波動関数

量子物理学において、波動関数（または波動関数）は、孤立した量子系の量子状態の数学的記述である。波動関数を表す最も一般的な記号は、ギリシャ文字のψとΨ（それぞれ小文字と大文字のpsi）である。波動関数は複素数値である。たとえば、波動関数は空間領域内の各点に複素数を割り当てることがある。ボルンの規則^{[1] [2] [3]は、これらの複素}確率振幅を実際の確率に変換する手段を提供する。一般的な形式の 1 つでは、位置に依存する波動関数の二乗係数は、粒子が特定の場所にあると測定される確率密度であるとされている。波動関数の二乗係数をシステムのすべての自由度にわたって積分すると 1 に等しくならなければならず、この条件を正規化と呼ぶ。波動関数は複素数値であるため、測定できるのは相対位相と相対大きさのみであり、その値は、単独では、測定可能な観測量の大きさや方向について何も教えてくれない。測定の可能な結果の集合に対応する固有値を持つ量子演算子を波動関数ψに適用し、測定可能な量の統計分布を計算する 必要があります。

波動関数は、位置以外の変数、例えば運動量の関数になることもあります。位置に依存する波動関数によって表される情報は、フーリエ変換によって、運動量に依存する波動関数に変換でき、その逆も可能です。電子や光子などの一部の粒子は、非ゼロのスピンを持ち、そのような粒子の波動関数には、固有の離散自由度としてスピンが含まれます。アイソスピンなどの他の離散変数も含めることができます。システムが内部自由度を持つ場合、連続自由度内の各点 (たとえば、空間内の点) における波動関数は、離散自由度の可能な値 (たとえば、スピンの z 成分)ごとに複素数を割り当てます。これらの値は、多くの場合、列行列(たとえば、スピン1 ⁄ 2の非相対論的電子の2 × 1列ベクトル)に表示されます。

量子力学の重ね合わせ原理によれば、波動関数を足し合わせて複素数を掛け合わせると、新しい波動関数が形成され、ヒルベルト空間が形成される。2つの波動関数の内積は、対応する物理状態間の重なりの尺度であり、量子力学の基礎的な確率的解釈であるボルンの規則で使用され、遷移確率を内積に関連付ける。シュレーディンガー方程式は、波動関数が時間の経過とともにどのように進化するかを決定し、シュレーディンガー方程式は数学的には波動方程式の一種であるため、波動関数は水波や弦の波などの他の波のように定性的に動作する。これが「波動関数」という名前を説明し、波と粒子の二重性を生み出す。しかし、量子力学における波動関数は、2023年現在でもさまざまな解釈が可能な一種の物理現象を記述しており、これは古典的な機械的波とは根本的に異なる。^{[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]}

1900年にマックス・プランクは光子の振動数とそのエネルギーの間に比例関係があると仮定し^{[11] [12]} 、1916年には対応する光子の運動量と波長の間に関係があると仮定しました[ ^13] 。 ここで はプランク定数です。1923年にド・ブロイは、現在ド・ブロイの関係と呼ばれる関係が質量のある粒子に対して成り立つことを初めて示唆しました。その主な手がかりはローレンツ不変性であり、^{[14]これは現代の量子力学の発展の出発点と見なすことができます。これらの方程式は、質量のない粒子と質量のある粒子の両方について、}波動と粒子の二重性を表しています。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E=hf}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

1920年代から1930年代にかけて、量子力学は微積分と線型代数を用いて発展した。微積分の技術を用いた者にはルイ・ド・ブロイ、エルヴィン・シュレーディンガーなどがおり、「波動力学」を開発した。線型代数の手法を応用した者にはヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルンなどがおり、「行列力学」を開発した。シュレーディンガーはその後、2つのアプローチが同等であることを示した。^[15]

1926年、シュレーディンガーは、現在彼の名にちなんで名付けられている有名な波動方程式、シュレーディンガー方程式を発表しました。この方程式は、量子演算子とド・ブロイの関係を使用した古典的な エネルギー保存に基づいており、方程式の解は量子系の波動関数です。^[16]しかし、誰もそれをどのように解釈するかを明確にしていませんでした。^[17]最初、シュレーディンガーと他の人たちは、波動関数は、ほとんどの粒子が波動関数が大きい場所にある状態で広がっている粒子を表していると考えていました。^[18]これは、波束（粒子を表す）がターゲットから弾性散乱することとは互換性がないことが示されました。波束はすべての方向に広がります。^[1] 散乱された粒子はどの方向にも散乱する可能性がありますが、分解してすべての方向に飛び散るわけではありません。 1926年、ボルンは確率振幅の観点を提供しました。^{[1] [2] [19]}これは、量子力学の計算を確率的な実験観測に直接関連付けます。これは量子力学のコペンハーゲン解釈の一部として受け入れられている。量子力学には他にも多くの解釈がある。1927年、ハートリーとフォックはN体波動関数を解く試みの第一歩を踏み出し、自己無撞着サイクル、つまり解を近似する反復アルゴリズムを開発した。現在ではハートリー・フォック法としても知られている。^[20]スレーター行列式とパーマネント（行列の）はジョン・C・スレーターによって提供された方法の一部である。

シュレーディンガーは非相対論的な波動関数の方程式を発表する前に、相対論的なエネルギー保存則を満たす波動関数の方程式に遭遇したが、負の確率と負のエネルギーを予測するため却下した。1927年にクライン、ゴードン、フォックもこの方程式を発見したが、電磁相互作用を組み込んでローレンツ不変であることを証明した。ド・ブロイも1928年に同じ方程式に到達した。この相対論的波動方程式は現在、クライン・ゴードン方程式として最もよく知られている。^[21]

1927年、パウリは、現在パウリ方程式と呼ばれている、電磁場内のスピン1/2粒子を記述する非相対論的方程式を現象論的に発見しました。^[22]パウリは、波動関数が空間と時間の単一の複素関数では記述されず、フェルミオンのスピン+1/2と-1/2の状態にそれぞれ対応する2つの複素数が必要であることを発見しました。その後まもなく、1928年にディラックは、電子に適用された特殊相対性理論と量子力学の最初の成功した統一から、現在ディラック方程式と呼ばれている方程式を発見しました。これにおいて、波動関数は4つの複素数値成分で表されるスピノル^{です。 [20]} 2つは電子用で、2つは電子の反粒子である陽電子用です。非相対論的極限では、ディラックの波動関数は電子のパウリの波動関数に似ています。後に、他の相対論的波動方程式が発見されました。

これらの波動方程式はすべて、永続的な重要性を持っています。シュレーディンガー方程式とパウリ方程式は、多くの場合、相対論的変種の優れた近似値です。実際の問題では、相対論的変種よりも、これらの方程式を解くのがかなり簡単です。

クライン・ゴルドン方程式とディラック方程式は相対論的ではあるが、量子力学と特殊相対論の完全な調和を表しているわけではない。これらの方程式がシュレーディンガー方程式と同じように研究される量子力学の分野は、しばしば相対論的量子力学と呼ばれ、非常に成功しているが、限界（ラムシフトなどを参照）と概念上の問題（ディラックの海などを参照）がある。

相対性理論によれば、システム内の粒子の数が一定でないことは避けられない。これを完全に調和させるには、量子場理論が必要である。^[23] この理論では、波動方程式と波動関数は、多少異なる形でその位置を占めている。主な関心対象は波動関数ではなく、ヒルベルト状態空間（次のセクションで説明）上の演算子、いわゆる場演算子（または「演算子」が理解されている場合は単に場）である。元の相対論的波動方程式とその解は、ヒルベルト空間を構築するのに依然として必要であることが判明している。さらに、自由場演算子、すなわち相互作用が存在しないと仮定した場合、多くの場合、場（波動関数）と同じ方程式を（形式的に）満たすことが判明している。

したがって、この形でのクライン–ゴルドン方程式（スピン0）とディラック方程式（スピン1 ⁄ 2）は理論に残ります。高次のスピンの類似物には、プロカ方程式（スピン1）、ラリタ–シュウィンガー方程式（スピン3 ⁄ 2）、およびより一般的にはバーグマン–ウィグナー方程式があります。質量のない自由場の場合、2つの例は、場の演算子に対する自由場マクスウェル方程式（スピン1）と自由場アインシュタイン方程式（スピン2）です。^[24] これらはすべて、本質的にローレンツ不変性の要件の直接的な結果です。それらの解は、規定された方法、つまりローレンツ群の特定の表現の下でローレンツ変換を受けて変換する必要があり、その他のいくつかの合理的な要求、たとえばクラスター分解特性^[25]と因果関係 への影響があれば、方程式を修正するのに十分です。

これは自由場方程式に当てはまります。相互作用は含まれません。ラグランジアン密度 (相互作用を含む) が利用できる場合、ラグランジアン形式は古典レベルでの運動方程式をもたらします。この方程式は非常に複雑で、解くのが難しい場合があります。どの解も固定数の粒子を参照し、これらの理論で言及されている「相互作用」という用語を考慮しません。「相互作用」には、通常の「第一量子化」量子理論のような外部ポテンシャルではなく、粒子の生成と消滅が含まれます。

弦理論でも状況は同様である。例えば、運動量空間における波動関数は、明確に定義されていない運動量を持つ粒子（弦）の一般的な状態におけるフーリエ展開係数の役割を果たす。^[26]

ここでは、1 つの空間次元でスピンを持たない非相対論的な単一粒子の単純なケースを考えます。より一般的なケースについては以下で説明します。

量子力学の公理によれば、固定された時刻における物理システムの状態は、可分な複素ヒルベルト空間に属する波動関数によって与えられる。^{[27] [28]}したがって、2つの波動関数Ψ ₁とΨ ₂の内積は、複素数（時刻t）として定義できる^{[nb 1]}${\displaystyle t}$

${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Psi _{1}^{*}(x,t)\Psi _{2}(x,t)\,dx<\infty }$。

詳細は後述します。しかし、波動関数Ψとそれ自身と の内積は、

${\displaystyle (\Psi ,\Psi )=\|\Psi \|^{2}}$、

は常に正の実数です。数‖ Ψ ‖ ( ‖ Ψ ‖ ²ではない)は波動関数Ψのノルムと呼ばれます。考慮されている可分ヒルベルト空間は無限次元です^{[nb 2]。}つまり、さまざまな組み合わせで加算してあらゆる可能な二乗可積分関数を作成できる二乗可積分関数の有限集合は存在しません。

このような粒子の状態は、その波動関数によって完全に記述されます。ここで、xは位置、tは時間です。これは、2 つの実変数xとtの複素数値関数です。 $${\displaystyle \Psi (x,t)\,,}$$

1 次元の 1 つのスピンのない粒子について、波動関数が確率振幅 （波動関数の平方係数）として解釈される場合、正の実数は、 特定の時間tにおける粒子の位置の測定の確率密度 として解釈されます。アスタリスクは複素共役 を示します。粒子の位置が で測定される場合、その位置は波動関数から決定することはできませんが、確率分布によって記述されます。 $${\displaystyle \left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x),}$$

位置xが区間a ≤ x ≤ b内にある確率は、この区間での密度の積分です。 ここで、t は粒子が測定された時間です。これにより、正規化条件が導かれます。 なぜなら、粒子が測定された場合、どこかに ある確率が 100% だからです。 $${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}dx}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}dx=1\,,}$$

与えられたシステムでは、すべての可能な正規化可能な波動関数の集合（任意の時点）は抽象的な数学的ベクトル空間を形成します。つまり、異なる波動関数を加算したり、波動関数に複素数を乗算したりすることが可能になります。技術的には、波動関数は通常のベクトル空間ではなく、 射影ヒルベルト空間内の光線を形成します。

特定の瞬間において、波動関数Ψ( x , t )のすべての値はベクトルの成分です。それらの数は無限に無数に存在するため、合計の代わりに積分が使用されます。Bra –ket 表記法では、このベクトルは 「量子状態ベクトル」または単に「量子状態」と表記されます。波動関数を抽象ベクトル空間の要素を表すものとして理解することには、いくつかの利点があります。 $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int \Psi (x,t)|x\rangle dx}$$

• 線形代数の強力なツールはすべて、波動関数を操作および理解するために使用できます。例:
  • 線型代数は、ベクトル空間に基底を与える方法と、ベクトル空間内の任意のベクトルをこの基底で表現できる方法を説明します。これは、位置空間の波動関数と運動量空間の波動関数の関係を説明し、他の可能性もあることを示唆しています。
  • ブラケット表記法は波動関数を操作するために使用できます。
• 量子状態が抽象的なベクトル空間内のベクトルであるという考えは、量子力学と量子場の理論のあらゆる側面において完全に一般的であるが、量子状態が空間の複素数値「波」関数であるという考えは、特定の状況においてのみ真実である。

時間パラメータはしばしば省略され、次のようになります。x座標は連続したインデックスです。| x ⟩は不適切ベクトルと呼ばれ、 1に正規化可能な適切なベクトルとは異なり、ディラックのデルタ関数にのみ正規化できます。^{[nb 3] [nb 4] [29]} したがって 、 N次元ヒルベルト空間における正規直交基底の完全性関係に類似した 恒等演算子 を明らかにします。 $${\displaystyle \langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)}$$$${\displaystyle \langle x'|\Psi \rangle =\int \Psi (x)\langle x'|x\rangle dx=\Psi (x')}$$$${\displaystyle |\Psi \rangle =\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\left(\int |x\rangle \langle x|dx\right)|\Psi \rangle }$$ $${\displaystyle I=\int |x\rangle \langle x|dx\,.}$$

基底で恒等演算子を見つけることで、抽象状態を基底で明示的に表現できるようになり、さらに、2 つの状態ベクトル間の内積や、観測可能なものに対するその他の演算子を基底で表現できるようになります。

粒子は運動量空間に波動関数も持ちます。 ここで、pは1 次元の運動量で、 -∞から+∞までの任意の値を取ることができ、tは時間です。 $${\displaystyle \Phi (p,t)}$$

位置の場合と同様に、2つの波動関数Φ ₁ ( p , t )とΦ ₂ ( p , t )の内積は次のように定義できます。 $${\displaystyle (\Phi _{1},\Phi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp\,.}$$

時間に依存しないシュレーディンガー方程式の特定の解の 1 つは平面波です 。平面波は運動量演算子の固有関数であるため、運動量が正確にpである粒子の記述に使用できます。これらの関数は 1 に正規化できない (2 乗積分できない) ため、実際には物理的なヒルベルト空間の要素ではありません。この集合は、 いわゆる運動量基底を形成します。この「基底」は、通常の数学的な意味での基底ではありません。まず、関数は正規化できないため、代わりにデルタ関数に正規化されます。^{[注 4]}$${\displaystyle \Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar },}$$$${\displaystyle \{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}}$$ $${\displaystyle (\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (p-p').}$$

また、それらは線形独立ではあるものの、物理的なヒルベルト空間の基底としては数が多すぎます（無数集合を形成します）。次に説明するように、フーリエ変換を使用して、それらを使用してヒルベルト空間内のすべての関数を表現することができます。

xとpの表現は $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}}$$

ここで、2つの方程式の最後の式を使って、 状態Ψを運動量の固有関数に投影します。$${\displaystyle \int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (p-p')dp'=\Phi (p).}$$

次に、自由シュレーディンガー方程式 の位置表現解における運動量の適切に正規化された固有状態に対する既知の表現を用いると、 次式が得られる。 $${\displaystyle \langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},}$$$${\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.}$$

同様に、位置の固有関数を使用すると、 $${\displaystyle \Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.}$$

位置空間波動関数と運動量空間波動関数は、互いにフーリエ変換であることがわかります。 ^[30]これらは同じ状態の2つの表現であり、同じ情報を含んでおり、どちらか一方だけで粒子のあらゆる特性を計算するのに十分です。

実際には、位置空間波動関数は運動量空間波動関数よりも頻繁に使用されます。関係する方程式（シュレーディンガー、ディラックなど）に入るポテンシャルによって、どの基底で記述するのが最も簡単かが決まります。調和振動子の場合、xとpは対称的に入るため、どの記述を使用するかは問題ではありません。同じ方程式（定数を法として）が結果として得られます。このことから、少し後から考えてみると、調和振動子の波動方程式の解は、L ²のフーリエ変換の固有関数であることがわかります。^{[nb 5]}

以下は、位置座標や運動量成分以外の自由度も含め、より高次元でより多くの粒子を含むシステムの波動関数の一般的な形式です。

ヒルベルト空間はもともと無限次元の完全 内積空間を指しますが、定義により有限次元の完全 内積空間も含みます。^{[31]物理学では、これらはしばしば}有限次元ヒルベルト空間 と呼ばれます。^[32]すべての有限次元ヒルベルト空間に対して、ヒルベルト空間全体 を張る正規直交基底ケットが存在します。

N次元集合が正規直交である場合、これらの状態によって張られる空間の射影演算子は次のように与えられます。 ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

$${\displaystyle P=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I}$$ここで、射影は恒等演算子と等価です。なぜなら、はヒルベルト空間全体に広がり、ヒルベルト空間からのベクトルは変更されないからです。これは有限次元ヒルベルト空間の完全性関係としても知られています。 ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

波動関数は次のように表されます。

$${\displaystyle |\psi \rangle =I|\psi \rangle =\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\psi \rangle }$$ここで、は上記の式を使用して波動関数を構築するために使用できる複素数の集合です。 ${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$

集合が固有値を持つ非退化観測量の固有ケットである場合、量子力学の公理により、観測量が であると測定される確率はボルンの規則に従って次のように与えられる: ^[33]${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\textstyle \lambda _{i}}$${\textstyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle P_{\psi }(\lambda _{i})=|\langle \phi _{i}|\psi \rangle |^{2}}$$

ある観測量が非退化である場合、固有値がとラベル付けされた固有ベクトルのサブセットを持つと、量子力学の公理により、観測量が であると測定される確率は次のように与えられます。 ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$${\textstyle \lambda }$${\textstyle \{|\lambda ^{(j)}\rangle \}}$${\textstyle \lambda }$

$${\displaystyle P_{\psi }(\lambda )=\sum _{j}|\langle \lambda ^{(j)}|\psi \rangle |^{2}=|{\widehat {P}}_{\lambda }|\psi \rangle |^{2}}$$ここで、 はによって張られる部分空間への状態の射影演算子です。 の直交性により、等式が成り立ちます。 ${\textstyle {\widehat {P}}_{\lambda }=\sum _{j}|\lambda ^{(j)}\rangle \langle \lambda ^{(j)}|}$${\textstyle \{|\lambda ^{(j)}\rangle \}}$${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

したがって、量子力学システムの状態を指定するものは、その二乗がそれぞれの状態を測定する確率を与える大きさを持ちます。 ${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$

相対位相は実験で観測可能な効果を持ちますが、システムのグローバル位相は実験的に区別できません。たとえば、2 つの状態が重ね合わされた粒子では、観測可能な値の期待値や異なる状態を観測する確率を求めることで粒子のグローバル位相を区別することはできませんが、相対位相は観測可能な値の期待値に影響を与える可能性があります。

システム全体の位相は任意であると考えられますが、重ね合わせにおける準備状態の各状態の相対位相は、準備状態の物理的意味とその対称性に基づいて決定できます。たとえば、x 方向に沿ったスピン状態を z 方向に沿ったスピン状態の重ね合わせとして構築するには、z 方向に沿ったスピン状態に適切な回転変換を適用して、互いの相対的な状態の適切な位相を提供します。 ${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$

有限次元ヒルベルト空間の例は、次元ヒルベルト空間を形成する - スピン粒子のスピン固有値を使用して構築できます。ただし、粒子の状態を完全に記述する粒子の一般的な波動関数は、粒子の位置または運動量に関連するヒルベルト空間とのテンソル積を含むため、常に無限次元ヒルベルト空間からのものです。それでも、有限次元ヒルベルト空間用に開発された手法は、独立して扱うことも、テンソル積の線形性を考慮して扱うこともできるため便利です。 ${\textstyle s}$${\textstyle 2s+1}$

与えられた - スピン粒子のスピン演算子は、独立したスピンベクトル成分に作用する有限行列として表すことができるため、通常は、必要に応じて行列/列/行表記を使用してスピン成分を表すことが望ましいです。 ${\textstyle s}$${\textstyle (2s+1)^{2}}$ ${\textstyle 2s+1}$

たとえば、各| s _z ⟩は通常、列ベクトルとして識別されます。$${\displaystyle |s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |s-1\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\ldots \,,\quad |-(s-1)\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |-s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

しかし、ケット| s _z ⟩ は列ベクトルと同義でも等しくもないため、これは表記法の一般的な乱用です。列ベクトルは、単にスピン成分を表現する便利な方法を提供しているだけです。

この表記法に対応して、Z 成分スピン演算子は次のように記述できます。$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}{\hat {S}}_{z}={\begin{bmatrix}s&0&\cdots &0&0\\0&s-1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-(s-1)&0\\0&0&\cdots &0&-s\end{bmatrix}}}$$

z成分スピン演算子の固有ベクトルは上記の列ベクトルであり、固有値は対応するスピン量子数であるため です。

表記法に対応して、そのような有限次元ヒルベルト空間からのベクトルは次のように表されます。

$${\displaystyle |\phi \rangle ={\begin{bmatrix}\langle s|\phi \rangle \\\langle s-1|\phi \rangle \\\vdots \\\langle -(s-1)|\phi \rangle \\\langle -s|\phi \rangle \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{s}\\\varepsilon _{s-1}\\\vdots \\\varepsilon _{-s+1}\\\varepsilon _{-s}\\\end{bmatrix}}}$$ここで、 は対応する複素数です。 ${\textstyle \{\varepsilon _{i}\}}$

スピンに関する以下の議論では、完全な波動関数は有限次元ヒルベルト空間のスピン状態と以前に開発された波動関数のテンソル積として考えられます。したがって、このヒルベルト空間の基礎は次のように考えられます。 ${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle |s_{z}\rangle }$

3次元空間におけるスピンのない単一粒子の位置空間波動関数は、上記の1次元空間の場合と同様である。ここで、rは3次元空間の位置ベクトル、 tは時間である。いつものように、Ψ( r ,  t )は実変数の複素数値関数である。ディラック記法の単一ベクトルとして$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle }$$

内積、運動量空間波動関数、フーリエ変換などに関するこれまでの説明はすべて、高次元にまで拡張されます。

スピンを持つ粒子の場合、位置の自由度を無視すると、波動関数はスピンのみの関数になります (時間はパラメータです)。 ここで、s _zはz軸に沿ったスピン投影量子数です。 ( z軸は任意の選択です。波動関数が適切に変換されていれば、他の軸を使用することもできます。以下を参照してください。) s _zパラメータは、rやtとは異なり、離散変数です。たとえば、スピン 1/2粒子の場合、s _zは+1/2または−1/2のみで、他の値は取れません。 (一般に、スピンsの場合、s _{z は}s、s − 1、...、 − s + 1、 − sのいずれかです。) 各量子数を挿入すると、空間と時間の複素数値関数が得られ、その数は2 s + 1です。これらは列ベクトルに配置できます。$${\displaystyle \xi (s_{z},t)}$$

$${\displaystyle \xi ={\begin{bmatrix}\xi (s,t)\\\xi (s-1,t)\\\vdots \\\xi (-(s-1),t)\\\xi (-s,t)\\\end{bmatrix}}=\xi (s,t){\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (s-1,t){\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\cdots +\xi (-(s-1),t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (-s,t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

ブラケット表記では、これらはベクトルの要素に簡単に配置できます。 $${\displaystyle |\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}=-s}^{s}\xi (s_{z},t)\,|s_{z}\rangle }$$

ベクトルξ全体は、シュレーディンガー方程式 (適切なハミルトニアンを使用) の解であり、解ξ ( s、t )、ξ ( s − 1、t )、 ...、ξ (− s、t )を持つ2 s + 1常微分方程式の結合系に展開されます。一部の著者は、「波動関数」ではなく「スピン関数」という用語を使用しています。これは、位置座標が連続的な自由度である位置空間波動関数の解と対照的です。その場合、シュレーディンガー方程式は波動方程式の形をとるためです。

より一般的には、任意のスピンを持つ 3D の粒子の場合、波動関数は「位置 - スピン空間」で次のように記述できます。 これらは、 スピン依存性がエントリのインデックスに配置される列ベクトルに配置することもでき、波動関数は空間と時間のみの複雑なベクトル値関数です。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)}$$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\Psi (\mathbf {r} ,s,t)\\\Psi (\mathbf {r} ,s-1,t)\\\vdots \\\Psi (\mathbf {r} ,-(s-1),t)\\\Psi (\mathbf {r} ,-s,t)\\\end{bmatrix}}}$$

離散変数だけでなく連続変数の波動関数のすべての値は、単一のベクトルに集まります。 $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\,|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle }$$

単一粒子の場合、その位置状態ベクトル| ψ ⟩とスピン状態ベクトル| ξ ⟩のテンソル積 ⊗は 、次の同定を持つ 合成位置スピン状態ベクトルを与える 。$${\displaystyle |\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)\,|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle }$$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)=\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)}$$ $${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$

エネルギー固有状態のテンソル積因数分解は、粒子の軌道角運動量とスピン角運動量がシステムのダイナミクスの基礎となるハミルトニアン演算子で分離可能であれば常に可能です（言い換えると、ハミルトニアンは軌道項とスピン項の和に分割できます^[34]）。時間依存性はどちらの因子にも配置でき、それぞれの時間発展は別々に研究できます。このようなハミルトニアンでは、任意のテンソル積状態が別のテンソル積状態に発展します。これは基本的に、エンタングルされていない状態は時間発展の下でもエンタングルされていないままであることを意味します。これは、テンソル積の状態間に物理的な相互作用がない場合に発生すると言われています。分離不可能なハミルトニアンの場合、エネルギー固有状態はそのような状態の何らかの線形結合であると言われ、因数分解可能である必要はありません。例としては、磁場内の粒子やスピン軌道結合などがあります。

これまでの議論はスピンを離散変数として扱うことに限定されず、全角運動量 Jも使用できる。^[35]アイソスピンのような他の離散自由度も、上記のスピンの場合と同様に表現できる。

粒子が多数ある場合、一般に波動関数は 1 つしか存在せず、粒子ごとに別々の波動関数が存在するわけではありません。1つの波動関数が多数の粒子を表すという事実が、量子もつれとEPRパラドックスを可能にしているのです。N 個の粒子の位置空間波動関数は次のように表されます。^[20] ここで、r _iは3 次元空間におけるi番目の粒子の位置、 tは時間です。全体として、これは3 N + 1 個の実変数 の複素数値関数です。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)}$$

量子力学では、同一粒子と区別可能な粒子の間には基本的な違いがある。例えば、任意の 2 つの電子は同一であり、基本的に互いに区別がつかない。物理法則により、特定の電子に「識別番号を刻印」して追跡することは不可能である。^[30]これは、同一粒子のシステムの波動関数の要件に変換される。 ここで、粒子がすべてボソンである場合は+符号が発生し、すべてがフェルミオンである場合は-符号が発生する。言い換えると、波動関数は、ボソンの位置で完全に対称であるか、フェルミオンの位置で完全に反対称であるかのいずれかである。^[36]粒子の物理的な交換は、波動関数の引数を数学的に切り替えることに対応する。フェルミオン波動関数の反対称性の特徴は、パウリの原理につながる。一般に、ボソンおよびフェルミオンの対称性の要件は、粒子統計の現れであり、他の量子状態形式論にも存在する。 $${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)}$$

N 個 の区別可能な粒子（2 つが同一ではない、つまり 2 つが同じ量子数セットを持たない） の場合、波動関数が対称または反対称である必要はありません。

座標r ₁、r ₂、...で同一である粒子と、x ₁、x ₂、...で区別できる粒子の集合（互いに同一ではなく、前述の同一粒子とも同一ではない）の場合、波動関数は同一粒子座標r _iでのみ対称または反対称になります。 $${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)}$$

繰り返しますが、識別可能な粒子座標x _iには対称性の要件はありません。

スピンを持つN個の粒子の波動関数は複素数値関数である。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)}$$

これらすべての要素を1つのベクトルにまとめると、

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\overbrace {\sum _{s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}}} ^{\text{discrete labels}}\overbrace {\int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\cdots \int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}} ^{\text{continuous labels}}\;\underbrace {{\Psi }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N})} _{\begin{array}{c}{\text{wave function (component of }}\\{\text{ state vector along basis state)}}\end{array}}\;\underbrace {|\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}\rangle } _{\text{basis state (basis ket)}}\,.}$$

同一の粒子の場合、対称性の要件は波動関数の位置とスピン引数の両方に適用され、全体的に正しい対称性を持ちます。

内積の式は、すべての座標または運動量にわたる積分と、すべてのスピン量子数にわたる和です。3次元スピンを持つ N個の粒子の一般的なケースでは、 これは合計でN 個の3 次元体積積分とスピンにわたるN個の和です。微分体積要素d ³ r _{i は}、「 dV _i」または「dx _i dy _i dz _i 」とも表記されます。 $${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{N}\Psi _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\Psi _{2}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)}$$

位置または位置-スピン空間波動関数の多次元フーリエ変換により、運動量または運動量-スピン空間波動関数が生成されます。

3次元スピンを持つN個の粒子の一般的なケースでは、 Ψを確率振幅として解釈すると、確率密度は $${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)=\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\right|^{2}}$$

そして、時刻tにおける粒子 1 がスピンs _{z 1} = m _1で領域R ₁にあり、粒子 2 がスピンs _{z 2} = m _2で領域R ₂にあるなどの確率は、これらの領域にわたる確率密度の積分であり、これらのスピン数で評価されます。

${\displaystyle P_{\mathbf {r} _{1}\in R_{1},s_{z\,1}=m_{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}\in R_{N},s_{z\,N}=m_{N}}(t)=\int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}\int _{R_{2}}d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},m_{1}\cdots m_{N},t\right)\right|^{2}}$

非相対論的量子力学では、シュレーディンガーの時間依存波動方程式を使用して次の式が示されます。

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$$が満たされ、ここで は確率密度であり、 は上記の式の連続方程式形式に従って 確率フラックスとして知られています。${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\hbar }{2im}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}{\text{Im}}(\psi ^{*}\nabla \psi )}$

波動関数に次の式を使用します。ここで は確率密度、 は波動関数の位相であり、次のことが示されます。 $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}\exp {\frac {iS(\mathbf {x} ,t)}{\hbar }}}$$${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$${\textstyle S(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\rho \nabla S}{m}}}$$

したがって、位相の空間的変化は確率フラックスを特徴づけます。

古典的な類推では、 の場合、量は速度に類似しています。ただし、不確定性原理に従って速度と位置を同時に決定することはできないため、 を速度として文字通り解釈するわけではないことに注意してください。 シュレーディンガーの時間依存波動方程式に波動関数の形を代入し、古典的な極限を取ると、次のようになります。 ${\textstyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$${\textstyle \hbar |\nabla ^{2}S|\ll |\nabla S|^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}|\nabla S(\mathbf {x} ,t)|^{2}+V(\mathbf {x} )+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$$

これは古典力学のハミルトン・ヤコビ方程式に類似している。この解釈はハミルトン・ヤコビ理論に適合しており、ここでSはハミルトンの主関数である。^[37]${\textstyle \mathbf {P} _{\text{class.}}=\nabla S}$

時間に依存しないポテンシャル内のシステムの場合、波動関数は常に自由度に時間に依存する位相因子を乗じた関数として表すことができ、その形式はシュレーディンガー方程式で与えられます。N個の粒子の場合、それらの位置のみを考慮し、他の自由度は考慮しません。 ここで、E は固有状態Ψに対応するシステムのエネルギー固有値です。この形式の波動関数は定常状態と呼ばれます。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\,\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,,}$$

量子状態と演算子の時間依存性は、演算子と状態に対するユニタリ変換に従って配置できます。任意の量子状態|Ψ⟩と演算子Oに対して、シュレーディンガー描像では、|Ψ( t )⟩ はシュレーディンガー方程式に従って時間とともに変化しますが、Oは一定です。ハイゼンベルク描像ではその逆で、|Ψ⟩は一定ですが、O ( t )はハイゼンベルクの運動方程式に従って時間とともに変化します。ディラック（または相互作用）描像は中間的で、時間依存性は運動方程式に従って変化する演算子と状態の両方に配置されます。これは主にS 行列要素を計算するのに役立ちます。^[38]

以下は、1 つの非相対論的スピンレス粒子に対するシュレーディンガー方程式の解です。

波動力学の最も顕著な特徴の 1 つは、粒子が（古典力学では）禁止的な力のポテンシャルを持つ場所に到達する可能性があることです。一般的なモデルは「ポテンシャル障壁」であり、1 次元の場合はポテンシャルがあり 、波動方程式の定常解は（いくつかの定数k、κに対して） の形になります。$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}}$$$${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{cases}}}$$

これらの波動関数は正規化されていないことに注意してください。詳細については散乱理論を参照してください。

これの標準的な解釈は、粒子の流れが左（負のx方向）からステップに発射されるというものです。A r = 1 に設定すると、粒子が単独で発射されます。A rとC _rを含む項は右への動きを意味し、_A l_とC l _–は左への動きを意味します。このビーム解釈では、右から粒子が来ないので、 C _l = 0とします。境界での波動関数とその導関数の連続性を適用することで、上記の定数を決定することができます。

半径が励起子ボーア半径よりも小さい半導体微結晶では、励起子が圧縮され、量子閉じ込めが起こります。エネルギーレベルは、箱の中の粒子モデルを使用してモデル化することができ、異なる状態のエネルギーは箱の長さに依存します。

量子調和振動子の波動関数は、エルミート多項式 H _nで表すことができます。 ここで、n = 0, 1, 2, ...です 。 $${\displaystyle \Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}}$$

水素原子内の電子の波動関数は、球面調和関数と一般化ラゲール多項式で表現されます(これらは著者によって定義が異なります。これらと水素原子に関するメイン記事を参照してください)。

球面座標を使うと便利で、波動関数は各座標の関数に分離することができる。^[39] ここでRはラジアル関数、Yは$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )}$$^メートル
_リットル( θ , φ ) は次数ℓ、次数mの球面調和関数である。これはシュレーディンガー方程式が正確に解かれた唯一の原子である。多電子原子では近似法が必要である。解の族は^[40]である。 ここでa ₀ = 4 πε ₀ ħ ² / m _e e ²はボーア半径、 L $${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$$^{2 ℓ + 1}
_{n − ℓ − 1}は、n − ℓ − 1次の一般化ラゲール多項式です。n = 1, 2, ...は主量子数、ℓ = 0, 1, ..., n − 1 は方位量子数、m = − ℓ , − ℓ + 1, ..., ℓ − 1, ℓは磁気量子数です。水素のような原子には非常によく似た解があります。

この解法では電子のスピンは考慮されません。

水素軌道の図では、19 個のサブイメージは位置空間における波動関数のイメージです (ノルムの 2 乗)。波動関数は、各イメージの右下にある 3 つの量子数( n、ℓ、m )によって特徴付けられる抽象状態を表します。これらは、主量子数、軌道角運動量量子数、および磁気量子数です。電子の 1 つのスピン投影量子数と合わせて、これは観測可能な完全なセットです。

この図は、波動関数の関数空間のさらなる特性を説明するのに役立ちます。

• この場合、波動関数は二乗積分可能です。最初に関数空間を二乗積分可能な関数の空間としてとらえることができ、通常はL ²と表記されます。
• 表示される関数はシュレーディンガー方程式の解です。明らかに、L ²のすべての関数が水素原子のシュレーディンガー方程式を満たすわけではありません。したがって、関数空間はL ²のサブスペースです。
• 表示された関数は、関数空間の基底の一部を形成します。各 3 つの要素( n、ℓ、m )には、基底波動関数が対応します。スピンを考慮すると、各 3 つの要素に対して 2 つの基底関数が存在します。したがって、関数空間には可算な基底があります。
• 基底関数は相互に正規直交である。

関数空間の概念は、波動関数についての議論に自然に登場します。関数空間は関数の集合であり、通常は関数に対するいくつかの定義要件（この場合は関数が平方積分可能であること）を持ち、時には集合上の代数構造（この場合は内積を持つベクトル空間構造）と集合上の位相を持ちます。後者はここではまばらに使用されますが、関数空間のサブセットが閉じていることが何を意味するのかを正確に定義するためにのみ必要です。以下では、波動関数の関数空間はヒルベルト空間であると結論付けます。この観察は、量子力学の支配的な数学的定式化の基礎となっています。

波動関数は、以下の具体的および抽象的な記述によって部分的に特徴付けられる関数空間の要素です。

• シュレーディンガー方程式は線形です。つまり、その解である波動関数を加算したりスカラーで乗算したりして、新しい解を形成できます。シュレーディンガー方程式の解の集合はベクトル空間です。
• 量子力学の重ね合わせの原理。ΨとΦが量子力学システムの抽象状態空間の 2 つの状態であり、 aとb が任意の 2 つの複素数である場合、a Ψ + b Φも有効な状態です。(ヌル ベクトルが有効な状態 ("システムが存在しない") としてカウントされるかどうかは定義の問題です。いずれにしても、ヌル ベクトルは量子場理論における真空状態を記述しません。) 許容される状態の集合はベクトル空間です。

この類似性は、もちろん偶然ではありません。 留意すべき空間間の違いもあります。

基本状態は、量子数の集合によって特徴付けられます。これは、可換な観測量の最大集合の固有値の集合です。物理的観測量は、ベクトル空間上の線形演算子（観測量とも呼ばれます）によって表されます。最大性とは、既存の観測量と可換な代数的に独立した観測量をこれ以上集合に追加できないことを意味します。このような集合の選択は、表現の選択と呼ばれることがあります。

• 位置、運動量、スピンなどの物理的に観測可能なシステムは、状態空間上の線形エルミート演算子によって表されるというのが量子力学の仮定である。この量の測定から得られる結果は、演算子の固有値である。 ^{[18]より深いレベルでは、観測可能なほとんどのもの、おそらくすべてのものは、}対称性の生成元として生じる。^{[18] [41] [注 6]}
• 物理的な解釈は、そのような集合は、理論上は任意の精度で同時に測定できるものを表すというものです。ハイゼンベルクの不確定性関係により、2 つの非可換な観測量を同時に正確に測定することは禁じられています。
• この集合は一意ではありません。例えば、1粒子系の場合、位置とスピンのz射影( x , S _z )であったり、運動量とスピンのy射影( p , S _y )であったりします。この場合、位置に対応する演算子 (位置表現における乗算演算子) と運動量に対応する演算子 (位置表現における微分演算子) は交換可能ではありません。
• 表現方法を選択した後も、任意性は残る。座標系の選択が残る。これは、たとえば、x軸、y軸、z軸の選択、または水素原子の波動関数に使用される球面座標に代表される曲線座標の選択に対応する。この最終的な選択は、抽象ヒルベルト空間の基底も固定する。基本状態は、交換可能な観測量の最大集合と適切な座標系に対応する量子数でラベル付けされる。^{[nb 7]}

抽象状態は、特定の明示的な記述に必要な任意の選択が与えられていないという点でのみ「抽象的」です。これは、交換可能な観測可能量の最大セットの選択が与えられていないと言っているのと同じです。これは、指定された基底のないベクトル空間に類似しています。したがって、状態に対応する波動関数は一意ではありません。この一意でないことは、交換可能な観測可能量の最大セットの選択における一意でないことを反映しています。1 つの次元の 1 つのスピン粒子の場合、特定の状態には、同じ状態を記述する2 つの波動関数Ψ( x、S _z )とΨ( p、S _y )が対応します。

• 抽象状態空間の観測可能な最大可換集合の各選択に対して、波動関数の関数空間に関連付けられた対応する表現が存在します。
• これらすべての異なる関数空間と抽象状態空間の間には、1 対 1 の対応関係があり (ここでは正規化と観測不可能な位相係数は無視)、ここでの共通分母は特定の抽象状態です。たとえば、同じ状態を記述する運動量空間波動関数と位置空間波動関数の関係は、フーリエ変換です。

それぞれの表現の選択は、その表現の選択に対応する波動関数が存在する一意の関数空間を指定するものと考えるべきです。この区別は、2 つの関数空間が数学的に等しい (たとえば、2 乗積分可能な関数の集合である) と主張する場合でも、維持するのが最善です。その場合、関数空間をその集合の 2 つの異なるコピーと考えることができます。

波動関数のベクトル空間と抽象状態空間には追加の代数構造があります。

• 物理的には、異なる波動関数はある程度重なり合うと解釈されます。状態Φと重なり合わない状態Ψにあるシステムは、測定時に状態Φにあるとは見なされません。しかし、Φ ₁、 Φ 2 、… が Ψ とある程度_重なる場合、 Ψで記述されるシステムの測定結果が状態Φ ₁、 Φ ₂、…にある可能性があります。選択規則も適用されます。これらは通常、いくつかの量子数の保存で定式化されます。つまり、初期および最終の全波動関数が重なり合わないため、いくつかの観点から許容される特定のプロセス (エネルギーや運動量の保存など) は発生しません。
• 数学的には、特定のポテンシャルに対するシュレーディンガー方程式の解は何らかの形で直交しており、これは通常、積分によって記述されます。ここで、m、n は異なる解をラベル付けするインデックス（量子数）（のセット）、厳密に正の関数w は重み関数と呼ばれ、δ _{mn は}クロネッカーのデルタです。積分は関連する空間全体にわたって行われます。$${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},}$$

このため、抽象量子状態のベクトル空間に内積を導入することになります。これは、表現に移すときに上記の数学的観察と互換性があります。これは(Ψ, Φ)、またはBra–ket 記法では ⟨Ψ|Φ⟩と表記されます。複素数になります。内積により、関数空間は内積空間になります。内積 (通常は積分または積分の和) の明示的な表示は表現の選択に依存しますが、複素数(Ψ, Φ)は依存しません。量子力学の物理的解釈の多くは、ボルンの規則に由来しています。ボルンの規則では、システムが状態Ψにある場合に、測定時に状態Φが見つかる確率p は、 ΦとΨが正規化されている と仮定すると述べられています 。散乱実験を考えてみましょう。量子場理論では、散乱粒子間の相互作用が終わった後の「遠い未来」（「アウト状態」）の状態をΦ _{out が}表し、 Ψ _{in が}「遠い過去」の「イン状態」を表す場合、 Φ _outとΨ inがそれぞれイン状態とアウト状態の完全なセットにわたって変化する量（ Φ out 、 Ψ in ）は_S行列または_散乱行列_と呼ばれます。これを知ることは、少なくとも予測に関する限り、事実上、手元の理論を解いたことになります。減衰率や散乱断面積などの測定可能な量は、S行列から計算できます。^[42]$${\displaystyle p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},}$$

上の観察は、波動関数が要素となっている関数空間の本質を要約している。しかし、記述はまだ完全ではない。関数空間には、完全性というさらなる技術的要件があり、これにより、関数空間内のシーケンスの極限をとり、その極限が存在する場合には、それが関数空間の要素であることが保証される。完全な内積空間はヒルベルト空間と呼ばれる。完全性という特性は、量子力学の高度な処理と応用において極めて重要である。例えば、射影演算子または直交射影の存在は、空間の完全性に依存している。^{[43]これらの射影演算子は、スペクトル}定理など、多くの有用な定理の記述と証明に不可欠である。これは量子力学の入門書ではあまり重要ではなく、技術的な詳細とリンクは次のような脚注に記載されている。^{[nb 8]} 空間L ^{2 は}ヒルベルト空間であり、内積は後で提示される。図の例の関数空間はL ²の部分空間です。ヒルベルト空間の部分空間は、閉じていればヒルベルト空間です。

要約すると、特定の基底を選択したシステムのすべての可能な正規化可能な波動関数の集合とヌルベクトルがヒルベルト空間を構成します。

関心のある関数のすべてが、たとえばL ²などのヒルベルト空間の要素であるわけではありません。最も顕著な例は、関数の集合e ^{2 πi p · x ⁄ h}です。これらは、正規化できない、したがってL ²に含まれない、自由粒子に対するシュレーディンガー方程式の平面波解です。しかし、それでもなお、記述の基本となります。これらを使用すると、波束を使用して正規化できる関数を表現できます。これらは、ある意味では、関心のある波動関数を表現できる基底です (ただし、ヒルベルト空間基底でもハメル基底でもありません)。また、表記上の便宜上頻繁に使用される「デルタ関数への正規化」という人工物もあります。これについては、後述します。デルタ関数自体も平方積分可能ではありません。

波動関数を含む関数空間の上記の説明は、主に数学的な動機によるものです。関数空間は、完全性のため、ある意味で非常に大きくなります。すべての関数が物理システムの現実的な説明になるわけではありません。たとえば、関数空間L ²では、区間[0, 1]内のすべての有理数に対して値0 をとり、無理数に対して値- i をとる関数を見つけることができます。これは平方積分可能ですが^{[nb 9]} 、物理的状態を表すことはほとんどできません。

解の空間全体はヒルベルト空間ですが、その構成要素として一般的に出現する他のヒルベルト空間も多数あります。

• 区間[0, 2 π ]上の平方積分可能な複素数値関数。集合{ e ^int /2 π , n ∈ Z }はヒルベルト空間基底、つまり最大正規直交集合です。
• フーリエ変換は、上記の空間の関数をl ² ( Z )の元、つまり平方和分関数の空間Z → Cに変換します。後者の空間はヒルベルト空間であり、フーリエ変換はヒルベルト空間の同型です。^{[nb 10]}その基底は{ e _i , i ∈ Z }であり、 e _i ( j ) = δ _ij , i , j ∈ Zです。
• 全域多項式の最も基本的な例は、区間[–1, 1]上の平方積分可能関数の空間であり、この区間ではルジャンドル多項式はヒルベルト空間基底 (完全正規直交集合) になります。
• 単位球面 S ²上の平方積分可能関数はヒルベルト空間です。この場合の基底関数は球面調和関数です。ルジャンドル多項式は球面調和関数の成分です。回転対称性に関するほとんどの問題は、その対称性に関して「同じ」(既知の) 解を持つため、元の問題はより低次元の問題に縮小されます。
• 関連するラゲール多項式は、球面調和関数を因数分解した後の水素波動関数問題に現れる。これらは、半無限区間[0, ∞)上の平方積分関数のヒルベルト空間に広がる。

より一般的には、ヒルベルト空間の設定におけるストゥルム・リウヴィル方程式のすべての2次多項式解の統一的な取り扱いを考えることができる。これには、ルジャンドル多項式とラゲール多項式、チェビシェフ多項式、ヤコビ多項式、エルミート多項式が含まれる。これらはすべて実際に物理的な問題に現れ、後者は調和振動子に現れ、そうでなければ特殊関数の特性の混乱を招く迷路が組織化された事実の集合になる。これについては、Byron & Fuller (1992、第5章) を参照。

有限次元のヒルベルト空間も存在します。空間C ⁿは次元nのヒルベルト空間です。内積はこれらの空間の標準的な内積です。その中に、単一粒子の波動関数の「スピン部分」が存在します。

• 電子の非相対論的記述ではn = 2となり、全体の波動関数はパウリ方程式の解になります。
• 対応する相対論的処理では、n = 4であり、波動関数はディラック方程式を解きます。

粒子の数が増えると、状況はより複雑になる。テンソル積を採用し、関係する対称群（それぞれ回転群とローレンツ群）の表現論を使用して、テンソル積から（全体の）スピン波動関数が存在する空間を抽出する必要がある。（粒子が自由でない限り、相対論的な場合にはさらなる問題が生じる。^[44]ベーテ–サルペーター方程式を参照。）対応する注釈は、対称群がSU(2)であるアイソスピンの概念にも当てはまる。60年代の核力のモデル（今日でも有用。核力を参照）は、対称群SU(3)を使用していた。この場合も、内部対称性に対応する波動関数の部分は、いくつかのC ⁿまたはそのような空間のテンソル積のサブスペースに存在する。

• 量子場の理論では、基礎となるヒルベルト空間はフォック空間です。フォック空間は、表現が選択された場合の波動関数である単一粒子の自由状態から構築され、必ずしも時間的に一定ではない有限の粒子数を収容できます。興味深い（またはむしろ扱いやすい）ダイナミクスは、波動関数ではなく、フォック空間に作用する演算子である場の演算子にあります。したがって、ハイゼンベルク描像が最も一般的な選択肢です（一定状態、時間的に変化する演算子）。

システムの無限次元の性質により、適切な数学的ツールが関数解析の研究対象となります。

入門書のすべてが長い道のりをたどってヒルベルト空間の仕組みを完全に紹介しているわけではないが、特定の標準ポテンシャルの位置表現における非相対論的シュレーディンガー方程式に焦点が当てられている。波動関数に対する以下の制約は、計算と物理的解釈が意味を成すように明示的に定式化されることがある。^{[45] [46]}

• 波動関数は二乗積分可能でなければならない。これは波動関数を確率振幅として解釈するコペンハーゲン解釈によるものである。
• それはどこでも連続で、どこでも連続的に微分可能でなければなりません。これは、ほとんどの物理的に合理的なポテンシャルに対してシュレーディンガー方程式が出現することに起因しています。

特別な目的のために、これらの条件をいくらか緩和することは可能です。^{[nb 11]} これらの要件が満たされない場合、波動関数を確率振幅として解釈することはできません。^[47]ポテンシャル場の無限不連続点では、導関数の連続性の規則に例外が発生する可能性があることに注意してください。たとえば、箱の中にある粒子では、波動関数の導関数は、ポテンシャルが無限不連続であることがわかっている箱の境界で不連続になる可能性があります。

これは、これらの特定の波動関数が存在するヒルベルト空間の構造を変更するものではありませんが、2番目の要件を満たすヒルベルト空間である平方積分可能な関数L ^{2の部分空間は}L ²で閉じられておらず、したがってそれ自体はヒルベルト空間ではありません。^{[nb 12]} 要件を満たさない関数は、技術的および実用的な理由の両方で依然として必要です。^{[nb 13] [nb 14]}

すでに実証されているように、システムに対する何らかの表現におけるすべての可能な波動関数の集合は、一般に無限次元ヒルベルト空間を構成する。表現基底の複数の可能な選択のため、これらのヒルベルト空間は一意ではない。したがって、表現と基底の選択が未決定のままである抽象的なヒルベルト空間、状態空間について話す。具体的には、各状態は状態空間内の抽象的なベクトルとして表現される。 ^[48]任意の表現における量子状態|Ψ⟩は、一般にベクトルとして表現される^{[要出典]。} ここで $${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\int d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\Psi _{t}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }})\,|{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }}\rangle }$$

• | α , ω ⟩選択された表現の基底ベクトル
• d ^m ω = dω ₁ dω ₂ ... dω _m連続自由度における微分体積要素
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}_{t}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }})}$ベクトルの成分、システムの波動関数と呼ばれる${\displaystyle |\Psi \rangle }$
• α = ( α ₁ , α ₂ , ..., α _n )無次元離散量子数
• ω = ( ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _m )連続変数（必ずしも無次元ではない）

これらの量子数は、状態ベクトルの成分をインデックスします。さらに、すべてのα はn次元セット A = A ₁ × A ₂ × ... × A _nにあります。ここで、各A _iはα _iの許容値のセットです。すべてのω はm次元「ボリューム」Ω ⊆ ℝ ^mにあります。ここで、Ω = Ω ₁ × Ω ₂ × ... × Ω _mであり、各Ω _i ⊆ R はω _iの許容値のセットであり、実数Rのサブセットです。一般性のために、nとm は必ずしも等しくありません。

例：

時刻| α , ω⟩におけるシステムの 確率密度は${\displaystyle t}$$${\displaystyle \rho _{\alpha ,\omega }(t)=|\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)|^{2}}$$

離散変数構成D ⊆ Aでαを持つシステム、および連続変数構成C ⊆ Ωでω を持つシステムを見つける確率は、密度の和と積分である。^{[nb 15]} $${\displaystyle P(t)=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in D}\int _{C}d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\rho _{\alpha ,\omega }(t)}$$

すべての確率の合計は 1 でなければならないため、正規化条件は システムの進化中は常に満たされる必要があります。 $${\displaystyle 1=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in A}\int _{\Omega }d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\rho _{\alpha ,\omega }(t)}$$

正規化条件では、ρ d ^m ω が無次元である必要があり、次元解析により、 Ψは( ω ₁ ω ₂ ... ω _m ) ^−1/2と同じ単位を持つ必要があります。

波動関数が現実に存在するかどうか、そしてそれが何を表しているかは、量子力学の解釈における主要な問題である。エルヴィン・シュレーディンガー、アルバート・アインシュタイン、ニールス・ボーアなど、前世代の多くの有名な物理学者がこの問題に頭を悩ませた。コペンハーゲン解釈の定式化や変形を主張する者もいる（ボーア、ユージン・ウィグナー、ジョン・フォン・ノイマンなど）が、ジョン・アーチボルド・ウィーラーやエドウィン・トンプソン・ジェインズなど、より古典的なアプローチ^[49]をとり、波動関数は観察者の心の中にある情報、つまり現実に関する知識の尺度を表すものとみなしている。シュレーディンガー、デイヴィッド・ボーム、ヒュー・エヴェレット3世などを含む一部の人々は、波動関数は客観的で物理的な存在でなければならないと主張した。アインシュタインは、物理的現実の完全な記述は、抽象的な数学的空間を指す波動関数とは異なり、物理的空間と時間に直接言及するべきだと考えた。^[50]

• エンジニアのための量子力学
• スピン波動関数 NYU
• 同一粒子の再考、マイケル・ファウラー
• 多電子波動関数の性質
• BerkeleyX における量子力学と量子計算 2013-05-13 にWayback Machineでアーカイブ
• アインシュタイン、放射線の量子論