局所微分同相写像

数学、特に微分位相幾何学において、局所微分同相写像とは、直感的には、局所微分構造を保持する滑らかな多様体間の写像である。局所微分同相写像の正式な定義は以下のとおりである。

させて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$微分可能な多様体である。関数${\displaystyle f:X\to Y}$各点について、${\displaystyle x\in X}$開集合が存在する${\displaystyle U}$含む${\displaystyle x}$画像​${\displaystyle f(U)}$オープンしています${\displaystyle Y}$そして$${\displaystyle f\vert _{U}:U\to f(U)}$$は微分同相写像です。

局所微分同相写像は、埋め込みの特殊なケースです。${\displaystyle f:X\to Y}$この場合、各${\displaystyle x\in X}$開集合が存在する${\displaystyle U}$含む${\displaystyle x}$画像${\displaystyle f(U)}$は埋め込み部分多様体であり、${\displaystyle f|_{U}:U\to f(U)}$これは微分同相写像です。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle f(U)}$同じ寸法を持ち、その寸法は${\displaystyle Y}$[ ^{1 ]​}

同じ次元のすべての多様体は、次の意味で「局所的に微分同相」である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$同じ寸法を持ち、${\displaystyle x\in X}$そして${\displaystyle y\in Y}$すると、開放的な近隣地域が存在する${\displaystyle U}$の${\displaystyle x}$そして${\displaystyle V}$の${\displaystyle y}$そして微分同相写像${\displaystyle f:U\to V}$しかし、この地図は${\displaystyle f}$すべての上で定義された滑らかなマップに拡張する必要はありません${\displaystyle X}$局所微分同相写像にまで拡張することはなおさらである。したがって、局所微分同相写像の存在は${\displaystyle f:X\to Y}$これは「局所的に微分同相であること」よりも強い条件です。実際、局所的に定義された微分同相写像は局所的に微分可能な構造を保持しますが、領域が滑らかな多様体全体であることを保証するために、これらの（局所的な）微分同相写像を「修復」できなければなりません。

例えば、2つの異なる微分可能な構造を課すことができる$\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$それぞれが$\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$微分可能な多様体へと変換されるが、どちらの構造も局所的に微分同相ではない（エキゾチックを参照）。$\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$)

別の例として、 2次元球面からユークリッド2次元空間への局所微分同相写像は存在しません。両者は確かに同じ局所微分可能な構造を持っていますが、これはすべての局所微分同相写像が連続であり、コンパクト空間の連続像はコンパクトであるのに対し、2次元球面はコンパクトであるのに対し、ユークリッド2次元空間はコンパクトではないためです。

• 微分同相写像とは、全単射な局所微分同相写像のことである。
• 滑らかな被覆写像とは、対象領域内のすべての点が、その写像によって均等に覆われる近傍を持つような局所微分同相写像のことである。

• 微分同相写像– 微分可能多様体の同型写像 
• 同相写像– 与えられた空間のすべての位相的性質を保持する写像 
• 領域の不変性― ユークリッド空間の同相部分集合に関する位相幾何学の定理 
• 大規模微分同相写像– 微分同相写像のクラス 
• 局所同相写像– 各点の近傍で可逆な数学関数 
• 時空対称性– 物理学における対称性の種類 

• Michor, Peter W. (2008), Topics in differential geometry , Graduate Studies in Mathematics , vol.  93, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2003-2MR 2428390​ 。
• Lee, John M. (2013), 『滑らかな多様体入門』、Graduate Texts in Mathematics、第 218巻（第2 版）、ニューヨーク、NY：Springer、ISBN 978-1-4419-9981-8MR 2954043​ 
• Axler, Sheldon (2024), Linear algebra done right , Undergraduate Texts in Mathematics (Fourth  ed.), Springer, Cham, doi : 10.1007/978-3-031-41026-0 , ISBN 978-3-031-41026-0MR 4696768​