きに戻すには、さらに 360° 回転する必要があります。

上記と正式な数学の間の詳細な橋渡しについては、タングロイドに関する記事で見つけることができます。

3次元では、上に示した問題は、リー群 SO(3)が単連結ではないという事実に対応する。数学的には、3次元ユークリッドのスピン群でもある特殊ユニタリ群SU ( 2)_をSO(3)の二重被覆として示すことでこの問題に取り組むことができる。X = ( x 1 , x ₂ , x ₃ )がR ³のベクトルである場合、Xを複素要素を持つ2×2行列と 同一視する。

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}x_{1}&x_{2}-ix_{3}\\x_{2}+ix_{3}&-x_{1}\end{matrix}}\right)}$

−det( X )はベクトルとしてみなされたXのユークリッド長さの2乗を与え、Xはトレースフリー、あるいはトレースゼロのエルミート行列であることに注意してください。

ユニタリ群はXに対して次のように 作用する。

${\displaystyle X\mapsto MXM^{\dagger}}$

ここでM∈SU (2)である。Mはユニタリなので、

${\displaystyle \det \left(MXM^{\dagger }\right)=\det(X)}$、 そして

${\displaystyle MXM^{\dagger}}$トレースゼロエルミートです。

したがって、SU(2) はベクトルXに回転を介して作用します。逆に、トレースゼロのエルミート行列をトレースゼロのエルミート行列にする基底変換はユニタリでなければならないため、すべての回転も SU(2) に持ち上げられることになります。ただし、各回転は SU(2) の要素Mと − Mのペアから得られます。したがって、SU(2) は SO(3) の二重被覆です。さらに、SU(2) は、3 次元球面に同相な空間である単位四元数のグループとして実現することで、それ自体が単連結であることが簡単にわかります。

単位四元数は、回転角の半分のコサインをスカラー部分とし、回転角の半分のサインをある回転軸（ここでは固定されていると仮定）に沿った単位ベクトルに掛けたものをベクトル部分（虚数部分とも呼ばれる、オイラー・ロドリゲスの公式を参照）とする。剛体（固定された周囲との絡み合っていない接続を持つ）の初期の向きが、ベクトル部分がゼロでスカラー部分が +1 である単位四元数と同一視される場合、1 回転（2π ラジアン）するとベクトル部分はゼロに戻り、スカラー部分は -1（絡み合っている）になる。2 回転（4π ラジアン）すると、ベクトル部分は再びゼロに戻り、スカラー部分は +1（絡み合っていない）に戻り、サイクルが完了します。

• プレートトリック
• タングロイド

• ファインマン、レイトン、サンズ。『ファインマン物理学講義』。全3巻、1964年、1966年。米国議会図書館カタログカード番号63-20717

  • ISBN  0-201-02115-3（1970年ペーパーバック3巻セット）
  • ISBN  0-201-50064-7（1989年記念ハードカバー3巻セット）
  • ISBN  0-8053-9045-6 (2006 決定版（第2刷）; ハードカバー)

• 2 本のベルトを (正方形の) 物体に取り付けたディラック ベルト トリックのアニメーション。1 回転後に方向のエンタングルメントが発生し、2 回転後にエンタングルメントがなくなることを示しています。このアニメーションは、ベルトで囲まれた物体がスピン 1/2 粒子として動作することも示しています。
• ディラック弦上の空気。球状粒子に取り付けられた複数のベルトによる配向エンタングルメントを示す。ルイス・カウフマンと同僚による。