ナチュラルバンドル

数学の一分野である微分幾何学において、自然束とは、何らかの に対してsフレーム束に関連付けられた任意のファイバー束である。その遷移関数は、最大 次までの偏微分とともに、基本多様体における座標の局所的変化に関数的に依存することが判明している。^[1]${\displaystyle F^{s}(M)}$${\displaystyle s\geq 1}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$

自然束の概念は、幾何学的物体の任意の束という古典的な概念を現代的に再定式化したものとして、アルバート・ナイエンフイスによって導入されました。 ^[2]

滑らかな多様体と滑らかな写像のカテゴリと、滑らかな- 次元多様体と局所微分同相写像のカテゴリを表すものとします。また、ファイバー多様体とバンドル射のカテゴリ、および任意のファイバー多様体にその基本多様体を関連付ける 関数についても考えます。${\displaystyle Mf}$${\displaystyle Mf_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {FM}}}$${\displaystyle B:{\mathcal {FM}}\to {\mathcal {M}}f}$

自然バンドル（またはバンドル関数）は、次の 3 つの特性を満たす 関数です。 ${\displaystyle F:{\mathcal {M}}f_{n}\to {\mathcal {FM}}}$

1. ${\displaystyle B\circ F=\mathrm {id} }$すなわち、 は上のファイバー多様体であり、その射影は で表されます。${\displaystyle B(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p_{M}:B(M)\to M}$
2. が開部分多様体で、包含写像 を持つ場合、 はと一致し、 は包含 である。${\displaystyle U\subseteq M}$${\displaystyle i:U\hookrightarrow M}$${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle p_{M}^{-1}(U)\subseteq F(M)}$${\displaystyle F(i):F(U)\to F(M)}$${\displaystyle p^{-1}(U)\hookrightarrow F(M)}$
3. 任意の滑らかな写像 に対して、が任意の に対して局所微分同相写像となる場合、関数 は滑らかです。${\displaystyle f:P\times M\to N}$${\displaystyle f(p,\cdot ):M\to N}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle P\times F(M)\to F(N),(p,x)\mapsto F(f(p,\cdot ))(x)}$

最初の条件の結果として、自然な変換 が得られます。 ${\displaystyle p:F\to B}$

任意の局所微分同相写像と任意の点に対して、写像がジェット のみに依存する場合、自然バンドルは有限位数であると呼ばれます。同様に、任意の局所微分同相写像と任意の点に対して、次が成り立ちます。位数の自然バンドルは、 - 位のフレームバンドルに関連付けられたファイバーバンドルと一致します。 ${\displaystyle F:Mf_{n}\to Mf}$ ${\displaystyle r}$${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle F(f)_{x}:F(M)_{x}\to F(N)_{f(x)}}$${\displaystyle j_{x}^{r}f}$${\displaystyle f,g:M\to N}$${\displaystyle x\in M}$$${\displaystyle j_{x}^{r}f=j_{x}^{r}g\Rightarrow F(f)|_{F(M)_{x}}=F(g)|_{F(M)_{x}}.}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle F^{s}(M)}$

エプスタインとサーストンによる古典的な結果は、すべての自然バンドルが有限の順序を持​​つことを示しています。^[3]

自然バンドル（一次）の例としては、多様体の接バンドル が挙げられます。 ${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$

他の例としては、コタンジェントバンドル、シグネチャのメトリックスのバンドル、線形接続のバンドルなどがあります。^[4]${\displaystyle (r,s)}$

• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in different geography (PDF) , Springer-Verlag, 2017-03-30 にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2017-08-15 に取得
• クルプカ、デメテル。 Janyška, Josef (1990)、Lectures on Differential invariants、Univerzita JE Purkyně V Brně、ISBN 80-210-0165-8
• サンダース、DJ（1989）、ジェットバンドルの幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-36948-7