拡散強調磁気共鳴画像

拡散MRI
DTI カラーマップ
メッシュ	D038524

拡散強調磁気共鳴画像法（DWIまたはDW-MRI）は、特定のMRIシーケンスと、水分子の拡散を利用してMR画像のコントラストを生成する結果データから画像を生成するソフトウェアを使用する。^{[1] [2] [3]これにより、}生体組織内の分子（主に水）の拡散プロセスを、in vivoで非侵襲的にマッピングすることができる。組織内の分子拡散はランダムではなく、高分子、繊維、膜など多くの障害物との相互作用を反映している。したがって、水分子の拡散パターンから、正常または病的な状態の組織構造に関する微視的詳細を明らかにすることができる。特殊な種類のDWIである拡散テンソル画像法（DTI ）は、脳の 白質トラクトグラフィーをマッピングするために広く使用されている。

拡散強調画像(DWI)では、各画像要素 (ボクセル)の強度がその場所の水拡散速度の最良の推定値を反映します。水の移動性は熱撹拌によって駆動され、その細胞環境に大きく依存するため、DWI の背後にある仮説は、所見が (早期の) 病理学的変化を示している可能性があるというものです。たとえば、DWI は、T1またはT2 緩和率などの従来の MRI 測定よりも、脳卒中後の初期変化に対してより敏感です。拡散強調画像の変形である拡散スペクトル画像(DSI) ^{[4]は、コネクトーム データ セットの導出に使用されました。DSI は拡散強調画像の変形であり、交差する線維束によって引き起こされる拡散方向のボクセル内不均一性に敏感であるため、他の拡散画像アプローチよりも}軸索の軌跡をより正確にマッピングできます。^[5]

拡散強調画像は、脳血管性脳卒中の診断に非常に有用である。また、非小細胞肺癌の病期分類にもますます多く使用されており、この種の疾患の「ゴールドスタンダード」として陽電子放出断層撮影に代わる有力な候補となっている。拡散テンソル画像は、脳の白質の疾患の研究だけでなく、他の身体組織の研究のためにも開発されている（下記参照）。DWI は、関心組織が等方性の水分移動によって支配されている場合（大脳皮質および主要な脳核の灰白質など） 、または身体（どの軸に沿って測定しても拡散率が同じであるように見える場合）に最も適している。ただし、DWI は T1 および T2 緩和にも敏感である。拡散と緩和が画像コントラストに与える影響を関連付けるには、拡散係数、より正確には見かけの拡散係数（ADC）の定量画像を取得する必要がある。 ADCの概念は、生物組織における拡散プロセスが複雑であり、いくつかの異なるメカニズムを反映しているという事実を考慮して導入されました。^[6]

拡散テンソル画像法(DTI) は、脳の白質の神経軸索や心臓の筋繊維などの組織が、一部の結晶の異方性に類似した内部繊維構造を持つ場合に重要です。水は、内部構造と一致する方向に急速に拡散し (軸方向拡散)、優先方向に対して垂直に移動するにつれて拡散が遅くなります (放射状拡散)。これは、測定された拡散速度が、観察者が見ている方向によって異なることも意味します。

拡散基底スペクトル画像法（DBSI）は、DTI信号を離散的な異方性拡散テンソルと等方性拡散テンソルのスペクトルにさらに分離し、サブボクセルの細胞構造をより適切に区別します。たとえば、異方性拡散テンソルは軸索繊維と相関し、低等方性拡散テンソルは細胞と相関し、高等方性拡散テンソルはより大きな構造（内腔や脳室など）と相関します。^{[7] DBSIは、従来のDTIよりも高い特異性と感度で、いくつかの種類の}脳腫瘍と多発性硬化症を区別できることが示されています。^{[8] [9] [10] [11]} DBSIは、脳の微細構造特性を決定するのにも役立っています。^[12]

従来、拡散強調画像（DWI）では、拡散テンソルのトレースを推定するのに十分な3つの勾配方向、つまり浮腫の推定尺度である「平均拡散率」が適用されます。臨床的には、トレース強調画像は、低酸素性浮腫を早期に（数分以内に）検出することにより、脳血管性脳卒中の診断に非常に有用であることが証明されています。 ^[13]

より拡張されたDTIスキャンは、拡散テンソルを計算するのに十分な6つ以上の勾配方向に基づく3Dまたは多次元ベクトルアルゴリズムを使用して、データから神経経路の方向情報を導きます。拡散テンソルモデルは、各画像ボクセル内の拡散の均一性と線形性を前提とした、拡散プロセスのかなり単純なモデルです。^{[13]拡散テンソルから、}分数異方性（FA）などの拡散異方性の尺度を計算できます。さらに、拡散テンソルの主方向を使用して、脳の白質の接続性を推測できます（つまり、トラクトグラフィー。脳のどの部分が他のどの部分に接続されているかを確認します）。

最近、拡散テンソルモデルの弱点を克服することを目的とした、拡散過程のより高度なモデルが提案されている。その中には、q空間イメージング^[14]や一般化拡散テンソルイメージングなどがある。

拡散イメージングは​​、分子拡散（通常は水）の局所特性に敏感な生体組織の生体内磁気共鳴画像を生成するMRI法です（ただし、 MR 分光法を使用して他の部分も調査できます）。 ^[15] MRI は分子の動きに敏感にすることができます。通常の MRI 取得では、水中の陽子の挙動を利用して、特定の被験者の臨床的に関連する特徴間のコントラストを生成します。MRI の汎用性は、顕微鏡レベルで組織の構造に関連するコントラストを生成するこの機能によるものです。一般的な強調画像では、サンプル内の水分子は強力な磁場の印加によって励起されます。これにより、水分子内の多くの陽子が同時に歳差運動し、MRI で信号が生成されます。強調画像では、水の陽子間のコヒーレンスまたは同期の損失を測定することによってコントラストが生成されます。水が自由に回転できる環境にある場合、緩和に時間がかかる傾向があります。特定の臨床状況では、これにより病変領域と周囲の健康な組織の間にコントラストが生成されます。 ${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$

MRI 画像を拡散に対して敏感にするために、磁場強度 (B1) はパルス磁場勾配によって直線的に変化します。歳差運動は磁石の強さに比例するため、陽子は異なる速度で歳差運動を開始し、位相の分散と信号損失が生じます。別の勾配パルスが同じ大きさで反対方向に印加され、スピンを再フォーカスまたは再位相します。パルス間の時間間隔中に移動した陽子の再フォーカスは完全ではなく、MRI 装置によって測定される信号は減少します。この「磁場勾配パルス」法は、NMR 用に Stejskal と Tanner ^[16]によって最初に考案されました。彼らは、パルス勾配の印加による信号の減少が、発生している拡散の量に関連していることを、次の式で導きました。

${\displaystyle {\frac {S(TE)}{S_{0}}}=\exp \left[-\gamma ^{2}G^{2}\delta ^{2}\left(\Delta -{\frac {\delta }{3}}\right)D\right]}$

ここで、は拡散強調なしの信号強度、は勾配のある信号、は磁気回転比、は勾配パルスの強度、はパルスの持続時間、は 2 つのパルス間の時間、最後に は拡散係数です。 ${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle D}$

この信号減衰を局所化して拡散画像を得るには、MRI に使用されるパルス磁場勾配パルス (信号の局所化を目的としているが、これらの勾配パルスは拡散関連の減衰を生成するには弱すぎる) と追加の「動きを調査する」勾配パルスを Stejskal と Tanner の方法に従って組み合わせる必要があります。この組み合わせは簡単ではありません。すべての勾配パルス間に交差項が発生するためです。Stejskal と Tanner によって設定された方程式は不正確になり、MRI シーケンスに存在するすべての勾配パルスとその相互作用を統合して、解析的または数値的に信号減衰を計算する必要があります。MRI シーケンスに存在するパルスの数が多いため、結果はすぐに非常に複雑になります。Le Bihan は単純化のために、すべての勾配項を「b 係数」(取得パラメータのみに依存) にまとめ、信号減衰が単純に次のようになることを提案しました。^[1]

${\displaystyle {\frac {S(TE)}{S_{0}}}=\exp(-b\cdot ADC)}$

また、拡散係数 は見かけの拡散係数 に置き換えられ、拡散プロセスが組織内で自由ではなく、多くのメカニズム (閉鎖空間での制限、障害物の周りの曲がりくねりなど) によって妨げられ、調整されていること、および小血管内の血流や脳室の脳脊髄液などの他の IntraVoxel Incoherent Motion (IVIM) の発生源も信号減衰に寄与していることを示します。最後に、画像は拡散プロセスによって「重み付け」されます。これらの拡散強調画像 (DWI) では、拡散が速く、b 係数が大きいほど、信号がより減衰します。ただし、これらの拡散強調画像は、T1 および T2 緩和コントラストにも敏感であり、混乱を招くことがあります。次のように、b 係数の少なくとも 2 つの異なる値、および を持つ画像を収集することにより、「純粋な」拡散マップ (または、より正確には、ADC が唯一のコントラスト ソースである ADC マップ) を計算することができます。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle ADC}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$

${\displaystyle \mathrm {ADC} (x,y,z)=\ln[S_{2}(x,y,z)/S_{1}(x,y,z)]/(b_{1}- b_{2})}$

この ADC の概念は、特に臨床応用において非常に成功しているが、最近、生物組織における拡散の新しい、より包括的なモデルが導入されたため、挑戦を受けている。組織における拡散は自由ではないため、これらのモデルは必要となった。この状態では、ADC は b 値の選択に依存するようであり (b 値を大きくすると ADC が減少するように見える)、上記の式から予想されるように、ln(S/So) のプロットは b 係数と線形ではない。自由拡散挙動からのこの逸脱が拡散 MRI の成功の理由であり、ADC は組織の微細構造の変化に非常に敏感である。一方、組織における拡散のモデル化は非常に複雑になってきている。最も人気のあるモデルには、低速または中程度の交換で 2 つの水プールが存在すると仮定する二重指数モデル^{[17] [18]}と、必ずしも 2 つのプールの存在を必要としないキュムラント展開 (尖度とも呼ばれる) モデル^{[19] [20] [21]} がある。

濃度とフラックスが与えられている場合、フィックの第一法則はフラックスと濃度勾配の関係を示します。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle J(x,t)=-D\nabla \rho (x,t)}$

ここで、D は拡散係数です。質量保存則を前提とすると、連続方程式は濃度の時間微分とフラックスの 発散を関連付けます。

${\displaystyle {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}=-\nabla \cdot J(x,t)}$

これら2つを組み合わせると、拡散方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\rho (x,t).}$

拡散がない場合、核磁化の時間変化は古典的なブロッホ方程式で与えられる。

${\displaystyle {\frac {d{\vec {M}}}{dt}}=\gamma {\vec {M}}\time {\vec {B}}-{\frac {M_{x}{\ vec {i}}+M_{y}{\vec {j}}}{T_{2}}}-{\frac {(M_{z}-M_{0}){\vec {k}}}{ T_{1}}}}$

歳差運動、T2 緩和、T1 緩和の項があります。

1956年、HC Torreyは、磁化に関するBloch方程式が拡散の追加によってどのように変化するかを数学的に示しました。^[22] Torreyは、Blochの横磁化の元の説明を修正し、拡散項と空間的に変化する勾配の適用を含めました。磁化はベクトルであるため、各次元に1つずつ、合計3つの拡散方程式があります。Bloch -Torrey方程式は次のとおりです。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\frac {d{\vec {M}}}{dt}}=\gamma {\vec {M}}\time {\vec {B}}-{\frac {M_{x}{\ vec {i}}+M_{y}{\vec {j}}}{T_{2}}}-{\frac {(M_{z}-M_{0}){\vec {k}}}{ T_{1}}}+\nabla \cdot {\vec {D}}\nabla {\vec {M}}}$

ここで、は拡散テンソルです。 ${\displaystyle {\vec {D}}}$

拡散が等方性である最も単純なケースでは、拡散テンソルは恒等式の倍数になります。

${\displaystyle {\vec {D}}=D\cdot {\vec {I}}=D\cdot {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$

すると、ブロッホ・トーリー方程式の解は次のようになる。

${\displaystyle {M}={M}_{\text{bloch}}e^{-{\frac {1}{3}}\gamma ^{2}G^{2}t^{3}D}\sim e^{-bD_{0}}}$

指数項は減衰 と呼ばれます。異方性拡散は拡散テンソルと同様の解を持ちますが、測定されるのは見かけの拡散係数(ADC)である点が異なります。一般に、減衰は次の式で表されます。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=e^{-\sum _{i,j}b_{ij}D_{ij}}}$

ここで、項には勾配場、、およびが組み込まれています。 ${\displaystyle b_{ij}}$${\displaystyle G_{x}}$${\displaystyle G_{y}}$${\displaystyle G_{z}}$

DWI画像の標準的なグレースケールは、拡散制限の増加をより明るいものとして表現する。^[23]

見かけの拡散係数（ADC）画像、またはADCマップは、従来のDWIに固有のT2強調を排除することで、従来のDWIよりも拡散をより具体的に示すMRI画像です。 ^{[24] [25]} ADCイメージングでは、異なる量のDWI重み付けで複数の従来のDWI画像を取得することで拡散を実現し、信号の変化は拡散率に比例します。DWI画像とは対照的に、ADC画像の標準的なグレースケールは、拡散の程度が小さいほど暗い色で表されます。^[23]

脳梗塞では拡散制限が生じるため、さまざまなDWI加重値による画像間の差は小さくなり、梗塞部では信号が低いADC画像となる。^[24] ADCの低下は脳梗塞の数分後に検出される可能性がある。^[26]従来のDWIで梗塞組織に高信号がみられるのは、部分的なT2加重値によるものである。^[27]

拡散テンソル画像法（DTI）は、磁気共鳴画像法の一種で、このデータを断面画像のピクセルにコントラストや色を割り当てる目的のみに使用するのではなく、組織内の水の制限拡散を測定して神経管画像を作成することができます。また、心筋を含む筋肉や前立腺などの他の組織に関する有用な構造情報も提供します。^[28]

DTI では、各ボクセルには 1 組以上のパラメータ、つまり拡散速度と、そのパラメータが有効な拡散の優先方向 (3 次元空間で記述) があります。1 つの DTI 画像の各ボクセルの特性は、通常、拡散増感勾配の方向が異なる 6 つ以上の異なる拡散強調画像からベクトルまたはテンソル計算によって計算されます。方法によっては、それぞれが完全な画像を構成する数百の測定を行って、計算された単一の画像データ セットを生成します。DTI ボクセルは情報量が多いため、脳内の微妙な病理に対して非常に敏感です。さらに、方向情報は、脳内の神経経路を選択して追跡するために、より高レベルの構造で利用できます。このプロセスはトラクトグラフィーと呼ばれます。^[29]

画像取得プロセスをより正確に説明すると、各位置の画像強度は、いわゆる磁気拡散勾配の強度 ( b値) と方向、および水分子が拡散する局所的な微細構造に応じて減衰します。特定の位置で画像が減衰するほど、拡散勾配の方向への拡散が大きくなります。組織の完全な拡散プロファイルを測定するには、MR スキャンを繰り返し、スキャンごとに拡散勾配の方向 (および場合によっては強度) を変える必要があります。

拡散 MRI は、テンソルと呼ばれる幾何学的量の数学的および物理的な解釈に依存しています。一般的な数学的概念の特殊なケースのみがイメージングに関連し、対称行列の概念に基づいています。^{[注 1]} 拡散自体はテンソルですが、多くの場合、目的は脳の拡散自体を研究することではなく、むしろ軸索の方向と異方性の大きさまたは程度を見つけるために白質の拡散異方性を利用することです。テンソルは、物質または組織内に実際に物理的に存在するため、それらを記述するために使用される座標系が回転しても動きません。テンソル (ランク 2) にはさまざまな表現方法が考えられますが、その中でも、この説明では、拡散との物理的な関連性と、MRI における拡散異方性イメージングの開発における歴史的重要性から、楕円体に焦点を当てます。

次の行列は拡散テンソルの成分を表示します。

${\displaystyle {\bar {D}}={\begin{vmatrix}D_{\color {red}xx}&D_{xy}&D_{xz}\\D_{xy}&D_{\color {red}yy}&D_{yz}\\D_{xz}&D_{yz}&D_{\color {red}zz}\end{vmatrix}}}$

同じ数値行列を同時に 2 つ目の方法で使用して楕円の形状と方向を記述することもできます。また、同じ数値行列を同時に 3 つ目の方法で使用して、以下で説明するように、行列数学で固有ベクトルと固有値を整理することもできます。

物理科学におけるテンソルの考え方は、物理的特性の量を記述する試みから発展しました。テンソルが最初に適用された特性は、温度など、単一の数値で記述できる特性でした。このように記述できる特性はスカラーと呼ばれ、階数 0 のテンソル、つまり 0 次テンソルと考えることができます。テンソルは、機械力など、方向性のある量を記述するためにも使用できます。これらの量は、大きさと方向の両方を指定する必要があり、多くの場合、ベクトルで表されます。3 次元ベクトルは、 x、 y、z軸への投影の 3 つの要素で記述できます。この種のベクトルは、階数 1 のテンソル、つまり 1 次テンソルと考えることができます。

テンソルは、多くの場合、2 つのベクトルの関係を決定する物理的または生物物理学的特性です。物体に力が加えられると、動きが生じます。動きが単一方向の場合、その変換はベクトル、つまりランク 1 のテンソルを使用して記述できます。ただし、組織内では、拡散により水分子が時間の経過とともに複数の方向に沿って進む軌跡に沿って移動し、直交軸への複雑な投影につながります。このパターンは、同じ条件と力が同じ方法で同じ組織に適用された場合に再現可能です。拡散を制限する組織の内部異方性組織がある場合、この事実は拡散のパターンに反映されます。水分子の拡散を生成する駆動力の特性と、結果として生じる組織内での水分子の動きのパターンとの関係は、テンソルで記述できます。この物理的性質の分子変位の集合は、9つの成分で記述することができ、各成分は一対の軸xx、yy、zz、xy、yx、xz、zx、yz、zyに関連付けられている。^[30]これらは、このセクションの冒頭にあるものと同様の行列として表すことができます。

白質の異方性媒体における点源からの拡散も同様に動作します。Stejskal Tanner 拡散勾配の最初のパルスは、一部の水分子を効果的にラベル付けし、2 番目のパルスは拡散によるそれらの変位を効果的に示します。適用される各勾配方向は、その勾配の方向に沿った動きを測定します。6 つ以上の勾配を合計して、マトリックスを埋めるのに必要なすべての測定値を取得します。これは、マトリックスが対角線 (赤い下付き文字) の上下で対称であると仮定した場合です。

1848年、アンリ・ユロー・ド・セナルモン^[31]は、ワックスでコーティングされた磨かれた結晶表面に加熱された点を当てました。「等方性」構造を持ついくつかの材料では、溶融物のリングが表面全体に円形に広がります。異方性結晶では、広がりは楕円形になります。3次元では、この広がりは楕円体です。 1850年代にアドルフ・フィックが示したように、拡散は熱伝達で見られるパターンと同じパターンを多く示します。

この時点で、楕円体の数学について考えると役に立ちます。楕円体は次の式で表すことができます。この式は二次曲面を表します。a 、b、cの相対値によって、二次曲面が楕円体を表すのか双曲面を表すのかが決まります。 ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=1}$

結局のところ、次のようにさらに 3 つの成分を追加できます。a、b、c、d、e、およびfの多くの組み合わせは 依然として楕円体を記述しますが、追加の成分 ( d、e、f ) は、直交座標系の直交軸に対する楕円体の回転を記述します。これらの 6 つの変数は、このセクションの冒頭で定義したテンソル行列に似た行列で表すことができます (拡散は対称であるため、必要な成分は 9 つではなく 6 つだけです。つまり、行列の対角要素の下の成分は、対角要素の上の成分と同じです)。これが、2 次テンソルの行列の成分を楕円体で表すことができると述べられている意味です。つまり、2 次楕円体の 6 つの項の拡散値を行列に配置すると、直交グリッドから角度が付いた楕円体が生成されます。相対的な異方性が高いほど、その形状は細長くなります。 ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dyz+ezx+fxy=1}$

楕円体/テンソルが行列で表される場合、標準的な行列数学と線形代数の便利な手法、つまり行列を「対角化」することができます。これは、イメージングにおいて 2 つの重要な意味を持ちます。その考え方は、同じ形だがサイズと向きが異なる 2 つの等価な楕円体があるというものです。1 つ目は、軸索によって決まる角度で置かれた測定された拡散楕円体で、2 つ目は 3 つの直交軸と完全に揃っています。「対角化」という用語は、左上から右下への対角線に沿った行列の 3 つの成分 (このセクションの冒頭の行列で赤い下付き文字が付いている成分) を指します。変数、、 は対角線 (赤い下付き文字) に沿っていますが、変数d、e、fは「対角線外」です。次に、行列を書き換えて、単位長さ (長さ = 1.0) の 3 つの異なるベクトルを乗じた新しい行列に置き換えるベクトル処理ステップを実行できるようになります。行列は対角化されており、非対角成分はすべてゼロになっています。この等価位置に到達するために必要な回転角度は、3 つのベクトルに表示され、それぞれのx、y、z成分として読み取ることができます。これらの 3 つのベクトルは、「固有ベクトル」または特性ベクトルと呼ばれます。これらには、元の楕円体の方向情報が含まれています。楕円体の 3 つの軸は、座標系の主直交軸と直接一致するため、長さを簡単に推測できます。これらの長さが固有値または特性値です。 ${\displaystyle ax^{2}}$${\displaystyle by^{2}}$${\displaystyle cz^{2}}$

行列の対角化は、その行列と乗算できる 2 番目の行列を見つけ、次にその 2 番目の行列の逆行列を乗算することによって行われます。その結果、3 つの対角 ( xx、yy、zz ) 成分に数値が含まれ、非対角成分 ( xy、yz、zx ) が 0 である新しい行列が生成されます。2 番目の行列は、固有ベクトル情報を提供します。

今日の臨床神経学では、異方性と拡散性の特定の測定値を調べることで、さまざまな脳の病状を最もよく検出できる可能性があります。拡散という根本的な物理的プロセスにより、一群の水分子が中心点から移動し、媒体が異方性である場合は楕円体の表面（等方性媒体の場合は球面）に徐々に到達します。楕円体形式は、テンソルデータを整理する数学的手法としても機能します。楕円体テンソルの測定により、組織の各ボクセルにおける拡散プロセスに関する情報を集めるための遡及分析が可能になります。^[32]

脳脊髄液などの等方性媒体では、水分子は拡散により移動しており、すべての方向に等速度で移動します。拡散勾配の詳細な効果を知ることで、MRI ボクセルの信号減衰を拡散の数値的尺度、つまり拡散係数 Dに変換できる式を作成できます。細胞膜や微小管などのさまざまな障壁や制限要因が自由拡散を妨げる場合、測定ではすべての局所的効果が考慮されず、減衰がすべての移動速度がブラウン運動のみによるものであるかのように扱われるため、「見かけの拡散係数」、つまりADC を測定していることになります。異方性組織における ADC は、測定方向によって異なります。拡散は軸索の長さに沿って（軸索に平行に）速く、軸索に垂直に交差する方向では遅くなります。

ボクセルを6方向以上から測定し、T2およびT1効果による減衰を補正したら、計算した楕円体テンソルの情報を使用して、ボクセルで何が起こっているかを説明できます。直交座標グリッドに斜めに置かれた楕円体を考えると、その楕円の3つの軸への投影を検討できます。3つの投影から、3つの軸のそれぞれに沿ったADC、ADC _x、ADC _y、ADC _zが得られます。これにより、ボクセルの平均拡散率を説明するというアイデアが生まれ、これは単純に次のようになります。

${\displaystyle (ADC_{x}+ADC_{y}+ADC_{z})/3=ADC_{i}}$

下付き文字iは、異方性の影響を平均化した等方性拡散係数であることを示します。

楕円体自体には主長軸があり、さらに幅と深さを表す 2 つの小軸があります。これら 3 つの軸はすべて互いに垂直で、楕円体の中心点で交差します。この設定の軸を固有ベクトルと呼び、その長さの尺度を固有値と呼びます。長さはギリシャ文字λで表されます。軸索方向を指す長い軸はλ ₁になり、2 つの小軸の長さはλ ₂ とλ ₃になります。DTI テンソル楕円体の設定では、これらをそれぞれ、楕円体の 3 つの主軸に沿った拡散率の尺度と見なすことができます。これは ADC とは少し異なり、ADC は軸への投影でしたが、λ は計算した楕円体の実際の測定値です。

主軸に沿った拡散率λ _{1 は}、縦方向拡散率、軸方向拡散率、あるいは平行拡散率λ _‖とも呼ばれる。歴史的には、これは1991年にリチャーズがベクトル長で最初に測定した値に最も近い。^{[33] 2つの副軸の拡散率は、}放射状拡散率の尺度を生成するために平均化されることが多い。

${\displaystyle \lambda _{\perp }=(\lambda _{2}+\lambda _{3})/2.}$

この量は膜やその他の影響による制限の程度を評価するものであり、いくつかの神経疾患における変性病理の敏感な指標であることが証明されています。^[34]これは垂直拡散率（ ） とも呼ばれます。${\displaystyle \lambda _{\perp }}$

総拡散率を要約するもう一つの一般的な指標はトレースである。これは3つの固有値の合計である。

${\displaystyle \mathrm {tr} (\Lambda )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}$

ここで、 は、その対角要素に固有値、、を持つ対角行列です。 ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda _{3}}$

この合計を3で割ると平均拡散率が得られます。

${\displaystyle \mathrm {MD} =(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})/3}$

これはADC _iに等しい。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tr} (\Lambda )/3&=\mathrm {tr} (V^{-1}V\Lambda )/3\\&=\mathrm {tr} (V\Lambda V^{-1})/3\\&=\mathrm {tr} (D)/3\\&=ADC_{i}\end{aligned}}}$

ここで、は固有ベクトルの行列、は拡散テンソルです。拡散の量を説明すること以外に、ボクセル内の相対的な異方性の度合いを説明することも重要です。一方の極端な例は等方性拡散の球体で、もう一方の極端な例は葉巻や鉛筆のような形の非常に薄い長楕円体です。最も単純な尺度は、楕円体の最長軸を最短軸で割ることによって得られます = ( λ ₁ / λ ₃ )。ただし、これは測定ノイズの影響を非常に受けやすいことが判明したため、ノイズを最小限に抑えながら測定値を取得するために、ますます複雑な尺度が開発されました。これらの計算の重要な要素は、拡散率の差の二乗の合計 = ( λ ₁  −  λ ₂ ) ²  + ( λ ₁  −  λ ₃ ) ²  + ( λ ₂  −  λ ₃ ) ²です。平方和の平方根を使用して、最大成分が支配的な一種の加重平均を取得します。目標の 1 つは、ボクセルが球形の場合は数値を 0 に近くし、細長い場合は数値を 1 に近くすることです。これにより、拡散率の差の平方和(SRSS) の平方根を拡散率の SRSS で割った値である分数異方性( FA)が得られます。2 番目と 3 番目の軸が主軸に対して小さい場合、分子の数値は分母の数値とほぼ等しくなります。また、FA の最大値が 1 になるように乗算します。FAの式全体は次のようになります。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \mathrm {FA} ={\frac {\sqrt {3((\lambda _{1}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}+(\lambda _{2}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}+(\lambda _{3}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2})}}{\sqrt {2(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})}}}}$

どこ${\textstyle \operatorname {E} [\lambda ]=(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})/3\,.}$

分数異方性は、拡散楕円体の「形状」に応じて、線形、平面、球状の尺度に分けることができます。^{[35] [36]}たとえば、「葉巻」型の長楕円体は強い線形異方性を示し、「空飛ぶ円盤」または扁平回転楕円体は平面内の拡散を表し、球体はすべての方向に等しい等方性拡散を示します。^[37]拡散ベクトルの固有値が となるように並べ替えられている場合、尺度は次のように計算できます。 ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}\geq 0}$

線形の場合、ここで、 ${\displaystyle \lambda _{1}\gg \lambda _{2}\simeq \lambda _{3}}$

${\displaystyle C_{l}={\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}$

平面の場合、ここで、 ${\displaystyle \lambda _{1}\simeq \lambda _{2}\gg \lambda _{3}}$

${\displaystyle C_{p}={\frac {2(\lambda _{2}-\lambda _{3})}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}$

球面の 場合、${\displaystyle \lambda _{1}\simeq \lambda _{2}\simeq \lambda _{3}}$

${\displaystyle C_{s}={\frac {3\lambda _{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}$

各測定値は 0 から 1 の間にあり、合計すると 1 になります。球形の場合からの偏差を表すために、 追加の異方性測定値を使用できます。

${\displaystyle C_{a}=C_{l}+C_{p}=1-C_{s}={\frac {\lambda _{1}+\lambda _{2}-2\lambda _{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}$

相対異方性(RA) など、異方性の測定基準は他にもあります。

${\displaystyle \mathrm {RA} ={\frac {\sqrt {(\lambda _{1}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}+(\lambda _{2}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}+(\lambda _{3}-\operatorname {E} [\lambda ])^{2}}}{{\sqrt {3}}\operatorname {E} [\lambda ]}}}$

体積比（VR）:

${\displaystyle \mathrm {VR} ={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}{\operatorname {E} [\lambda ]^{3}}}}$

従来のDWI（DTIなし）の最も一般的な用途は、急性脳虚血です。DWIは、脳梗塞における虚血性壊死を細胞傷害性浮腫の形で直接可視化し、^[38]動脈閉塞後数分以内に高DWI信号として現れます。^[39]灌流MRIでは梗塞した中心部と救済可能な周辺部の両方が検出され、後者はDWIと灌流MRIによって定量化できます。^[40]

• 
  脳梗塞における壊死（より明るく表示）を示す DWI
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  DWI では、ウェルニッケ脳症と一致する内側背側視床の拡散制限が示される
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  既知のMELAS症候群の患者における拡散制限と一致する皮質リボン状の高信号を示すDWI

DWI のもう一つの応用分野は腫瘍学です。腫瘍は多くの場合細胞性が高く、水の拡散が制限されているため、DWI では比較的高い信号強度で表示されます。^[41] DWI は、腫瘍の検出とステージ分類、および治療に対する腫瘍の反応を経時的に監視するためによく使用されます。DWI は、「背景身体信号抑制による拡散強調全身画像」(DWIBS) と呼ばれる技術を使用して全身を視覚化するために収集することもできます。^[42]拡散尖度画像 (DKI) などのより特殊な拡散 MRI 技術も、癌患者の化学療法に対する反応を予測できることが示されています。^[43]

主な用途は白質の画像化で、ここでは神経路の位置、方向、異方性を測定できます。平行束の軸索とそのミエリン鞘の構造により、水分子は主方向に沿って優先的に拡散します。このように優先的に方向付けられた拡散は異方性拡散と呼ばれます。

この特性の画像化は拡散MRIの拡張である。少なくとも3つの方向ベクトルを決定できる一連の拡散勾配（ MRI磁石の磁場変化）を適用すると（6つの異なる勾配の使用が最小で、追加の勾配は「非対角」情報の精度を向上させる）、各ボクセルについて、拡散の3次元形状を記述するテンソル（対称正定値3×3行列）を計算することが可能である。繊維方向はテンソルの主固有ベクトルによって示される。このベクトルは色分けすることができ、トラクトの位置と方向の地図を作成することができる（左右は赤、上下は青、前後は緑）。^[45]明るさは、特定のボクセルの異方性の度合いのスカラー尺度である分数異方性によって重み付けされる。平均拡散率（MD）またはトレースは、ボクセル内の総拡散のスカラー測定値です。これらの測定値は、他の臨床MRIでは現れない白質病変の位置を特定するために臨床的によく使用されます。^[46]

脳内での応用:

• 外傷などの白質病変の神経路特異的な局在化、およびびまん性外傷性脳損傷の重症度の判定。白質神経路（浸潤、偏向）に対する腫瘍の局在化は、最も重要な初期応用の 1 つです。一部の種類の脳腫瘍の手術計画では、皮質脊髄路と腫瘍の近接性と相対的な位置がわかっていると手術がしやすくなります。
• 拡散テンソル画像データは、白質内のトラクトグラフィーを実行するために使用できます。繊維追跡アルゴリズムを使用すると、繊維をその全長に沿って追跡できます (例:運動情報が運動皮質から脊髄および末梢神経に伝達される皮質脊髄路)。トラクトグラフィーは、加齢などによる白質の欠陥を測定するのに役立つツールです。繊維の方向と強度の推定はますます正確になり、認知神経科学および神経生物学の分野で幅広い潜在的な影響を及ぼします。
• 2005 年以来、白質の発達、病理、変性を評価するための DTI の使用は、2,500 件を超える研究発表の焦点となっています。これは、アルツハイマー病と他の種類の認知症を区別するのに非常に役立つことが期待されています。脳研究における応用には、生体内神経ネットワーク の調査やコネクトミクスが含まれます。

末梢神経への応用:

• 腕神経叢：DTIは正常な神経^[47]（ここでは脊髄と腕神経叢のトラクトグラムと3D 4k再構成で示されているように）と外傷により損傷した神経根を区別することができる。^[44]
• 肘部管症候群：DTI（FAとRD）から得られる指標は、無症状の成人と肘の尺骨神経の圧迫がある成人を区別することができる^[48]
• 手根管症候群：DTI（低FAおよびMD）から得られる指標は、健康な成人と手根管症候群の患者を区別する^[49]

DTIベースのトラクトグラフィーの開発初期に、多くの研究者が拡散テンソルモデルの欠陥を指摘しました。テンソル解析では、各イメージングボクセルに単一の楕円体があると想定しています。つまり、ボクセルを通過するすべての軸索がまったく同じ方向に移動しているかのように想定しています。^[50]これは多くの場合真実ですが、標準解像度の脳画像のボクセルの30％以上で、少なくとも2つの異なる神経経路が異なる方向に移動して互いに通過していると推定できます。古典的な拡散楕円体テンソルモデルでは、交差経路からの情報は、特定のボクセルでノイズまたは説明のつかない異方性の低下として表示されます。

デイヴィッド・トゥッチは、この問題の解決法を最初に説明した人の一人です。^{[51] [52]}このアイデアは、各画像ボクセルの周囲に一種の測地線ドームを概念的に配置すると最もよく理解されます。このイコサヘドロンにより、多数の等間隔の勾配軌道をボクセルに通過させる数学的基礎が得られます。各勾配軌道はイコサヘドロンの各頂点と一致します。次に、多数の異なる方向 (通常は 40 以上) からボクセルを調べることができます。元のイコサヘドロン (20 面) にさらに等間隔の頂点を追加するために、 「 n組」のテッセレーションを使用します。このアイデアは、数十年前に古地磁気研究でも先例がありました。 ^[53]どの方向線が最大の異方性拡散測定値になるかを知りたいのです。単一の領域がある場合、反対方向を指す 2 つの最大値のみになります。ボクセル内で2つのトラクトが交差する場合、2組の最大値が存在することになります。テンソル数学を使用して、最大値を使用して勾配のグループを選択し、同じボクセル内のいくつかの異なるテンソル楕円体にパッケージ化することも、より複雑な高ランクのテンソル解析を使用することもできます。 ^[54]または、最大値を選択する真の「モデルフリー」解析を実行してからトラクトグラフィーを継続することもできます。

トラクトグラフィーのQボール法は、デイビッド・トゥッチがテンソルモデルの数学的代替案を提示した実装である。^[50]拡散異方性データをテンソルのグループに押し込む代わりに、使用される数学は、確率分布と、ほぼ100年前に開発された古典的な幾何学的トモグラフィーとベクトル数学、つまりファンク・ラドン変換の両方を展開する。^[55]

なお、DW-MRIを前処理する最良の方法については議論が続いています。いくつかの生体内研究では、適用されるソフトウェアと機能の選択（動きや渦電流などから生じるアーティファクトの補正に向けられたもの）が、組織からのDTIパラメータ推定に重要な影響を与えることが示されています。^[56]そのため、これはISMRMの拡散研究グループが主導する多国籍研究のテーマとなっています。

DTI の場合、一般に、線形代数、行列数学、ベクトル数学を使用してテンソル データの解析を処理する ことが可能です。

場合によっては、テンソル特性の完全なセットが重要ですが、トラクトグラフィーでは通常、主軸またはベクトルの大きさと方向のみを知る必要があります。この主軸 (最も長い軸) は最大の固有値であり、その方向は対応する固有ベクトルにエンコードされます。トラクトグラフィーを実現するには、最大の固有値が主軸索の方向と揃っていると想定されるため、必要な軸は 1 つだけです。

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• PNRC: 拡散MRIについて
• 白質アトラス