カー効果

非線形材料の場合、電気分極${\displaystyle \mathbf {P} }$電場に依存する${\displaystyle \mathbf {E} }$: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi ^{(1)}\mathbf {E} +\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}\mathbf {EE} +\varepsilon _{0}\chi ^{(3)}\mathbf {EEE} +\cdots }$

どこ$\displaystyle \varepsilon _{0}}$は真空の誘電率であり、$\displaystyle \chi ^{(n)}}$は${\displaystyle n}$媒質の電気感受率の次数成分。この関係を明示的に記述すると、ベクトルPのi番目の成分は次のように表すことができます。^{[ 9 ]}

${\displaystyle P_{i}=\varepsilon _{0}\sum _{j=1}^{3}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\varepsilon _{0}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\varepsilon _{0}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\chi _{ijkl}^{(3)}E_{j}E_{k}E_{l}+\cdots }$

どこ${\displaystyle i,j,k...=1,2,3}$よく想定されるのは${\displaystyle P_{1}}$∥${\displaystyle P_{x}}$すなわち、分極場のx軸に平行な成分。${\displaystyle E_{2}}$∥${\displaystyle E_{y}}$等々。

線形媒質の場合、この方程式の第1項のみが重要であり、分極は電界に対して線形に変化する。

無視できないカー効果を示す材料の場合、第 3 項 χ ⁽³⁾が重要であり、偶数次の項は通常、カー媒質の反転対称性により消えます。周波数 ω の光波と外部電場E _{0によって生成される正味の電場}E を考えます。

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}+\mathbf {E} _{\omega }\cos(\omega t),}$

ここで、_Eωは波のベクトル振幅である。

これら2つの式を組み合わせると、 Pの複雑な式が得られます。DCカー効果の場合、線形項と の項以外はすべて無視できます。${\displaystyle \chi ^{(3)}|\mathbf {E} _{0}|^{2}\mathbf {E} _{\omega }}$:

${\displaystyle \mathbf {P} \simeq \varepsilon _{0}\left(\chi ^{(1)}+3\chi ^{(3)}|\mathbf {E} _{0}|^{2}\right)\mathbf {E} _{\omega }\cos(\omega t),}$

これは、波の分極と電場との間の線形関係に似ていますが、外部電場の振幅の二乗に比例する非線形感受率項が追加されています。

中心対称性を持つ媒体（例えば液体）の場合、この誘起された感受率の変化は、屈折率と比較して電場の方向の屈折率の変化を引き起こします。${\displaystyle n_{\perp }}$電場に垂直な方向：

${\displaystyle \Delta n=n_{\parallel }-n_{\perp }=\lambda _{0}K|\mathbf {E} _{0}|^{2},}$

どこ${\displaystyle n_{\parallel }}$ここで、 は電場の方向における媒質の屈折率、λ₀_は真空波長、Kは媒質のカー定数である。したがって、印加された電場は複屈折を誘起する。${\displaystyle \Delta n}$媒質中の電場の方向に、横方向の電場を持つカーセルは、通過する波の偏光面を回転させる切り替え可能な波長板として機能する。偏光子と組み合わせることで、シャッターや変調器として使用できる。

Kの値は媒体によって異なり、水の場合は約9.4×10 ⁻¹⁴ m· V ⁻²、ニトロベンゼンの場合は約4.4×10 ⁻¹² m·V ⁻²である。^{[ 10 ]}

結晶の場合、媒質の感受率は一般にテンソルであり、カー効果はこのテンソルの変形を生み出す。

光学的カー効果、または交流カー効果では、媒質中の強い光線自体が、外部電場を印加することなく、変調電場を生成することができる。この場合、電場は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{\omega }\cos(\omega t),}$

ここで、Eω_は前述のとおり波の振幅である。

これを分極の式と組み合わせ、線形項と χ ⁽³⁾ | E _ω | ³の項のみを考慮すると、次のようになります。 ^{[ 8 ] : 81–82}

${\displaystyle \mathbf {P} \simeq \varepsilon _{0}\left(\chi ^{(1)}+{\frac {3}{4}}\chi ^{(3)}|\mathbf {E} _{\omega }|^{2}\right)\mathbf {E} _{\omega }\cos(\omega t).}$

これまでと同様に、これは非線形項が追加された線形感受率のように見えます。

${\displaystyle \chi =\chi _{\mathrm {LIN} }+\chi _{\mathrm {NL} }=\chi ^{(1)}+{\frac {3\chi ^{(3)}}{4}}|\mathbf {E} _{\omega }|^{2},}$

そしてそれ以来：

${\displaystyle n=(1+\chi )^{1/2}=\left(1+\chi _{\mathrm {LIN} }+\chi _{\mathrm {NL} }\right)^{1/2}\simeq n_{0}\left(1+{\frac {1}{2{n_{0}}^{2}}}\chi _{\mathrm {NL} }\right)}$

ここで、n ₀ =(1+χ _LIN ) ^1/2は線形屈折率です。χ _NL ≪ n ₀ ²であるため、テイラー展開を用いると、強度依存屈折率(IDRI) は次のようになります。

${\displaystyle n=n_{0}+{\frac {3\chi ^{(3)}}{8n_{0}}}|\mathbf {E} _{\omega }|^{2}=n_{0}+n_{2}I}$

ここで、n₂_は2次非線形屈折率、Iは波の強度である。したがって、屈折率の変化は、媒質中を伝搬する光の強度に比例する。

ほとんどの材料においてn ₂の値は比較的小さく、一般的なガラスでは10 ⁻²⁰ m ² W ⁻¹程度である。したがって、交流カー効果によって屈折率に大きな変化をもたらすには、1 GW cm ⁻²程度のビーム強度（放射照度） （レーザーによって生成されるようなもの）が必要となる。

光カー効果は、時間的には自己位相変調として現れます。これは、光パルスが媒質を通過する際に、自己誘導的に位相と周波数が変化する現象です。この過程は、分散と相まって、光ソリトンを生成する可能性があります。

空間的に見ると、媒質中の強い光線は、光線の横方向の強度パターンを模倣した媒質の屈折率の変化を引き起こします。例えば、ガウスビームは、勾配屈折率レンズと同様のガウス型の屈折率分布をもたらします。これにより、光線は自ら集束し、この現象は自己集束と呼ばれます。

ビームが自己集束すると、ピーク強度が増加し、それがさらに自己集束を引き起こします。ビームが無限に自己集束するのを防ぐのは、強度が非常に高くなると重要になる多光子イオン化などの非線形効果です。自己集束スポットの強度が一定値を超えると、高い局所光場によって媒質がイオン化されます。これにより屈折率が低下し、伝搬する光ビームがデフォーカスされます。その後、伝搬は一連の繰り返しの集束とデフォーカスのステップで進行します。^{[ 11 ]}