弾性テンソル

等方性材料の場合、${\displaystyle \mathbf {C} }$簡略化すると

${\displaystyle C^{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)g^{ij}g^{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)}$

どこ${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \mu }$これらは物質座標のスカラー関数である。 ${\displaystyle X}$、 そして${\displaystyle \mathbf {g} }$は、物質の参照フレームにおける計量テンソルです。 ^{[ 6 ] [ 7 ]}直交直交座標基底では、上付き添え字と下付き添え字の区別はなく、計量テンソルはクロネッカーのデルタで置き換えることができます。

${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)\delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\quad {\text{[Cartesian coordinates]}}}$

最初の式を応力-ひずみ関係に代入し、繰り返し添え字について合計すると、

${\displaystyle T^{ij}=\lambda \!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)E^{ij}}$

どこ${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \equiv E_{\,i}^{i}}$痕跡は${\displaystyle \mathbf {E} }$この形式では、${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \lambda }$は、第1および第2ラメ定数で識別できます。同等の式は次のとおりです。

${\displaystyle T^{ij}=K\!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)\Sigma ^{ij}}$

どこ${\displaystyle K=\lambda +(2/3)\mu }$は体積弾性率であり、

${\displaystyle \Sigma ^{ij}\equiv E^{ij}-(1/3)\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}}$

はせん断テンソルの成分である${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$。

立方晶の弾性テンソルは、以下の成分を持つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=\lambda g^{ij}g^{kl}+\mu \left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)\\&+\alpha \left(a^{i}a^{j}a^{k}a^{l}+b^{i}b^{j}b^{k}b^{l}+c^{i}c^{j}c^{k}c^{l}\right)\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \mathbf {a} }$、${\displaystyle \mathbf {b} }$、 そして${\displaystyle \mathbf {c} }$は結晶単位格子の互いに直交する３つの軸に対応する単位ベクトルである。^{[ 8 ]}係数${\displaystyle \lambda }$、${\displaystyle \mu }$、 そして${\displaystyle \alpha }$これらはスカラー量であり、座標に依存しないため、固有の材料定数である。したがって、立方対称性を持つ結晶は、3 つの独立した弾性定数によって記述される。^{[ 9 ]}

直交直交座標基底では、上付き添え字と下付き添え字の区別はなく、${\displaystyle g^{ij}}$はクロネッカーデルタなので、式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\\&+\alpha \left(a_{i}a_{j}a_{k}a_{l}+b_{i}b_{j}b_{k}b_{l}+c_{i}c_{j}c_{k}c_{l}\right)\end{aligned}}}$

の構成要素についても同様の表現があります${\displaystyle \mathbf {C} }$他の結晶対称クラスでは。^{[ 10 ]}これらのいくつかについて独立弾性定数の数は表1に示されている。^{[ 9 ]}

弾性テンソルは、その定義式から直接導かれるいくつかの対称性を持つ。${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$^{[ 11 ] [ 2 ]}応力テンソルとひずみテンソルの対称性は、

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}\qquad {\text{and}}\qquad C_{ijkl}=C_{ijlk},}$

通常、応力は弾性エネルギーポテンシャルから生じると仮定される。${\displaystyle U}$:

${\displaystyle T^{ij}={\frac {\partial U}{\partial E_{ij}}}}$

これは、

${\displaystyle C_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial E_{ij}\partial E_{kl}}}}$

したがって、${\displaystyle \mathbf {C} }$最初のインデックスと2番目のインデックスのペアを入れ替えても対称でなければならない。

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}}$

上記の対称性により、独立成分の数は81から21に減少します。材料にさらに対称性がある場合は、この数はさらに減少します。^{[ 9 ]}

回転中、コンポーネント${\displaystyle C^{ijkl}}$変換する

${\displaystyle C'_{ijkl}=R_{ip}R_{jq}R_{kr}R_{ls}C^{pqrs}}$

どこ${\displaystyle C'_{ijkl}}$は回転基底における共変成分であり、${\displaystyle R_{ij}}$これらは対応する回転行列 の要素です。他の線形変換についても同様の変換規則が適用されます。

構成要素${\displaystyle \mathbf {C} }$一般的に、基底変換によって値は変化します。しかし、特定の種類の変換では、不変量と呼ばれる特定の成分の組み合わせが存在し、それらは変化しません。不変量は、グループ演算と呼ばれる特定の変換の集合に関して定義されます。たとえば、 SO(3)と呼ばれる固有直交変換のグループに関する不変量は、任意の3D回転の下で一定のままです。

${\displaystyle \mathbf {C} }$SO(3)に関して、2つの線形不変量と7つの二次不変量を持つ。^{[ 12 ]}線形不変量は

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=C_{\,\,\,ij}^{ij}\\L_{2}&=C_{\,\,\,jj}^{ii}\end{aligned}}}$

そして二次不変量は

${\displaystyle \left\{L_{1}^{2},\,L_{2}^{2},\,L_{1}L_{2},\,C_{ijkl}C^{ijkl},\,C_{iikl}C^{jjkl},\,C_{iikl}C^{jkjl},\,C_{kiil}C^{kjjl}\right\}}$

これらの量は線形独立であり、つまり、いずれも他の量の線形結合として表すことはできません。また、追加の独立した線形または二次不変量がないという意味で、完全でもあります。^{[ 12 ]}

この分解は、中央の2つの指標を対称化および反対称化することによって得られる。

${\displaystyle C^{ijkl}=M^{ijkl}+N^{ijkl}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{ijkl}\equiv C^{i(jk)l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}+C^{ikjl}\right)\\N^{ijkl}\equiv C^{i[jk]l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}-C^{ikjl}\right)\end{aligned}}}$

この分解の欠点は、${\displaystyle M^{ijkl}}$そして${\displaystyle N^{ijkl}}$元の対称性をすべて満たすわけではない${\displaystyle C^{ijkl}}$なぜなら、最初の 2 つのインデックスの交換に対して対称ではないからである。さらに、既約ではないため、回転などの線形変換に対して不変ではない。^{[ 2 ]}

完全対称テンソルの概念を考慮することで、既約表現を構築できます。完全対称テンソルは、任意の 2 つのインデックスの交換に対して不変です。${\displaystyle \mathbf {S} }$から構築できます ${\displaystyle \mathbf {C} }$すべての合計によって${\displaystyle 4!=24}$インデックスの順列

${\displaystyle {\begin{aligned}S^{ijkl}&={\frac {1}{4!}}\sum _{(i,j,k,l)\in S_{4}}C^{ijkl}\\&={\frac {1}{4!}}\left(C^{ijkl}+C^{jikl}+C^{ikjl}+\ldots \right)\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$は、4 つのインデックスのすべての順列の集合です。^{[ 2 ]}の対称性により、${\displaystyle C^{ijkl}}$この合計は

${\displaystyle S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(C^{ijkl}+C^{iklj}+C^{iljk}\right)}$

違い

${\displaystyle A^{ijkl}\equiv C^{ijkl}-S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(2C^{ijkl}-C^{ilkj}-C^{iklj}\right)}$

は非対称テンソル（反対称ではない）です。${\displaystyle C^{ijkl}=S^{ijkl}+A^{ijkl}}$に関して、一意かつ還元不可能であることが示される。${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$言い換えれば、追加の対称化操作は${\displaystyle \mathbf {S} }$または${\displaystyle \mathbf {A} }$変化しないか、ゼロに評価されます。また、任意の線形変換に関して既約です。つまり、一般線形群${\displaystyle G(3,\mathbb {R} )}$[ ^{2 ] [ 15 ]​}

しかし、この分解は回転群SO(3)に関して既約ではない。代わりに、${\displaystyle \mathbf {S} }$3つの還元不可能な部分に分解され、${\displaystyle \mathbf {A} }$2つに分割する：

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=S^{ijkl}+A^{ijkl}\\&=\left(^{(1)}\!S^{ijkl}+\,^{(2)}\!S^{ijkl}+\,^{(3)}\!S^{ijkl}\right)+\,\left(^{(1)}\!A^{ijkl}+^{(2)}\!A^{ijkl}\right)\end{aligned}}}$

の構成要素に関する明示的な表現については、Itin (2020) ^{[ 15 ]を参照してください。}${\displaystyle \mathbf {C} }$。

この表現は、弾性テンソルの空間を部分空間の直和に分解する。

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left(^{(1)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(2)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(3)}\!{\mathcal {C}}\right)\oplus \,\left(^{(4)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(5)}\!{\mathcal {C}}\right)}$

寸法付き

${\displaystyle 21=(1\oplus 5\oplus 9)\oplus (1\oplus 5)}$

これらの部分空間はそれぞれ調和テンソル空間と同型である。${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$[ ^{15 ] [ 16 ]ここで}、${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$は、3次元で完全に対称なトレースレステンソルの空間であり、ランクは${\displaystyle n}$。 特に、${\displaystyle ^{(1)}\!{\mathcal {C}}}$そして${\displaystyle ^{(4)}\!{\mathcal {C}}}$対応する${\displaystyle \mathbb {H} _{0}}$、${\displaystyle ^{(2)}\!{\mathcal {C}}}$そして${\displaystyle ^{(5)}\!{\mathcal {C}}}$対応する${\displaystyle \mathbb {H} _{2}}$、 そして${\displaystyle ^{(3)}\!{\mathcal {C}}}$対応する${\displaystyle \mathbb {H} _{4}}$。