直交テンソル

幾何学と線型代数では、直交テンソルは正規直交基底を使用して、ユークリッド空間内のテンソルを成分の形で表します。テンソルの成分をある基底から別の基底に変換するには、直交変換を使用します。

最もよく知られている座標系は、2 次元および3 次元の 直交座標系です。直交テンソルは、任意のユークリッド空間、またはより技術的には、内積を持つ実数体上の任意の有限次元ベクトル空間で使用できます。

直交テンソルは、コーシー応力テンソルや剛体力学における慣性モーメントテンソルなど、物理学や工学で使用されます。高変形連続体力学のように一般曲線座標が便利な場合や、一般相対性理論のように必須の場合もあります。このような座標系の一部には正規直交基底が見つかる場合もありますが (球面座標の接線など)、直交テンソルを使用すると、直線座標軸の回転で十分なアプリケーションを大幅に簡素化できます。変換は受動的な変換です。座標が変更され、物理システムは変更されないためです。

3D ユークリッド空間では、標準基底はe _x、e _y、e _zです。各基底ベクトルは x 軸、y 軸、z 軸に沿っており、ベクトルはすべて単位ベクトル（または正規化）であるため、基底は正規直交です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

全体を通して、3 次元の直交座標を参照する場合は右手系が想定されますが、これは実際には左手系よりもはるかに一般的です。詳細については、方向 (ベクトル空間)を参照してください。

1次の直交テンソルの場合、直交ベクトルa は、基底ベクトルe _x、e _y、e _zの線形結合として代数的に表すことができます。

$${\displaystyle \mathbf {a} =a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}}$$

ここで、直交座標基底に対するベクトルの座標は、 a _x、a _y、a _zで示される。基底ベクトルを列ベクトルとして表示することは一般的であり、有用である。

$${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{\text {y}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{\text{z}}={\begin{pmatrix}0 \\0\\1\end{pmatrix}}}$$

列ベクトル表現に 座標ベクトルがある場合:

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}\\a_{\text{y}}\\a_{\text{z}}\end{pmatrix}}}$$

行ベクトル表現も正当ですが、一般的な曲線座標系のコンテキストでは、行ベクトル表現と列ベクトル表現は特定の理由により別々に使用されます。理由については、アインシュタイン表記法とベクトルの共変性と反変性を参照してください。

ベクトルの「コンポーネント」という用語は曖昧です。次のものを指す可能性があります。

• ベクトルの特定の座標、例えば_z （スカラー）、およびxとyについても同様、または
• 座標を対応する基底ベクトルにスカラー乗算したもので、この場合、aの「 y成分」はa _y e _y (ベクトル)となり、xとzについても同様です。

より一般的な表記法はテンソルインデックス表記法であり、これは固定された座標ラベルではなく数値の柔軟性を備えています。デカルト座標のラベルは、基底ベクトルe _x ↦ e ₁、e _y ↦ e ₂、e _z ↦ e ₃および座標a _x ↦ a ₁、a _y ↦ a ₂、a _z ↦ a ₃のテンソルインデックスに置き換えられます。一般に、表記法e ₁、e ₂、e _{3 は}任意の基底を指し、a ₁、a ₂、a _{3 は}対応する座標系を指しますが、ここではデカルト座標系に限定されています。次に、

$${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3} =\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}}$$

アインシュタイン記法を使用するのが標準です。つまり、項内にちょうど 2 回存在するインデックスの合計に対する合計記号は、表記の簡潔さのために省略される場合があります。

$${\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv a_{i}\mathbf {e} _{i}}$$

インデックス表記法が座標固有の表記法よりも優れている点は、基礎となるベクトル空間の次元に依存しないことです。つまり、右側の同じ式は、高次元でも同じ形式になります (以下を参照)。以前は、直交座標のラベル x、y、z は単なるラベルであり、インデックスではありませんでした(「 i = x、y、z」 と表記するのは非公式です)。

二項テンソル Tは、 2 つの直交ベクトルaとbのテンソル積 ⊗によって形成される 2 次テンソルで、T = a ⊗ bと書きます。ベクトルと同様に、テンソル基底e _x ⊗ e _x ≡ e _xx、e _x ⊗ e _y ≡ e _xy、...、e _z ⊗ e _z ≡ e _zzの線形結合として書くことができます (各恒等式の右辺は省略形にすぎず、それ以上のものではありません)。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} =\quad &\left(a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\otimes \left(b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\\[5pt]{}=\quad &a_{\text{x}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{x}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{x}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\[4pt]{}+{}&a_{\text{y}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{y}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\[4pt]{}+{}&a_{\text{z}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{z}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\end{aligned}}}$$

各基底テンソルを行列として表すと次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{xx}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{xy}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{zz}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

T はより体系的に行列として表すことができます 。

$${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}b_{\text{x}}&a_{\text{x}}b_{\text{y}}&a_{\text{x}}b_{\text{z}}\\a_{\text{y}}b_{\text{x}}&a_{\text{y}}b_{\text{y}}&a_{\text{y}}b_{\text{z}}\\a_{\text{z}}b_{\text{x}}&a_{\text{z}}b_{\text{y}}&a_{\text{z}}b_{\text{z}}\end{pmatrix}}}$$

行列とドット積およびテンソル積の間の表記上の対応については、 行列乗算を参照してください。

より一般的には、 T が2 つのベクトルのテンソル積であるかどうかに関係なく、それは常に座標T _xx、T _xy、...、T _zzを持つ基底テンソルの線形結合です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} =\quad &T_{\text{xx}}\mathbf {e} _{\text{xx}}+T_{\text{xy}}\mathbf {e} _{\text{xy}}+T_{\text{xz}}\mathbf {e} _{\text{xz}}\\[4pt]{}+{}&T_{\text{yx}}\mathbf {e} _{\text{yx}}+T_{\text{yy}}\mathbf {e} _{\text{yy}}+T_{\text{yz}}\mathbf {e} _{\text{yz}}\\[4pt]{}+{}&T_{\text{zx}}\mathbf {e} _{\text{zx}}+T_{\text{zy}}\mathbf {e} _{\text{zy}}+T_{\text{zz}}\mathbf {e} _{\text{zz}}\end{aligned}}}$$

一方、テンソルインデックスに関しては次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,}$$

行列形式では：

$${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}}$$

2 次テンソルは、物理量がシステム内で方向依存性を持つ場合、多くの場合「刺激応答」方式で、物理学や工学で自然に発生します。これは、テンソルの 1 つの側面、つまり多線型関数として数学的に見ることができます。ある大きさと方向のベクトルuを受け入れる2 次テンソルT は、一般に、uとは異なる大きさと方向のベクトルvを返します。数学的解析で使用される関数の表記法では、 v − T ( u )と書きますが、^{[1]同じ考え方を行列表記法とインデックス表記法[2]} (合計規則を含む) でもそれぞれ表現できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{\text{x}}\\v_{\text{y}}\\v_{\text{z}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{\text{x}}\\u_{\text{y}}\\u_{\text{z}}\end{pmatrix}}\,,&v_{i}&=T_{ij}u_{j}\end{aligned}}}$$

「線形」により、2 つのスカラーρとσ、ベクトルrとsに対してu = ρ r + σ sの場合、関数とインデックス表記では次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=&&\mathbf {T} (\rho \mathbf {r} +\sigma \mathbf {s} )&=&&\rho \mathbf {T} (\mathbf {r} )+\sigma \mathbf {T} (\mathbf {s} )\\[1ex]v_{i}&=&&T_{ij}(\rho r_{j}+\sigma s_{j})&=&&\rho T_{ij}r_{j}+\sigma T_{ij}s_{j}\end{aligned}}}$$

行列表記についても同様です。関数、行列、インデックス表記はすべて同じ意味です。行列形式はコンポーネントを明確に表示しますが、インデックス形式は数式のテンソル代数操作を簡潔に簡単に行うことができます。どちらも方向の物理的な解釈を提供します。ベクトルは 1 つの方向を持ちますが、2 次テンソルは 2 つの方向を接続します。テンソル インデックスまたは座標ラベルを基底ベクトルの方向に関連付けることができます。

2 次テンソルの使用は、ベクトルの大きさと方向の変化を記述するための最低限の手段です。2つのベクトルのドット積は常にスカラーであり、 2 つのベクトルの外積は常にベクトルによって定義される平面に垂直な擬似ベクトルであるため、これらのベクトルの積だけでは、任意の方向の任意の大きさの新しいベクトルを取得できません。(ドット積と外積の詳細については、以下も参照してください)。2 つのベクトルのテンソル積は 2 次テンソルですが、これ自体には明確な方向の解釈はありません。

前述の考え方は継続できます。T が2 つのベクトルpとq を受け取る場合、スカラーr を返します。関数表記ではr = T ( p , q )と書き、行列表記とインデックス表記 (合計規則を含む) ではそれぞれ次のように書きます。

$${\displaystyle r={\begin{pmatrix}p_{\text{x}}&p_{\text{y}}&p_{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{\text{x}}\\q_{\text{y}}\\q_{\text{z}}\end{pmatrix}}=p_{i}T_{ij}q_{j}}$$

テンソルTは両方の入力ベクトルにおいて線形である。ベクトルとテンソルが成分を参照せずに書かれ、インデックスが使用されていない場合、インデックスの合計（テンソル収縮と呼ばれる）が行われる場所にドット⋅が置かれることがある。上記の場合：^{[1] [2]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {T} \cdot \mathbf {u} \\r&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {T} \cdot \mathbf {q} \end{aligned}}}$$

ドット積表記法に由来:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \equiv a_{i}b_{i}}$$

より一般的には、 n個のベクトル（nは0からmまで）を受け入れるm次テンソルは、m − n次テンソルを返します。一般化と詳細については、テンソル § 多重線型写像としてを参照してください。上記の概念は、ベクトルの場合と同じように擬似ベクトルにも適用されます。ベクトルとテンソル自体は空間全体で変化する可能性があり、その場合はベクトル場とテンソル場があり、時間に依存することもあります。

以下に例をいくつか示します。

電気伝導の例では、インデックスと行列の表記は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{i}&=\sigma _{ij}E_{j}\equiv \sum _{j}\sigma _{ij}E_{j}\\{\begin{pmatrix}J_{\text{x}}\\J_{\text{y}}\\J_{\text{z}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\sigma _{\text{xx}}&\sigma _{\text{xy}}&\sigma _{\text{xz}}\\\sigma _{\text{yx}}&\sigma _{\text{yy}}&\sigma _{\text{yz}}\\\sigma _{\text{zx}}&\sigma _{\text{zy}}&\sigma _{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E_{\text{x}}\\E_{\text{y}}\\E_{\text{z}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

一方、回転運動エネルギーTについては、

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\equiv {\frac {1}{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\,,\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}&\omega _{\text{y}}&\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{\text{xx}}&I_{\text{xy}}&I_{\text{xz}}\\I_{\text{yx}}&I_{\text{yy}}&I_{\text{yz}}\\I_{\text{zx}}&I_{\text{zy}}&I_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}\\\omega _{\text{y}}\\\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

より専門的な例については 構成方程式も参照してください。

実数上のn次元ユークリッド空間では、標準基底はe ₁、e ₂、e ₃、... e _nと表されます。各基底ベクトルe _{i は}正のx _i軸に沿っており、基底は正規直交です。e _iの成分jはクロネッカーのデルタで与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (\mathbf {e} _{i})_{j}=\delta _{ij}}$$

のベクトルは次の形式になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv \sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\,.}$$

同様に、上記の2次テンソルでは、 の各ベクトルaとbに対して次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {T} =a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,}$$

あるいはもっと一般的には:

$${\displaystyle \mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,.}$$

の位置ベクトル xは、ベクトルの単純で一般的な例であり、任意の座標系 で表すことができます。正規直交基底のみを持つ直交座標系の場合を考えてみましょう。基底ベクトルがすべて互いに垂直で正規化されていない場合は、直交ジオメトリを持つ座標系を持つことができます。この場合、基底は直交基底ですが、正規直交基底ではありません。ただし、正規直交基底の方が操作が簡単なので、実際にはよく使用されます。次の結果は、直交基底ではなく、正規直交基底に当てはまります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ある直交座標系では、反ベクトルとしてのx は座標x ⁱと基底ベクトルe _iを持ち、共ベクトルとしての x は座標x _iと基底共ベクトルe ⁱを持ち、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=x^{i}\mathbf {e} _{i}\,,&\mathbf {x} &=x_{i}\mathbf {e} ^{i}\end{aligned}}}$$

別の直交座標系では、反ベクトルとしてのx は座標x ⁱと基底e _{i を}持ち、共ベクトルとしての x は座標x _iと基底e ^{i を}持ち、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &={\bar {x}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\,,&\mathbf {x} &={\bar {x}}_{i}{\bar {\mathbf {e} }}^{i}\end{aligned}}}$$

それぞれの新しい座標はすべての古い座標の関数であり、逆関数の場合はその逆になります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}{}^{i}={\bar {x}}{}^{i}\left(x^{1},x^{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad x{}^{i}=x{}^{i}\left({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\ldots \right)\\{\bar {x}}{}_{i}={\bar {x}}{}_{i}\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad x{}_{i}=x{}_{i}\left({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\ldots \right)\end{aligned}}}$$

同様に、新しい基底ベクトルは古い基底ベクトルすべての関数であり、逆関数の場合はその逆になります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}\left(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}_{j}=\mathbf {e} {}_{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}_{1},{\bar {\mathbf {e} }}_{2},\ldots \right)\\{\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}\left(\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}^{j}=\mathbf {e} {}^{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}^{1},{\bar {\mathbf {e} }}^{2},\ldots \right)\end{aligned}}}$$

すべてのi、jに対して。

ベクトルは基底のいかなる変化に対しても不変であるため、座標が変換行列 Lに従って変換される場合、基底は行列の逆 L ⁻¹に従って変換され、逆に座標が逆L ⁻¹に従って変換される場合、基底は行列Lに従って変換されます。これらの各変換の違いは、慣例的に、反変性の場合は上付き文字、共変性の場合は下付き文字としてインデックスによって示され、座標と基底は次の規則に従って 線形変換されます。

ここで、L _i ^{j は}変換行列の要素（行番号はi、列番号はj）を表し、( L ⁻¹ ) _i ^{k は}行列L _i ^kの逆行列の要素を表します。

L が直交変換(直交行列)である場合、それによって変換されるオブジェクトは直交テンソルとして定義されます。これは幾何学的には、直交座標系が別の直交座標系にマッピングされ、ベクトルxのノルムが保存される (距離が保存される) という解釈になります。

Lの行列式はdet( L ) = ±1であり、これは回転の場合は( +1 ) 、不正確な回転（反射を含む）の場合は( −1 )という2種類の直交変換に対応します。

かなりの代数的簡略化があり、行列転置は直交変換の定義の 逆になります。

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\Rightarrow \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{i}{}^{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}\right)_{i}{}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})^{j}{}_{i}={\mathsf {L}}^{j}{}_{i}}$$

前の表から、共ベクトルと反ベクトルの直交変換は同一であることがわかります。指数の上げ下げを区別する必要はなく、この文脈や物理学と工学への応用では、指数の混乱を避けるために、指数はすべて下付きで表されます。この記事の残りの部分では、すべての指数は下げられます。共ベクトルまたは反ベクトルである量と、関連する変換規則を考慮することで、実際の上げ下げされた指数を決定できます。

位置ベクトルだけでなく、任意のベクトルaにまったく同じ変換規則が適用されます。そのコンポーネントa _{i が}規則に従って変換されない場合、aはベクトルではありません。

上記の式は類似していますが、 x ^j = L _i ^j x ⁱのような座標変換や、 b _i = T _ij  a _jのようなテンソルのベクトルへの作用では、Lはテンソルではなく、Tがテンソルです。座標変換では、L は行列であり、正規直交基底を持つ 2 つの直交座標系を関連付けるために使用されます。ベクトルをベクトルに関連付けるテンソルの場合、方程式全体のベクトルとテンソルはすべて同じ座標系と基底に属します。

Lの要素は、それぞれ、新しい座標または古い座標に対する新しい座標または古い座標の 偏微分です。

x _{i を}x _kに関して微分すると次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(x_{j}{\mathsf {L}}_{ji})={\mathsf {L}}_{ji}{\frac {\partial x_{j}}{\partial x_{k}}}=\delta _{kj}{\mathsf {L}}_{ji}={\mathsf {L}}_{ki}}$$

それで

$${\displaystyle {{\mathsf {L}}_{i}}^{j}\equiv {\mathsf {L}}_{ij}={\frac {\partial {\bar {x}}_{j}}{\partial x_{i}}}}$$

はヤコビ行列の要素です。偏微分におけるLとに付けられたインデックスの位置には（部分的に記憶上の）対応関係があります。いずれの場合も、上部にi 、下部にj がありますが、直交テンソルの場合はインデックスを下げることができます。

逆に、x _{j を}x _iに関して微分すると、

$${\displaystyle {\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}_{k}}}\left({\bar {x}}_{i}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}=\delta _{ki}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{kj}}$$

それで

$${\displaystyle \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{i}{}^{j}\equiv \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}={\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{i}}}}$$

同様のインデックス対応を持つ逆ヤコビ行列の要素です。

多くの情報源では、偏微分による変換について述べています。

3D の明示的な行列方程式は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} \\{\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

同様に

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}{\bar {\mathbf {x} }}}$$

すべての線形変換と同様に、Lは選択された基底に依存します。2つの正規直交基底の場合、

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}&=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}\,,&\left|\mathbf {e} _{i}\right|&=\left|{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\right|=1\,,\end{aligned}}}$$

• x をx軸に投影する:${\displaystyle {\bar {x}}_{i}={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {x} ={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot x_{j}\mathbf {e} _{j}=x_{i}{\mathsf {L}}_{ij}\,,}$
• x をx軸に投影する:${\displaystyle x_{i}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} =\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}={\bar {x}}_{j}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ji}\,.}$

したがって、成分はx _i軸とx _j軸の間の方向余弦になります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {L}}_{ij}&={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\cos \theta _{ij}\\\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}&=\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\cos \theta _{ji}\end{aligned}}}$$

ここで、θ _ijとθ _{ji は、} x _i軸とx _j軸の間の角度です。一般に、θ _ijはθ _jiと等しくありません。たとえば、θ ₁₂とθ ₂₁は 2 つの異なる角度だからです。

座標の変換は次のように記述できます。

3D の明示的な行列方程式は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} \\{\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{11}&\cos \theta _{12}&\cos \theta _{13}\\\cos \theta _{21}&\cos \theta _{22}&\cos \theta _{23}\\\cos \theta _{31}&\cos \theta _{32}&\cos \theta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

同様に

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}{\bar {\mathbf {x} }}}$$

幾何学的な解釈は、x _i成分がx _j成分をx _j軸に投影した合計に等しいということです。

行列に配置された数e _i ⋅ e _jは、ドット積の対称性により対称行列（自身の転置に等しい行列）を形成します。実際、これは計量テンソル gです。対照的に、 e _i ⋅ e _jまたはe _i ⋅ e _{j は}、上記のように一般に対称行列を形成しません。したがって、 L行列は依然として直交していますが、対称ではありません。

任意の 1 つの軸の周りの回転 (あるiに対してx _iとx _{i が}一致する場合) を除き、角度はオイラー角と同じではなく、したがってL行列は回転行列と同じではありません。

内積と外積は、物理学や工学におけるベクトル解析の応用において非常に頻繁に発生します。例としては、次のものがあります 。

• 直線経路に沿って 速度vで力F を及ぼす物体によって伝達される電力P :$${\displaystyle P=\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} }$$
• 角速度ωで回転する剛体の点xにおける接線速度 v : $${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }$$
• 均一な外部磁場Bにおける磁気モーメントmの磁気双極子の位置エネルギーU : $${\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }$$
• 位置ベクトルrと運動量pを持つ粒子の角運動量J : $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$
• 均一な外部電場E中の電気双極子モーメントpの電気双極子に作用するトルクτ : $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }$$
• 単位法線nの表面上の磁化Mの磁性材料における誘導表面電流密度 j _S： $${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {S} }=\mathbf {M} \times \mathbf {n} }$$

これらの積が直交変換によってどのように変換されるかを以下に示します。

基底ベクトルの各可能なペアのドット積⋅は、基底が正規直交であることから導かれる。直交するペアについては、

$${\displaystyle {\begin{array}{llll}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=0\end{array}}}$$

一方、平行ペアの場合は

$${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}=1.}$$

上に示したように、直交座標のラベルをインデックス表記に置き換えると、これらの結果は次のように要約できる。

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}}$$

ここで、δ _{ij は}クロネッカーのデルタの成分です。直交座標基底は、このように δ を表すために使用できます。

さらに、任意の基底に対する 各計量テンソル成分g _{ij は、基底ベクトルのペアのドット積です。}

$${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.}$$

デカルト基底の場合、行列に配置されるコンポーネントは次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\begin{pmatrix}g_{\text{xx}}&g_{\text{xy}}&g_{\text{xz}}\\g_{\text{yx}}&g_{\text{yy}}&g_{\text{yz}}\\g_{\text{zx}}&g_{\text{zy}}&g_{\text{zz}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$$

計量テンソル、すなわちδに対して可能な限り最も単純なものは次のとおりです。

$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$$

これは一般基底には当てはまりません。直交座標にはさまざまなスケール係数 (必ずしも 1 ではない) を含む対角メトリックがありますが、一般曲線座標には非対角成分に対してゼロ以外のエントリが含まれることもあります。

2つのベクトルaとbのドット積は次のように変換されます。

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}=a_{i}{\mathsf {L}}_{ij}b_{k}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jk}=a_{i}\delta _{i}{}_{k}b_{k}=a_{i}b_{i}}$$

これは直感的です。2 つのベクトルのドット積は、どの座標にも依存しない単一のスカラーです。これは、直交座標系だけでなく、より一般的には任意の座標系にも当てはまります。つまり、1 つの座標系でのドット積は、他のどの座標系でも同じです。

2 つのベクトルの外積( × )の場合、結果は (ほぼ) 逆になります。ここでも、右手 3D 直交座標系を想定すると、垂直方向の巡回置換により、ベクトルの巡回コレクション内の次のベクトルが生成されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\\[1ex]\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}&=-\mathbf {e} _{\text{z}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}&=-\mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}&=-\mathbf {e} _{\text{y}}\end{aligned}}}$$