ひずみ（力学）

工学ひずみ（コーシーひずみとも呼ばれる）は、力が加えられた材料体の初期寸法に対する全変形量の比として表されます。軸方向に荷重が加えられた材料線要素または繊維の場合、その伸びによって工学的法線ひずみまたは工学的伸張ひずみeが生じます。これは、線要素または繊維の元の長さLに対する相対的な伸び、つまり長さの変化Δ Lに等しくなります（メートル/メートル）。法線ひずみは、材料繊維が伸びている場合は正、圧縮されている場合は負になります。したがって、次のようになります。 $${\displaystyle e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {lL}{L}}}$$ここで、eは工学的法線ひずみ、Lは繊維の元の長さ、lは繊維の最終長さである。

真のせん断ひずみは、変形前の状態または初期状態において互いに垂直であった2つの材料線要素間の角度（ラジアン）の変化として定義されます。工学的せん断ひずみは、その角度の正接として定義され、最大変形量の長さを力の作用面における垂直方向の長さで割った値に等しくなります。この値を用いると、計算が容易になる場合があります。

伸長比（記号λ）は、軸方向荷重を受ける差動線要素の伸長ひずみまたは法線ひずみに関連する代替指標です。これは、材料線の 最終長さlと初期長さLの比として定義されます。$${\displaystyle \lambda ={\frac {l}{L}}}$$

伸長比λは工学的ひずみeと次 の関係にある。$${\displaystyle e=\lambda -1}$$ この式は、法線ひずみがゼロ、つまり変形がない場合、伸長比が1に等しいことを意味する。

伸長比は、エラストマーなど大きな変形を示す材料の解析に用いられます。エラストマーは、破壊する前に3または4の伸長比に耐えることができます。一方、コンクリートや鋼鉄などの従来の工学材料は、はるかに低い伸長比で破壊します。

対数ひずみεは、真のひずみまたはヘンキーひずみとも呼ばれます。^{[ 5 ]}増分ひずみ (ルドウィック) を考慮すると、 $${\displaystyle \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}$$ 対数ひずみは、この増分ひずみを積分することによって得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}}$$ ここで、eは工学的ひずみである。対数ひずみは、ひずみ経路の影響を考慮して、変形が一連の増分で発生する場合の最終ひずみの正しい尺度を提供する。^{[ 2 ]}

グリーン株は以下のように定義される。 $$\displaystyle \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}$$

オイラー・アルマンシ株は次のように定義される。 $${\displaystyle \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$$

寸法dx × dyの2次元の微小な長方形材料要素を考えます。変形後、この要素は菱形になります。変形は変位場uによって記述されます。隣の図の幾何学から、次のようになります。 $${\displaystyle \mathrm {length} (AB)=dx}$$ そして $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$$ 非常に小さな変位勾配の場合、導関数の二乗は${\displaystyle u_{y}}$そして${\displaystyle u_{x}}$は無視できるほど小さく、 $${\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

フックの法則に従う等方性材料の場合、垂直応力は垂直ひずみを引き起こします。垂直ひずみは膨張を生じさせます。

矩形要素の x方向の法線ひずみは次のように定義される。$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$同様に、 y方向とz方向の 法線ひずみは次のようになる。$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

工学的せん断ひずみ（γxy ）は_、線分ACとABの間の角度の変化として定義されます。したがって、 $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

図の幾何学から、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}$$ 小さな変位勾配の場合、 $${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}$$ 小さな回転、つまりαとβが ≪ 1 の場合、 tan α ≈ α、tan β ≈ βになります。したがって、 $${\displaystyle \alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ したがって $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$xとy、u _xとu _y を入れ替えることで、 γ _xy = γ _yxであることが示される。

同様に、yz平面とxz平面については、次のようになります。 $${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$