モジュール（数学）

数学において、加群はベクトル空間の概念を一般化したもので、スカラーの体が（必ずしも可換ではない）環に置き換えられたものである。加群の概念はアーベル群の概念も一般化している。なぜなら、アーベル群はまさに整数環上の加群だからである。^[¹^]

ベクトル空間と同様に、モジュールは加法アーベル群であり、スカラー乗法は環またはモジュールの要素間の加算演算に対して分配法則を満たし、環の乗法と互換性がある。

加群は群の表現論と非常に密接に関係している。また、可換代数とホモロジー代数の中心的な概念の一つであり、代数幾何学や代数トポロジーにおいて広く用いられている。

はじめにおよび定義

モチベーション

ベクトル空間では、スカラーの集合は体であり、分配法則などの特定の公理に従って、スカラー乗法によってベクトルに作用します。加群では、スカラーは環であるだけでよいので、加群の概念は重要な一般化を表しています。可換代数では、イデアルと商環の両方が加群であるため、イデアルまたは商環に関する多くの議論を、加群に関する単一の議論にまとめることができます。非可換代数では、左イデアル、イデアル、および加群の区別がより明確になりますが、一部の環論的条件は、左イデアルまたは左加群のどちらについても表現できます。

加群理論の多くは、ベクトル空間の望ましい性質を、主イデアル整域のような「性質の良い」環上の加群の領域にできるだけ多く拡張することから成り立っています。しかし、加群はベクトル空間よりもかなり複雑になることがあります。例えば、すべての加群が基底を持つわけではなく、基底を持つ加群（自由加群）であっても、基底の要素数はすべての基底で同じである必要はありません（つまり、一意の階数を持たない可能性があります）。これは、基底となる環が不変基底数条件を満たさない場合に当てはまります。ベクトル空間は、常に（場合によっては無限の）基底を持ち、その濃度は一意です。（これら最後の2つの主張は一般に選択公理を必要としますが、有限次元ベクトル空間や、 L ^p 空間のような特定の性質の良い無限次元ベクトル空間の場合は必要としません。）

正式な定義

Rを環とし、1 をその乗法単位元とする。左R加群Mは、アーベル群( M , +)と演算· : R × M → Mからなり、すべてのr , s ∈ Rおよびx , y ∈ Mに対して、次の式が成り立つ。

r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y

、

(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x

、

(rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)

、

1\cdot x=x.

演算 · はスカラー乗算と呼ばれます。記号 · は省略されることが多いですが、この記事ではこれを使用し、並置はRにおける乗算に限定します。Mが左R加群であることを強調するために、_R Mと表記することができます。右R加群M _{R は}、演算· : M × R → Mに関して同様に定義されます。

左加群または右加群の修飾語は、スカラーが左に書かれているか右に書かれているかではなく、性質 3 に依存します。上記の定義で、性質 3 が次のように置き換えられた場合

(rs)\cdot x=s\cdot (r\cdot x),

スカラーを左側に記述しても、右加群が得られます。ただし、左加群の場合はスカラーを左側に、右加群の場合は右側に記述することで、性質3の操作がはるかに容易になります。

環が単位的であることを要求しない著者は、上記の定義の条件 4 を省略します。彼らは、上記で定義された構造を「単位的左R加群」と呼びます。本稿では、環論の用語集に倣い、すべての環と加群は単位的であると仮定します。^{[ 2 ]}

( R , S )-双加群は、アーベル群と、 Rの要素による左スカラー乗算·とSの要素による右スカラー乗算∗の両方を持つものであり、同時に左R加群と右S加群であり、すべてのr in R、x in M、s in Sに対して追加条件( r · x )∗ s = r⋅ ( x ∗ s )を満たす。

Rが可換群である場合、左R加群は右R加群と同じであり、単にR加群と呼ばれます。この場合、スカラーはたいてい左側に記述されます。

例

Kが体である場合、K加群はKベクトル空間（K上のベクトル空間）と呼ばれます。
Kが体であり、K [ x ] が一変数多項式環である場合、K [ x ] 加群Mは、 K加群に、 Mに対するKの作用と可換な群準同型によるxの追加作用を加えたものです。言い換えれば、K [ x ] 加群は、Kベクトル空間Mと、 MからMへの線形写像を組み合わせたものです。主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理をこの例に適用すると、有理標準形とジョルダン標準形の存在が示されます。
Z加群の概念はアーベル群の概念と一致する。すなわち、すべてのアーベル群は整数環Z上の加群として一意的に定義される。n > 0に対して、n ⋅ x = x + x + ... + x ( n個の項)、0 ⋅ x = 0、(− n ) ⋅ x = −( n ⋅ x )と定義する。このような加群は基底を持つ必要はない。ねじれ元を含む群は基底を持たない。（例えば、 3を法とする整数群では、3や6のような整数を要素に掛けると結果が0になるため、線形独立集合の定義を満たす要素は一つも見つからない。しかし、有限体を環として捉えた同じ有限体上の加群とみなすと、それはベクトル空間となり、基底を持つ。）
小数（負の数を含む）は整数の加群を形成します。線形独立な集合は単元集合のみですが、基底として機能する単元集合は存在しないため、線形代数の通常の意味では、この加群は基底も階数も持ちません。しかし、この加群はねじれのない階数が1です。
R を任意の環、nを自然数とすると、成分ごとの演算を用いる場合、直積R ^{n は}R上の左R加群と右 R 加群の両方になります。したがって、 n = 1の場合、RはR加群であり、スカラー乗法は環乗法に等しくなります。n = 0の場合は、単位元のみからなる自明なR加群 {0} が得られます。このタイプの加群は自由加群と呼ばれ、 R が不変基底数(例えば、任意の可換環または体)を持つ場合、nは自由加群の階数になります。
_{M n} ( R ) が環R上のn × n行列の環である場合、Mは M _n ( R ) 加群であり、e _iが( i , i )成分が 1 で、他の成分がゼロであるn × n行列である場合、 re _i m = e _i rm ∈ e _i Mであるため、e _i MはR加群です。したがって、M はR加群の直和として分解され、M = e ₁M ⊕ ... ⊕ e _n Mとなります。逆に、R加群M ₀が与えられた場合、M ₀^⊕ⁿは M _n ( R ) 加群です。実際、R 加群の圏とM _n ( R ) 加群の圏は同値です。特別なケースとして、加群MがRをそれ自身上の加群として表す場合、R ^{nは M}_n ( R ) 加群です。
Sが空でない集合、Mが左R加群、M ^{S が}すべての関数f : S → Mの集合である場合、 M ^Sにおける加算とスカラー乗算が( f + g )( s ) = f ( s ) + g ( s )および( rf )( s ) = rf ( s )で点ごとに定義されると、M ^{S は}左R加群になります。右R加群の場合も同様です。特に、Rが可換である場合、 R 加群準同型h : M → N (下記参照)の集合はR加群 (実際にはN ^Mの部分加群) になります。
Xが滑らかな多様体である場合、Xから実数への滑らかな関数は環C ^∞ ( X ) を形成します。X上で定義されたすべての滑らかなベクトル場の集合はC ^∞ ( X )上の加群を形成し、 X上のテンソル場と微分形式も同様です。より一般的には、任意のベクトル束の切断はC ^∞ ( X )上の射影加群を形成し、スワンの定理により、すべての射影加群は、あるベクトル束の切断の加群と同型です。C ∞ ( X ) 加群の圏とX上のベクトル束の圏^は同値です。
Rが任意の環であり、IがRの任意の左イデアルである場合、I は左R加群であり、同様にRの右イデアルは右R加群である。
Rが環である場合、同じ基礎集合と加算演算を持ちながら乗算演算が逆である反対の環R ^{opを定義できます。つまり、}Rにおいてab = cであれば、R ^opにおいてもba = cとなります。任意の左R加群M はR ^op上の右加群とみなすことができ、 R上の任意の右加群はR ^op上の左加群とみなすことができます。
リー代数上の加群は、（結合代数）その普遍包絡代数上の加群である。
RとSが環準同型φ : R → Sを持つ環である場合、rm = φ ( r ) mと定義することにより、すべてのS加群MはR加群となる。特に、S自身もそのようなR加群である。

部分加群と準同型写像

Mを左R加群とし、NをMの部分群とする。このとき、Nの任意のnとRの任意のrに対して、積r ⋅ n (右R加群の場合はn ⋅ r ) がNに含まれるならば、 Nは部分加群(より具体的にはR部分加群) である。

X がR加群Mの任意の部分集合である場合、 Xによって張られる部分加群は次のように定義される。 ${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$ ここで、N はXを含むMのサブモジュール上を走る、または明示的に ${\textstyle {\bigl \{}\!\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mathrel {\big |} r_{i}\in R,\,x_{i}\in X{\bigr \}}}$ これは、モジュールのテンソル積の定義において重要である。^{[ 3 ]}

与えられたモジュールMの部分モジュールの集合と、2 つの二項演算 + (引数の和集合によって張られるモジュール) および ∩ は、次のモジュラー法則を満たす束を形成します。N ₁ ⊆ N ₂を満たすMの部分モジュールU、N ₁、N ₂が与えられたとき、次の 2 つの部分モジュールは等しくなります: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ )。

MとNが左R加群である場合、写像f : M → Nは、 M の任意のm、nとR の任意のr、sに対して、次の条件が満たされる場合にR加群の準同型写像である。

f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)

。

これは、数学的対象の準同型写像と同様に、対象の構造を保持する写像にすぎません。R加群の準同型写像は、R線形写像とも呼ばれます。

全単射な加群準同型写像f : M → N を加群同型写像と呼び、2つの加群MとNを同型であると呼ぶ。2つの同型加群は、実際には完全に同一であり、要素の表記法のみが異なっている。

加群準同型f : M → Nの核は、 fによってゼロに写されるすべての要素からなるMの部分加群であり、fの像は、 Mのすべての要素mに対する値f ( m )からなるNの部分加群である。^[⁴^]群やベクトル空間でおなじみの同型定理は、R加群にも有効である。

環Rが与えられたとき、すべての左R加群とその加群準同型の集合はアーベル圏を形成し、R - Modと表記されます(加群の圏を参照)。

モジュールの種類

有限生成: R加群Mは、 Mに有限個の要素x ₁ , ..., x _{n が}存在し、 Mのすべての要素が環Rの係数を持つこれらの要素の線形結合である場合に、有限生成である。
周期的: モジュールが1つの要素によって生成される場合、そのモジュールは巡回モジュールと呼ばれる。
無料: 自由R 加群とは、基底を持つ加群、あるいはそれと同等に、環Rのコピーの直和と同型な加群のことである。これらの加群は、ベクトル空間と非常によく似た振る舞いをする。
投影法: 射影加群は自由加群の直和因子であり、自由加群の望ましい性質の多くを共有している。
注射剤: 単射加群は射影加群と双対的に定義される。
フラット: あるモジュールが平坦であるとは、そのモジュールと任意の厳密なRモジュール列とのテンソル積を取ったときに、厳密性が保持される場合をいう。
ねじれなし: あるモジュールが、その代数的双対に埋め込まれる場合、そのモジュールはねじれがないと呼ばれる。
単純: 単純加群Sは {0} ではなく、部分加群が {0} とSのみである加群です。単純加群は既約と呼ばれることもあります。^{[ 5 ]}
半単純: 半単純加群とは、単純加群の直和（有限または無限）のことである。歴史的には、これらの加群は完全可約とも呼ばれる。
分解不可能: 分解不可能な加群とは、零でない部分加群のうち、 2つの零でない部分加群の直和として表すことができない加群のことである。すべての単純加群は分解不可能であるが、単純ではない分解不可能な加群も存在する（例えば、一様加群）。
忠実な: 忠実加群 Mとは、 R内の各r ≠ 0のMへの作用が非自明である加群 (すなわち、 M内の何らかのxに対してr ⋅ x ≠ 0 である加群) のことである。言い換えれば、Mの零化イデアルは零イデアルである。
ねじれのない: ねじれのない加群とは、環上の加群であって、0 が環の正則元 (零因子でない) によって消滅する唯一の元である加群のことである。同等に、 rm = 0 はr = 0またはm = 0を意味する。
ネーター的: ネーター加群とは、部分加群に関する昇連鎖条件を満たす加群のことである。すなわち、部分加群の任意の増加連鎖は、有限ステップ後に定常状態となる。言い換えれば、すべての部分加群は有限生成である。
アルティニアン: アルティン加群とは、部分加群に関する下降連鎖条件を満たす加群のことである。すなわち、部分加群の任意の下降連鎖は、有限ステップ後に定常状態となる。
採点済み: 次数付きモジュールは、次数付き環R = ⨁ _x R _x上のモジュールであり、すべてのxとyに対してR _x M _y ⊆ M _x₊_yとなるような直和分解M = ⨁ _x M _xが付随している。
均一: 一様加群とは、すべての非零部分加群のペアが非零の共通部分を持つ加群のことである。

さらなる考察

表象理論との関連性

体k上の群Gの表現は、群環k [ G ]上の加群である。

Mが左R加群である場合、Rの要素rの作用は、各xをrx (右加群の場合はxr )に送る写像M → Mとして定義され、必ずアーベル群( M , +)の群自己準同型となります。M のすべての群自己準同型の集合は End _Z ( M ) と表記され、加法と合成に関して環を形成します。Rの環要素rをその作用に送ることは、実際にはRからEnd Z ( M ) への_環準同型を定義します。

このような環準同型R → End _Z ( M )は、環R上のアーベル群Mの表現と呼ばれます。左R加群を定義する別の同等な方法は、左R加群とは、アーベル群Mと、 R上のMの表現との組み合わせであると言うことです。このような表現R → End _Z ( M )は、 RからMへの環作用とも呼ばれます。

写像R → End _Z ( M )が単射である場合、表現は忠実であると呼ばれる。加群の観点から言えば、これは、Rの要素rが、 Mのすべてのxに対してrx = 0であるならば、r = 0 であることを意味する。すべてのアーベル群は、整数またはn を法とする整数環Z / n Z（あるnについて）上の忠実加群である。

一般化

環R は、単一の対象を持つ前加法圏Rに対応します。この理解に基づくと、左R加群は、 Rからアーベル群の圏Abへの共変加法関手にすぎず、右R加群は反変加法関手です。このことから、Cが任意の前加法圏である場合、 CからAbへの共変加法関手は、C上の一般化された左加群とみなされるべきであることが示唆されます。これらの関手は、加群圏R - Modの自然な一般化である関手圏C - Modを形成します。

可換環上の加群は、別の方向にも一般化できます。環空間( X , O _X ) を取り、O _X -加群の層(加群の層を参照) を考えます。これらは圏 O _X - Modを形成し、現代の代数幾何学において重要な役割を果たします。Xが単一の点のみを持つ場合、これは可換環 O _X ( X ) 上の古い意味での加群圏です。

半環上の加群、すなわち半加群を考えることもできます。環上の加群はアーベル群ですが、半環上の加群は可換モノイドに過ぎません。加群のほとんどの応用は依然として可能です。特に、任意の半環Sに対して、 S上の行列は半環を形成し、 Sの要素のタプルはその半環上の加群となります（この一般化された意味においてのみ）。これにより、理論計算機科学における半環を取り入れたベクトル空間の概念をさらに一般化することができます。

近環においては、近環加群、すなわち加群の非可換一般化を考えることができる。

注記

↑ Hungerford (1974) Algebra、Springer、p 169: 「環上の加群は、アーベル群（Z 上の加群）の一般化である。」
↑ダミット、デイビッド S. & フット、リチャード M. (2004).抽象代数学. ホーボーケン、ニュージャージー州: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社. ISBN 978-0-471-43334-7。
↑ Mcgerty, Kevin (2016). "ALGEBRA II: RINGS AND MODULES" (PDF) .
↑アッシュ、ロバート。「モジュールの基礎」（PDF）。抽象代数学：基礎大学院課程。
↑ジェイコブソン（1964）、 p.4、定義1

参考文献

FW アンダーソンと KR フラー:環と加群の圏、大学院数学テキスト、第 13 巻、第 2 版、シュプリンガー・フェルラーク、ニューヨーク、1992 年、ISBN 0-387-97845-3ISBN 3-540-97845-3
ネイサン・ジェイコブソン著『環の構造』コロキウム出版、第37巻、第2版、AMS書店、1964年、ISBN 978-0-8218-1037-8

外部リンク

「モジュール」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
n Labのモジュール

[1] Hungerford (1974) Algebra、Springer、p 169: 「環上の加群は、アーベル群（Z 上の加群）の一般化である。」

[DummitFoote-2] ダミット、デイビッド S. & フット、リチャード M. (2004).抽象代数学. ホーボーケン、ニュージャージー州: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社. ISBN 978-0-471-43334-7。

[3] Mcgerty, Kevin (2016). "ALGEBRA II: RINGS AND MODULES" (PDF) .

[4] アッシュ、ロバート。「モジュールの基礎」（PDF）。抽象代数学：基礎大学院課程。

[5] ジェイコブソン（1964）、 p.4、定義1

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