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これはテンソル理論の用語集 です。さまざまな観点からのテンソル理論の説明については、以下を参照してください。
抽象理論の歴史については、多重線型代数も参照してください。
古典記法
- リッチ計算
- テンソル理論の最も初期の基礎 - テンソル指数表記法。[1]
- テンソルの順序
- テンソルの基底に対する成分は、インデックス付き配列です。テンソルの順序は、必要なインデックスの数です。テキストによっては、テンソルの順序を次数またはランクという用語で表す場合があります。
- テンソルの階数
- テンソルの階数は、テンソルを得るために合計しなければならない階数 1 のテンソルの最小数です。階数 1 のテンソルは、正しい順序を得るために必要な非ゼロのベクトルの数の外積として表現できると定義できます。
- アインシュタイン記法
- この表記法は、多次元配列に繰り返しのインデックス文字が含まれている場合は常に、デフォルトの解釈では、積はインデックスのすべての許容値にわたって合計されるという理解に基づいています。たとえば、a ijが行列の場合、この規則ではa iiはそのトレースになります。アインシュタインの規則は物理学や工学のテキストで広く使用されており、合計を適用しない場合は、そのことを明示的に記載するのが一般的です。
- 共変テンソル
- 反変テンソル
- 古典的な解釈は成分によるものです。たとえば、微分形式a i dx iでは、成分a i は共 変ベクトルです。つまり、すべてのインデックスが下側にあるということです。反変とは、すべてのインデックスが上側にあるということです。
- 混合テンソル
- これは、下限インデックスと上限インデックスの両方を持つテンソルを指します。
- 直交テンソル
- 直交テンソルは、流体力学や弾性など、連続体力学のさまざまな分野で広く使用されています。古典的な連続体力学では、関心のある空間は通常 3 次元ユークリッド空間であり、各点における接空間も同様です。局所座標を、関心のある点を中心とする同じスケールの直交座標に制限すると、計量テンソルはクロネッカーのデルタです。これは、共変成分と反変成分を区別する必要がなく、さらに、テンソルとテンソル密度を区別する必要がないことを意味します。すべての直交テンソルのインデックスは、下付き文字として記述されます。直交テンソルは、一般性と理論的洞察の一部を犠牲にして、計算を大幅に簡素化します。
代数記法
これにより、コンポーネントの初期の使用が回避され、テンソル積記号が明示的に使用されることによって区別されます。
- テンソル積
- vとwがそれぞれベクトル空間 VとWのベクトルである場合、
- テンソルである
- つまり、⊗ 演算は二項演算ですが、値を新しい空間に取り込みます（強い意味で外部です）。⊗ 演算は双線型写像ですが、他の条件は適用されません。
- 純粋テンソル
- V ⊗ Wの純粋テンソルは、v ⊗ wという形式のテンソルです。
- これは二項式でa i b jと書くこともできますが、より正確にはa i b j e i ⊗ f j と書くこともできます。ここでe i はVの基底で、f j はWの基底です。したがって、 VとWが同じ次元でない限り、成分の配列は正方である必要はありません。このような純粋なテンソルはジェネリックではありません。つまり、VとW の両方の次元が 1 より大きい場合、純粋でないテンソルが存在し、純粋であるためにはテンソルが満たすべき非線形条件が存在します。詳細については、セグレ埋め込みを参照してください。
- テンソル代数
- ベクトル空間Vのテンソル代数T ( V ) では、演算は通常の (内部) 2 項演算になります。その結果、V が0 次元でない限り、 T ( V ) は無限次元になります。集合X上の自由代数は、実用上は、 X を基底とするベクトル空間上のテンソル代数と同じです。
- ホッジスター演算子
- 外部電源
- 対称的な累乗、対称的な代数
- これは多項式代数を構築する不変の方法です。
アプリケーション
テンソル場理論
抽象代数
- テンソル積
- これはフィールドに対する操作であり、必ずしもフィールドが生成されるわけではありません。
- クリフォードモジュール
- クリフォード代数を行列代数として実現するクリフォード代数の表現。
- グロタンディークの6つの演算
- これらは幾何学の一部で使用される非常に抽象的なアプローチです。
スピノルズ
見る：
参考文献
書籍
- ビショップ、RL ; ゴールドバーグ、SI (1968)、多様体上のテンソル解析（初版ドーバー1980年）、マクミラン社、ISBN 0-486-64039-6
- ダニエルソン、ドナルド A. (2003)。工学と物理学におけるベクトルとテンソル(第 2 版)。Westview (Perseus) 。ISBN 978-0-8133-4080-7。
- ディミトリエンコ、ユーリイ（2002）。テンソル解析と非線形テンソル関数。Kluwer Academic Publishers（Springer）。ISBN 1-4020-1015-X。
- ラブロック、デイビッド; ハンノ・ランド (1989) [1975].テンソル、微分形式、変分原理. ドーバー. ISBN 978-0-486-65840-7。
- ジョン・L・シンジ;アルフレッド・シルド（1949年）。テンソル微積分。ドーバー出版1978年版。ISBN 978-0-486-63612-2。