テンソルソフトウェア

テンソルソフトウェアとは、テンソルを用いた操作や計算を行うために設計された数学ソフトウェアの一種です。

• SPLATT ^{[ 1 ]}は、高性能な疎テンソル分解のためのオープンソースソフトウェアパッケージです。SPLATT には、スタンドアロン実行ファイル、C/C++ ライブラリ、およびOctave / MATLAB API が付属しています。
• Cadabra ^{[ 2 ]}は、場の理論で遭遇する問題の解決に特化して設計された数式処理システム (CAS) です。多項式対称性、フェルミオンと反可換変数、クリフォード代数とフィエルツ変換、暗黙の座標依存性、複数のインデックスタイプなど、テンソル多項式の簡略化に関する豊富な機能を備えています。入力形式は TeX のサブセットです。コマンドラインインターフェースとグラフィカルインターフェースの両方が利用可能です。
• Tela ^{[ 3 ]}は、 MATLABやGNU Octaveに似たソフトウェア パッケージですが、テンソル専用に設計されています。

• Tensor ^{[ 4 ]}は、Mathematica システム用に書かれたテンソル パッケージです。一般的なリーマン・カルタン幾何学における一般相対性理論の計算に関連する多くの関数を提供します。
• Ricci ^{[ 5 ]}は、Mathematica 2.x 以降で基本的なテンソル解析を行うためのシステムで、無料で利用できます。
• TTC ^{[ 6 ]} Tools of Tensor Calculus は、微分可能多様体上のテンソルと外積計算を行うための Mathematica パッケージです。
• EDCとRGTC ^{[ 7 ]}「外微分計算」と「リーマン幾何学とテンソル計算」は、テンソル計算のための無料のMathematicaパッケージで、特に一般相対性理論のために設計されていますが、それだけではありません。
• Tensorial ^{[ 8 ]}「Tensorial 4.0」は、Mathematica 用の汎用テンソル計算パッケージです。
• xAct: ^{[ 9 ]} Mathematica 用の効率的なテンソルコンピュータ代数。xAct は、記号テンソル式の高速操作のためのパッケージのコレクションです。
• GREAT ^{[ 10 ]}は、与えられた計量テンソルからクリストッフェル接続と一般相対性理論の基本テンソルを計算する Mathematica 用の無料パッケージです。
• Atlas 2 for Mathematica ^{[ 11 ]}は、幅広い現代的な微分幾何学計算を実行できる強力な Mathematica ツールボックスです。
• GRTensorM ^{[ 12 ]}は、微分幾何学の一般的な分野での計算を実行するためのコンピュータ代数パッケージです。
• MathGR ^{[ 13 ]}は、抽象または明示的なインデックスを使用してテンソルと GR 計算を操作し、順列対称性を使用してテンソルを単純化し、抽象インデックスから部分的または完全に明示的なインデックスにテンソルを分解し、偏微分を全微分に変換するためのパッケージです。
• TensoriaCalc ^{[ 14 ]}は、Mathematica 9 以降向けに書かれたテンソル計算パッケージで、ユーザーフレンドリーな機能と Mathematica 言語自体とのスムーズな一貫性を提供することを目的としています。2025 年 12 月現在、計量とその座標が与えられると、TensoriaCalc は、クリストッフェル記号、リーマン曲率テンソル、リッチテンソル/スカラーなどの関連する幾何学的オブジェクトを計算できます。一般的なテンソルを定義し、そのインデックスを簡単に移動できます。さらに、共変微分、リー微分、外微分などの微分幾何学演算、ホッジ双対、直交基底の使用を含む一般的なテンソルの座標変換などを実行できます。TensoriaCalc は継続的に開発されています。
• OGRe ^{[ 15 ]}は、テンソル計算のための最新の無料オープンソースのMathematica パッケージで、2021 年に Mathematica 12.0 以降向けにリリースされました。強力かつユーザーフレンドリーな設計となっており、特に一般相対性理論に適しています。OGRe は、任意の複雑なテンソル演算を実行でき、各演算に必要なインデックス構成と座標系間の変換をバックグラウンドで自動的に行います。

• GRTensorII ^{[ 16 ]}は、微分幾何学の一般的な分野での計算を実行するためのコンピュータ代数パッケージです。
• Maple 用の Atlas 2 ^{[ 17 ]}は、Maple 用の最新の微分幾何学です。
• DifferentialGeometry ^{[ 18 ]}は、多様体、微分幾何学、テンソル計算、一般相対性理論、リー代数、リー群、変換群、ジェット空間、変分計算の基本的な演算を実行するパッケージです。Maple に付属しています。
• Physics ^{[ 19 ]}は Maple の一部として開発されたパッケージで、数理物理学で使用されるほとんどのオブジェクトを使用して記号計算を実行します。これには、一般相対性理論 (テンソル、計量、共変微分、テトラッドなど)、量子力学 (ケット、ブラ、交換子、非可換変数など) のオブジェクトが含まれます。

• Tensorlab ^{[ 20 ]}は、多重線形代数と構造化データ融合のための MATLAB ツールボックスです。
• Tensor Toolbox ^{[ 21 ]}多重線形代数 MATLAB ソフトウェア。
• MPCAとMPCA+LDA ^{[ 22 ]}多線形部分空間学習ソフトウェア：多線形主成分分析。
• UMPCA ^{[ 23 ]}多線形部分空間学習ソフトウェア: 無相関多線形主成分分析。
• UMLDA ^{[ 24 ]}多線形部分空間学習ソフトウェア: 無相関多線形判別分析。

Maxima ^{[ 25 ]}は、無料のオープンソースの汎用コンピュータ代数システムで、コアディストリビューションにテンソル代数計算用のパッケージがいくつか含まれています。抽象テンソルを使用した計算、つまり、テンソルのすべてのコンポーネントを明示的に定義せずに計算を実行したい場合に特に役立ちます。3 つのテンソルパッケージが付属しています。^{[ 26 ]}

• 抽象（指標）テンソル操作のためのitensor、
• ctensor はコンポーネント定義テンソル用で、
• 代数テンソル操作のためのatensor。

• Tensor ^{[ 27 ]}は、基本的なテンソル演算のための R パッケージです。
• rTensor ^{[ 28 ]}は、いくつかのテンソル分解手法を提供します。
• nnTensor ^{[ 29 ]}は、いくつかの非負テンソル分解手法を提供します。
• ttTensor ^{[ 30 ]}は、いくつかのテンソルトレイン分解手法を提供します。
• tensorBF ^{[ 31 ]}は、ベイズテンソル分解のための R パッケージです。
• MTF ^{[ 32 ]}データ融合のためのベイズ多重テンソル因子分解と、テンソルPCAおよびテンソルCCAのベイズ版。ソフトウェア：MTF。
• ricci ^{[ 33 ]}は、テンソル計算を実行するためのコンパクトな R インターフェースを提供します。これは、暗黙的に縮約と対角部分集合をトリガーするためにRicci 計算規約を利用します。標準的な算術演算子によるテンソルの加算、減算、乗算、インデックスの上げ下げ、対称または反対称テンソル部分の取得、およびクロネッカー積などの明示的なテンソル演算が利用可能です。クロネッカーデルタ、レヴィ・チヴィタイプシロン、特定の計量テンソル、クリストッフェル記号、リーマンテンソル、およびRicci テンソルなどの一般的なテンソルが提供されます。任意の計量テンソルに関するテンソル場の共変微分を評価できます。

• TensorLy ^{[ 34 ]}は、いくつかのテンソル分解手法を提供します。
• OGRePy ^{[ 35 ]}は、Mathematica パッケージ OGRe ( §  Mathematica で使用するソフトウェアを参照) の Python 移植版で、2024 年に Python 3.12 以降向けにリリースされました。シンボリック計算にはSymPy を、ノートブック インターフェースにはJupyter を使用しています。OGRePy では、加算、スカラーによる乗算、トレース、縮約、偏微分、共変微分、インデックスの置換の任意の組み合わせを使用して任意のテンソル式を計算でき、さまざまな曲率テンソルと測地線方程式を計算する機能も提供しています。
• Tensorgrad は、記号テンソル操作のためのオープンソースの Python パッケージです。ペンローズのグラフィカル表記法を用いた一般的な記号テンソル微分と、イッサーリスの定理によるガウス期待値をサポートしています。

• TensorDecompositions.jl ^{[ 36 ]}は、いくつかのテンソル分解手法を提供します。
• TensorToolbox.jl ^{[ 37 ]}は、いくつかのテンソル分解手法を提供します。これは、MATLAB Tensor toolbox および Hierarchical Tucker Toolbox の機能に準拠しています。
• ITensors.jl ^{[ 38 ]}は、正確かつ効率的なテンソルネットワークアルゴリズムを迅速に作成するためのライブラリです。これは ITensor の Julia 版であり、C++ 版のラッパーではなく、Julia 言語による完全な実装です。

• SageManifolds : 滑らかな多様体上のテンソル計算。SageManifolds ^{[ 39 ]}のすべてのコードはバージョン 7.5 以降SageMathに含まれています。さまざまなベクトルフレームと座標チャートでの計算が可能で、多様体は並列化可能である必要はありません。

• ND4J : JVM 用のN次元配列^{[ 40 ]}は、基本的なテンソル演算と科学計算のための Java ライブラリです。
• テンソル：規則的または非構造的な多次元テンソルの計算。スカラーエントリは数値精度または厳密精度のいずれかです。APIはMathematicaにインスパイアされています。外部依存関係のないJava 8ライブラリです。

• Redberry ^{[ 41 ]}は、記号テンソル操作用に設計されたオープンソースの数式処理システムです。Redberry は、テンソルオブジェクトに一般化された式操作のための共通ツールと、インデックスの対称性、LaTeXスタイルの入力、自然なダミーインデックスの処理、複数のインデックスタイプなど、テンソル固有の機能を提供します。HEP パッケージには、ディラック代数とSU(N)代数、レヴィ・チヴィタ簡略化、1 ループのカウンタータームの計算ツールなど、ファインマン図の計算ツールが含まれています。Redberry は Java で記述されており、広範なGroovyベースのプログラミング言語を提供します。
• libxm ^{[ 42 ]}は、C 言語で書かれた軽量の分散並列テンソルライブラリです。
• FTensor ^{[ 43 ]}は、C++ で書かれた高性能テンソルライブラリです。
• TL ^{[ 44 ]}は、Dynare++ で使用される C++ で実装されたマルチスレッドのテンソルライブラリです。このライブラリは、折り畳まれた/折り畳まれていない、密/疎なテンソル表現、一般的なランク (対称性) を可能にします。このライブラリは Faa Di Bruno の公式を実装しており、利用可能なメモリに適応します。Dynare++ は、有理期待値を持つ非線形確率モデルの平衡に対する高次の Taylor 近似を解くスタンドアロン パッケージです。
• vmmlib ^{[ 45 ]}は、3 方向テンソルをサポートする C++ 線形代数ライブラリであり、いくつかのテンソル分解の計算と操作を重視しています。
• Spartns ^{[ 46 ]}はCommon Lisp用のスパーステンソルフレームワークです。
• FAstMat ^{[ 47 ]}は、C++ で記述されたスレッドセーフな汎用テンソル代数ライブラリであり、FEM/FVM/BEM/FDM の要素/エッジごとの計算用に特別に設計されています。
• Cyclops Tensor Framework ^{[ 48 ]}は、任意の型のテンソルを効率的に分解し、テンソルの縮約/関数を並列 MPI+OpenMP で実行するための分散メモリライブラリです。
• TiledArray ^{[ 49 ]}は、高性能な代数テンソル方程式の迅速な構成を支援するように設計された、スケーラブルなブロック疎テンソルライブラリです。単一のマルチコアコンピュータから大規模並列分散メモリシステムまで拡張できるように設計されています。
• libtensor ^{[ 50 ]}は、量子化学におけるポストハートリー・フォック法で見られる大規模テンソルのための高性能線形テンソル代数ルーチンのセットです。
• ITensor ^{[ 51 ]}は、一致するテンソルインデックスの自動縮約機能を備えています。C++ で記述されており、テンソルネットワークに基づく量子物理学アルゴリズムのための高レベル機能を備えています。
• Fastor ^{[ 52 ]}は、任意の次元のテンソルとその可能なすべての縮約および順列をサポートする高性能な C++ テンソル代数ライブラリです。コンパイル時のグラフ探索最適化を使用して、ネットワーク内の任意の数のテンソル間の最適な縮約シーケンスを見つけます。FEM を使用して非線形マルチフィジックス問題を解決するための高レベルのドメイン固有の機能を備えています。
• Xerus ^{[ 53 ]}は、任意の次元のテンソルと、一般的なテンソルネットワークへのテンソル分解（行列積状態に焦点を当てています）のための C++ テンソル代数ライブラリです。アインシュタイン記法のような構文を提供し、実行時に任意のテンソルネットワークの縮約順序を最適化するため、コンパイル時に次元を固定する必要はありません。