メビウスの輪

数学において、メビウスの帯、メビウスの帯、またはメビウスのループ^[a]は、細長い紙の端を半ねじって接着することで形成される面である。数学的な対象としては、1858年にヨハン・ベネディクト・リスティングとアウグスト・フェルディナンド・メビウスによって発見されたが、紀元後3世紀のローマのモザイクには既に登場していた。メビウスの帯は向きを変えることができない面であり、つまりその中では時計回りと反時計回りの回転を一貫して区別することはできない。向きを変えることができない面にはすべてメビウスの帯が含まれる。

抽象的な位相空間として、メビウスの帯はさまざまな方法で3 次元ユークリッド空間に埋め込むことができます。時計回りの半ねじれは反時計回りの半ねじれとは異なり、1 より大きい奇数のねじれや結び目のある中心線で埋め込むこともできます。中心線の結び目が同じで、ねじれの数と方向が同じである 2 つの埋め込みは、位相的に同値です。これらの埋め込みはすべて 1 つの辺しかありませんが、他の空間に埋め込まれる場合、メビウスの帯は 2 つの辺を持つことがあります。境界曲線は 1 つだけです。

メビウスの帯のいくつかの幾何学的構成は、これにさらなる構造を与える。回転平面内を回転する線分によって、自己交差の有無にかかわらず、線織面としてスイープすることができる。両端を結合してメビウスの帯を形成した薄い紙片は、可展面として滑らかに曲げたり、平らに折ったりすることができる。平らになったメビウスの帯には、三六角形が含まれる。スーダンのメビウスの帯は超球面内の極小面であり、ミークスのメビウスの帯は通常のユークリッド空間内の自己交差極小面である。スーダンのメビウスの帯と、もう 1 つの自己交差するメビウスの帯であるクロスキャップは、どちらも円形の境界を持つ。境界のないメビウスの帯は開いたメビウスの帯と呼ばれ、一定曲率の面を形成できる。平面内の線を表す点を持つ特定の高度に対称的な空間は、メビウスの帯の形状を持つ。

メビウスの帯の多くの用途には、両側が均等に摩耗する機械ベルト、 2 つの線路の間を客車が交互に通る複線ジェットコースター、対蹠地が互いに反対側に見えるように印刷された世界地図などがある。メビウスの帯は、新しい電気的および電気機械的特性を持つ分子やデバイスに登場し、社会選択理論における不可能性の証明に使用されてきた。大衆文化では、メビウスの帯はMC エッシャー、マックス・ビルなどのアートワークや、リサイクル シンボルのデザインに登場している。NASCARの殿堂の建物設計など、多くの建築コンセプトがメビウスの帯に触発されている。ハリー・ブラックストーン・シニアやトーマス・ネルソン・ダウンズなどのパフォーマーは、メビウスの帯の特性を基にした舞台手品を行っている。J.S . バッハのカノンは、メビウスの帯を使用して分析されている。多くのスペキュレイティブフィクション作品にメビウスの帯が登場する。より一般的には、メビウスの輪に基づいた、ひねりを効かせながら繰り返される出来事のプロット構造は、フィクションでは一般的です。

メビウスの帯が数学的な対象として発見されたのは、 1858年のドイツの数学者ヨハン・ベネディクト・リスティングとアウグスト・フェルディナント・メビウスの独立の功績とされている。 ^[2]しかし、物理的対象としても芸術的描写としても、それ以前から知られていた。特に、紀元3世紀のローマのモザイク画のいくつかに見ることができる。 ^{[3] [4]}多くの場合、これらは単にコイル状のリボンを境界として描いている。コイルの数が奇数の場合、これらのリボンはメビウスの帯であるが、コイルの数が偶数の場合は、ねじれていないリングと位相的に等価である。したがって、リボンがメビウスの帯であるかどうかは、意図的な選択ではなく、偶然の一致である可能性がある。少なくとも1つのケースでは、異なる側に異なる色のリボンが奇数のコイルで描かれ、色が一致しない部分でアーティストが不器用な修正を強いられた。^[3]センティヌムの町の別のモザイク（描かれている）には、アイオン神が持つ黄道帯が、1回だけねじれた帯として描かれている。この天体の時間の視覚的表現の片面性が意図的であったという明確な証拠はないが、単に帯の目に見える側に黄道帯のすべての星座が現れるようにするために選択されただけかもしれない。ウロボロスや8の字型の装飾の他の古代の描写もメビウスの帯を描いたと言われているが、何らかの平らな帯を描くことを意図していたかどうかは不明である。^[4]

数学的伝統とは別に、機械工は、機械ベルトがメビウスの帯を形成すると、ねじれていないベルトの内側表面だけでなくベルトの表面全体を使用するため、ベルトの摩耗が半分になることを長い間知っていました。^[3]さらに、このようなベルトは左右にカールしにくい可能性があります。 この技術に関する初期の文書による説明は、メビウスの帯に関する最初の数学的出版物の後である1871年にさかのぼります。 それよりずっと前、 1206年のイスマイール・アル・ジャザリの著作にあるチェーンポンプの画像には、その駆動チェーンにメビウスの帯の構成が描かれています。 ^[4]この表面の別の使用法は、パリの裁縫師によって行われました（日付は不明）。彼らは、メビウスの帯を衣服の襟として縫い付けることを初心者に要求して、その訓練を行いました。^[3]

メビウスの帯には興味深い特性がいくつかある。それは向きを変えることができない面である。つまり、非対称の2次元物体が帯の周りを1周すると、鏡像となって開始位置に戻る。特に、時計回りの矢印 (↻) を曲げると反時計回りの矢印 (↺) に戻るため、メビウスの帯の中では時計回りと反時計回りの意味を一貫して定義することは不可能である。これは最も単純な向きを変えることができない面である。他の面が向きを変えることができないのは、その部分がメビウスの帯を部分集合として持っている場合のみである。 ^[5]関連して、ユークリッド空間に埋め込まれた場合、メビウスの帯は片面のみとなる。帯の表面を1周する3次元物体は鏡像ではなく、局所的には反対側のように見える帯の同じ点に戻る。これは、両方の位置が実際には1つの面の一部であることを示す。この動作は、平らな紙、円筒形のストロー、中空のボールなどでモデル化される、表面の片側がもう片側に接続されていない、3次元のよく知られた有向面とは異なります。 ^[6]ただし、これはメビウスの帯自体の固有の特性というよりも、空間への埋め込みの特性です。メビウスの帯が2つの面を持つように埋め込むことができる他の位相空間が存在します。^[7]たとえば、立方体の前面と背面を左右の鏡映で互いに接着すると、立方体の上部と下部を両面のメビウスの帯で互いに分離できる3次元位相空間（間隔のあるメビウスの帯の直積）が得られます。^[b]ディスク、球、円筒では、無数の互いに交わらないコピーを同時に3次元空間に埋め込むことができますが、メビウスの帯は同時に埋め込むことができる数は可算な数だけです。^{[9] [10] [11]}

メビウスの帯の縁に沿って、縁上の開始点に戻るまでたどった経路は、メビウスの帯のすべての境界点を 1 本の連続した曲線に含む。長方形を接着してねじって作ったメビウスの帯の場合、その長さは帯の中心線の 2 倍になる。この意味で、メビウスの帯はねじれていないリングとは異なり、境界が 1 つしかない円盤に似ている。^[6]ユークリッド空間のメビウスの帯は、鏡像に移動したり引き伸ばしたりすることはできず、右利きまたは左利きを持つキラルなオブジェクトである。 ^[12]半ねじれが 1 より大きい奇数個のメビウスの帯、または接着前に結び目が付けられたメビウスの帯は、2 次元の位相面としてはすべて同等であるが、3 次元空間の埋め込みサブセットとしては異なる。^[13]より正確には、2つのメビウスの帯の中心線が同じ結び目を決定し、互いに同じ数のねじれを持つ場合、それらは3次元空間に等しく埋め込まれます。^{[14]しかし、ねじれの数が偶数の場合、}環状部と呼ばれる異なる位相面が得られます。^[15]

メビウスの帯は、中心線上の点を固定したまま幅を狭くすることで、中心線に向かって連続的に変形できる。この変形は変形収縮の一例であり、その存在はメビウスの帯が中心線（位相的には円）と同じ特性を多く持つことを意味している。特に、その基本群は円の基本群、つまり無限巡回群と同じである。したがって、メビウスの帯上の同じ点から始まり同じ点で終わる経路は、帯の周りをループする回数によってのみ位相的に（ホモトピーまで）区別できる。 ^[16]

メビウスの帯を中心線に沿ってハサミで切ると、2 つの別個の帯ではなく、4 つの半ねじれ (ねじれていない環状体または円筒に対して) を持つ 1 つの長い帯が得られます。半ねじれのうち 2 つは、この細い帯が元のメビウスの帯の半ねじれを 2 回通過することから生じ、他の 2 つは、細い帯の 2 つの半分が互いに巻き付くことから生じます。結果はメビウスの帯ではなく、位相的には円筒と同等です。この 2 重ねじれの帯を再び中心線に沿って切ると、連結された 2 つの二重ねじれの帯が得られます。代わりに、メビウスの帯を縦方向に、つまり幅の 3 分の 1 のところで切ると、連結された 2 つの帯が得られます。2 つのうちの 1 つは中央の細いメビウスの帯で、もう 1 つは 2 つの半ねじれがあります。^[6]メビウスの帯を縦にスライスして形成されたこれらの連結した形状は、パラドロ ミックリングと呼ばれることもあります。^{[17] [18]}

メビウスの帯は6つの互いに隣接する領域に分割することができ、平面の4色定理とは対照的に、メビウスの帯の表面上のマップには6色が必要な場合があることを示しています。 ^[19] 6色は常に十分です。この結果は、各位相面に必要な色の数を規定するリンゲル–ヤングの定理の一部です。^[20]これらの6つの領域の辺と頂点はティーツェのグラフを形成します。これは、6頂点完全グラフのこの面上の双対グラフですが、平面上で交差せずに描画することはできません。メビウスの帯に埋め込むことができるが平面上には埋め込むことができない別のグラフ族は、メビウスの梯子、つまりメビウスの帯を端から端まで接する長方形に細分化した境界です。 ^[21]これらには、6頂点の完全二部グラフである効用グラフが含まれます。これをメビウスの帯に埋め込むと、平面とは異なり、透明なメビウスの帯では3効用問題を解くことができることがわかります。^[22]メビウスの帯のオイラー特性はゼロであり、これは、帯を頂点と辺で領域に細分化すると、頂点、辺、領域の個数、、がを満たすことを意味します。たとえば、ティーツェのグラフには、頂点、辺、領域があります。^[19]${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V-E+F=0}$${\displaystyle 12}$${\displaystyle 18}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 12-18+6=0}$

メビウスの帯のトポロジーを使用して幾何学的表面を定義するさまざまな方法があり、追加の幾何学的特性を備えた実現が得られます。

メビウスの帯を3次元ユークリッド空間に埋め込む方法の1つは、平面で回転する線分によってそれを掃引することであり、その線分は今度はその線の1つの周りを回転します。^[23]掃引された表面が半回転後に自分自身と出会うためには、線分は平面の回転の角速度の半分でその中心の周りを回転する必要があります。これは、 および に対するその 点の 直交座標の方程式によって定義されるパラメトリック表面として記述できます。ここで、 1つのパラメーターは平面の中心軸の周りの回転角度を記述し、もう1つのパラメーターは回転する線分に沿った点の位置を記述します。これにより、中心円の半径が1で、 -平面にあり、 を中心とする幅1のメビウスの帯が生成されます。^[24]同じ方法で、線分をその平面内でより速く回転させることにより、任意の奇数の半回転を持つメビウスの帯を作成できます。回転するセグメントは、回転する平面内で円盤を描き、それが生成するメビウスの帯は、この円盤によって描かれた固体トーラスをスライスします。このスライスは片側であるため、スライスされたトーラスは接続されたままです。^[25]$${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u\\y(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u\\z(u,v)&={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle 0\leq u<2\pi }$${\displaystyle -1\leq v\leq 1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle (0,0,0)}$

異なる運動で掃引され、原点の周りを水平面内で回転しながら上下に移動する線または線分は、自己交差するメビウスの帯の形をした代数的線織面であるプルッカーの円錐面または円柱面を形成します。^{[26]これは}歯車の設計に応用されています。^[27]

一枚の紙片を角度をつけて折り、中心線が正三角形に沿うようにし、両端を合わせることで、平面上で平らなメビウスの帯を形成できる。これが可能な最短の紙片は、３つの正三角形を２つの三角形が交わる辺で折り曲げたものである。そのアスペクト比 、つまり紙片の長さ^[c]と幅の比は であり、これより大きなアスペクト比に対しても同じ折り方が使える。^{[28] [29]}９つの正三角形の紙片の場合、結果はトリヘキサフレクサゴンとなり、これを曲げることで表面のさまざまな部分を現すことができる。^[30]この方法を直接適用するには紙片が短すぎる場合は、まず偶数の折り目を使って紙片を幅方向に前後に「アコーディオン折り」することができる。例えば、２つ折りにすると、紙片は「N」字型の断面を持つ折り畳まれた紙片となり、半回転しても「N」字型のままである。より狭いアコーディオン折りのストリップは、より長いストリップと同じ方法で折り畳まれ、結合される。^{[28] [29]}${\displaystyle 60^{\circ }}$${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}$${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle 1\times {\tfrac {1}{3}}}$

メビウスの帯は、空間に多面体として埋め込むことも、平面に平坦に折りたたむこともでき、その場合、5 つの頂点を共有する三角形の面は 5 つだけです。この意味では、より抽象的に単体複合体として表現した場合でも、6 つの三角形と 6 つの頂点を必要とする円柱よりも単純です。^{[31] [d] 5 つの三角形のメビウスの帯は、} 4 次元の正単体の 10 個の正三角形のうちの 5 つによって最も対称的に表現できます。この 4 次元多面体メビウスの帯は、唯一のタイトなメビウスの帯であり、完全に 4 次元であり、超平面によるすべての切断によって、ディスクまたは円と位相的に同等な 2 つの部分に分離されます。^[32]

メビウスの帯の他の多面体埋め込みには、4 つの凸四辺形を面として持つもの、3 つの非凸四辺形面を持つもの、^[33]および三角形の境界を持つ正八面体の頂点と中心点を使用するものなどがある。^[34]射影平面のすべての抽象的な三角形分割は、面の 1 つを削除した後、三角形の境界を持つ多面体メビウスの帯として 3D に埋め込むことができる。^[35]一例として、5 頂点のメビウスの帯に 1 つの頂点を追加し、各境界辺に三角形で接続することで得られる 6 頂点の射影平面がある。^[31]ただし、メビウスの帯のすべての抽象的な三角形分割が多面体面として幾何学的に表現できるわけではない。^[36]実現可能であるためには、三角形分割に 2 つの互いに交わらない収縮不可能な 3 サイクルが存在しないことが必須かつ十分である。^[37]

長方形の紙の端を接着して作られた長方形のメビウスの帯は、そのアスペクト比が より大きいときはいつでも、3 次元空間に滑らかに埋め込むことができます。これは、メビウスの帯の平らに折りたたまれた正三角形バージョンの場合と同じです。^[38]この平らな三角形の埋め込みは、3 次元で滑らかな^[e]埋め込みに持ち上げることができ、その場合、帯は 3 つの平行な平面で平らに置かれ、3 つの円筒形のローラーの間にあり、各ローラーは 2 つの平面に接しています。^[38]数学的には、滑らかに埋め込まれた 1 枚の紙は、曲げることはできますが伸ばすことはできない展開可能な表面としてモデル化できます。^{[39] [40]}アスペクト比が に向かって減少するにつれて、すべての滑らかな埋め込みは同じ三角形の形に近づくように見えます。^[41]${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

アコーディオン折りされた平坦なメビウスの帯の縦方向の折り目は、層が互いに分離され、しわになったり折り目から伸びたりすることなく滑らかに曲がる3次元の埋め込みを形成するのを妨げます。^[29]代わりに、平坦に折りたたまれた場合とは異なり、滑らかな長方​​形のメビウスの帯のアスペクト比には下限があります。自己交差が許容される場合でも、そのアスペクト比は 未満にはなりません。自己交差する滑らかなメビウスの帯は、この境界を超える任意のアスペクト比で存在します。^{[29] [42]}自己交差がない場合、アスペクト比は少なくともである必要があります^[43]${\displaystyle \pi /2\approx 1.57}$ $${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}\approx 1.695.}$$

数学における未解決の問題:

紙の長方形を端から端まで接着して、空間に埋め込まれた滑らかなメビウスの帯を形成 できますか？ ^[f]${\displaystyle 12\times 7}$

（数学における未解決の問題がさらに増える）

この境界と${\displaystyle {\sqrt {3}}}$の間のアスペクト比については、自己交差のない滑らかな埋め込みが存在するかどうかは未解決の問題であった。^{[29] [42] [43]} 2023 年にリチャード・シュワルツは、そのような埋め込みが存在しないという証明を発表したが、この結果はまだ査読と出版を待っている。^{[44] [45]}滑らかさの要件が緩和され、連続的に微分可能な面が許容されると、ナッシュ・カイパー定理によれば、任意の長方形の任意の 2 つの反対辺は、アスペクト比がどれだけ小さくなっても、埋め込まれたメビウスの帯を形成できる。^[g]極限の場合、つまり、互いに反対方向に接着された 2 本の平行線の間の平面の無限ストリップから得られる面は、無限メビウスの帯または実同義直線束と呼ばれる。^[46]これは 3 次元空間への滑らかな閉じた埋め込みを持たないが、4 次元ユークリッド空間の閉じた部分集合として滑らかに埋め込むことができる。^[47]

長方形から貼り付けられた滑らかなメビウスの帯の最小エネルギー形状は、解析的な記述が知られていないが、数値的に計算することができ、 1930年にマイケル・サドウスキーがこのテーマについて最初に研究して以来、プレート理論で多くの研究の対象となってきた。^{[39] [40]}また、長方形の展開可能なメビウスの帯を含む代数曲面を見つけることも可能である。^{[48] [49]}

メビウスの帯の縁、つまり境界は、位相的には円と等価である。メビウスの帯の一般的な形態では、円とは異なる形をしているが、結び目がないため、帯全体を交差させずに引き伸ばして縁を完全に円形にすることができる。^[50]その一例は、クラインの壷の位相に基づくものである。クラインの壷は、境界のない片面の表面で、3次元空間に埋め込むことはできないが、浸漬することはできる（表面が特定の制限された方法で交差することを可能にする）。クラインの壷は、2つのメビウスの帯を縁同士で接着したときにできる表面であり、そのプロセスを逆にして、クラインの壷を慎重に選んだ切り口に沿ってスライスして、2つのメビウスの帯を作ることができる。^[51]ローソンのクラインの壷として知られるクラインの壷の形態では、スライスする曲線を円形にすることができ、円形の縁を持つメビウスの帯ができる。^[52]

ローソンのクラインの壷は、 4次元空間の単位超球面、つまり に対して の形になる点の集合における自己交差極小曲面である。^[53]このクラインの壷の半分、つまり の部分集合は、大円を境界とする極小曲面として超球面に埋め込まれたメビウスの帯を与える。^[54]この埋め込みは、1970年代にこれを発見した位相学者のスー・グッドマンとダニエル・アシモフにちなんで、「スーダンのメビウスの帯」と呼ばれることもある。^[55]幾何学的には、ローソンのクラインの壷は、3次元球面上で大円を大円運動で掃引することで構築でき、スーダンのメビウスの帯は、円の代わりに半円を掃引するか、または同等に、掃引したすべての円に垂直な円に沿ってクラインの壷をスライスすることで得られる。^{[52] [56]}ステレオ投影は、この形状を3次元球面空間から3次元ユークリッド空間に変換し、境界の円形性を維持します。^[52]最も対称的な投影は、各半円の中点を通る大円上にある投影点を使用することによって得られますが、投影点がその中心線から削除された無制限の埋め込みを生成します。^[54]代わりに、スーダンのメビウスの帯を3次元球面に投影せずに残しておくと、直交群、つまり円の対称性の群に同型な無限の対称性群が残ります。^[53]$${\displaystyle (\cos \theta \cos \phi ,\sin \theta \cos \phi ,\cos 2\theta \sin \phi ,\sin 2\theta \sin \phi )}$$${\displaystyle 0\leq \theta <\pi ,0\leq \phi <2\pi }$${\displaystyle 0\leq \phi <\pi }$ ${\displaystyle \mathrm {O} (2)}$

スーダンのメビウスの帯は、境界円のあらゆる側面に広がっている。これは、面が交差しないようにするために避けられないことである。メビウスの帯の別の形式であるクロスキャップまたはクロスキャップも、境界は円形であるが、それ以外はこの円の平面の片側だけにとどまるため、^[57]他の面の円形の穴に取り付けるのに便利である。そのために、メビウスの帯は交差している。これは、半球の上部から四辺形を取り除き、四辺形の辺を交互に方向付け、次に、この方向で一貫してこれらの辺の反対側のペアを接着することによって形成できる。^[58]接着された2つの辺のペアによって形成される表面の2つの部分は、交差セグメントの両端でホイットニーの傘のようなピンチポイントで互いに交差し、^[59]プルッカーの円錐体に見られるのと同じ位相構造である。^[26]

開いたメビウスの帯は、標準的なメビウスの帯の相対的な内部であり、境界エッジ上の点を省略することによって形成されます。一定の正、負、またはゼロのガウス曲率のリーマン幾何学が与えられます。曲率が負またはゼロの場合は、測地線的に完全な表面が形成されます。これは、すべての測地線(表面上の「直線」) をどちらの方向にも無限に延長できることを意味します。

曲率ゼロ

曲率ゼロの開いた帯は、平面帯の反対側を2本の平行線で接着することによって構成することができ、これは上でトートロジー線束として説明されている。^[46]結果として得られる計量により、開いたメビウスの帯は（測地学的に）完全な平面（つまり、どこでもガウス曲率がゼロ）になる。これは、均一なスケーリングを除いて、平坦かつ完全なメビウスの帯上の唯一の計量である。これは、すべり反射による平面の商空間であり、（平面、円柱、トーラス、クラインの壺とともに）わずか5つの2次元完全平坦多様体のうちの1つである。^[60]

負の曲率

開いたメビウスの帯は、一定の負の曲率の完全な計量も許容します。これを理解する 1 つの方法は、双曲面の上半平面 (ポアンカレ) モデルから始めることです。これは、モデル内で線が- 軸に直角に交わる半円で表された一定の曲率の幾何学です。任意の 2 つの入れ子になった半円の間にある上半平面の部分集合を取り、外側の半円を内側の半円の左右反転と同一視します。結果は、位相的に、一定の負の曲率を持つ完全で非コンパクトなメビウスの帯になります。これは、完全な双曲半平面(実際には 2 つ、すべり反射軸の反対側) を含むという意味で「非標準」の完全な双曲面であり、わずか 13 の非標準面の 1 つです。^[61]これも、すべり反射による双曲面の商として理解できます。^[62]${\displaystyle x}$

正の曲率

一定の正の曲率を持つメビウスの帯は完全ではない。なぜなら、一定の正の曲率を持つ完全な面は球面と射影平面だけであることが知られているからである。^{[60]しかし、ある意味では、開いたメビウスの帯は、}一度穴を開けた射影平面、つまり射影平面から任意の一点を取り除いた面と同相であるため、完全な面からわずか一点しか離れていない。^[63]

極小曲面は、一定のガウス曲率ではなく、一定のゼロ平均曲率を持つと説明される。スーダンのメビウスの帯は、3次元球面の大円で囲まれた極小曲面として構築されたが、開いたメビウスの帯の位相を持つ、ユークリッド空間に埋め込まれた唯一の完全な（境界のない）極小曲面も存在する。これは、1982年にウィリアム・ハミルトン・ミークス3世によって説明されたことにちなんで、ミークスのメビウスの帯と呼ばれている。^[ 65 ]極小^曲面としては全体的に不安定であるが、面内の非収縮曲線で囲まれた小さなパッチは、極小曲面として安定した埋め込みメビウスの帯を形成できる。^[66]ミークスのメビウスの帯と、メビウスの帯の位相を持つ高次元の極小曲面はすべて、境界曲線とこの曲線に沿った接平面から一意に極小曲面を定義するビョーリング問題の解を使って構築することができます。^[67]

平面上の直線の族には滑らかな空間の構造を与えることができ、各直線はこの空間内の点として表される。結果として得られる直線空間は、開いたメビウスの帯と位相的に同等である。^[68]これを見る一つの方法は、ユークリッド平面を実射影平面に拡張し、もう1本の直線、すなわち無限遠直線を追加することである。射影双対性により、射影平面上の直線空間はその点空間、すなわち射影平面自体と同等である。ユークリッド直線の空間を生成するために無限遠直線を除去すると、この射影直線空間は穴があけられる。^[69]したがって、ユークリッド直線空間は穴があけられた射影平面であり、これは開いたメビウスの帯の形式の1つである。^[63]双曲平面上の直線空間は、円上の順序付けられていない相異なる点のペア、すなわち各直線の無限遠点のペアによってパラメータ化することができる。この空間は、再び、開いたメビウスの帯の位相を持つ。^[70]

これらの直線空間は対称性が高い。ユークリッド直線の対称性にはアフィン変換が含まれ、双曲直線の対称性にはメビウス変換が含まれる。^[71]アフィン変換とメビウス変換はどちらも6 次元 リー群、対称性の構成を記述する互換性のある代数構造を持つ位相空間を形成します。^{[72] [73]}平面上のすべての直線は他のすべての直線と対称であるため、開いたメビウスの帯は同次空間、つまりすべての点を他のすべての点に取る対称性を持つ空間です。リー群の同次空間はソルブ多様体と呼ばれ、メビウスの帯は反例として使用でき、すべてのソルブ多様体がニル多様体 ではなく、すべてのソルブ多様体が を持つコンパクトソルブ多様体の直積に因数分解できるわけではないことを示しています。これらの対称性は、リー群の群モデルとして、メビウスの帯自体を構成する別の方法も提供します。群モデルは、リー群とその作用の安定化部分群で構成されます。部分群の剰余類を点に縮約すると、基礎となる同次空間と同じ位相を持つ空間が生成されます。ユークリッド直線の対称性の場合、軸の安定化は、軸を自分自身に取るすべての対称性で構成されます。各直線は、剰余類、つまり軸にマップされる対称性の集合に対応します。したがって、剰余類ごとに 1 つの点があり、対称性の空間から位相を継承する空間である商空間は、直線の空間と同じであり、やはり開いたメビウスの帯です。^[74]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle x}$

すでに説明した、表面全体が均一に摩耗する機械ベルトの設計へのメビウスの帯の応用、およびギアの設計へのプルッカー円錐の応用の他に、メビウスの帯のその他の応用には次のものがあります。

• グラフェンリボンをねじってメビウスの帯を形成すると、らせん状の磁性を含む新しい電子特性が現れる^[75]
• メビウス芳香族性は、分子軌道がメビウスの帯のパターンに沿って整列し、分子構造が環状になっている有機化学物質の特性である^{[76] [77]}
• メビウス抵抗器は、誘電体メビウスの帯の片面を覆う導電性材料のストリップであり、それ自体の自己インダクタンスを打ち消す方法で構成されている^{[78] [79]}
• コンパクトな設計で、共振周波数が同一構造の線形コイルの半分である共振器^{[80] [81]}
• qプレートから出る光の偏光パターン^[82]
• 社会選択理論における連続的、匿名的、全会一致の二者集約ルールの不可能性を証明する^[83]
• メビウスループジェットコースターは、2つの線路が奇数回螺旋状に周回する複線式ジェットコースターの一種で、車両は出発した線路とは別の線路に戻る^{[84] [85]}
• メビウスの帯に投影された世界地図は、東西の境界がなく、地図上のどの点の対蹠点も、メビウスの帯の同じ点の反対側の印刷面にあるという便利な性質を持っている^{[86] [87]}

科学者たちはまた、メビウスの輪の形をした石鹸膜のエネルギー学^{[88] [89]、}メビウスの輪の形をした分子の化学合成^{[90] [91] 、} DNA折り紙を使ったより大きなナノスケールのメビウスの輪の形成^[92]なども研究してきました。

メビウスの帯を題材にした二次元アート作品には、コラッド・カーリによる無題の1947年の絵画（チャールズ・オルソンの詩で記念されている）^{[93] [94]と、} MCエッシャーによる2つの版画がある。3匹の折りたたまれたカレイが互いの尾を噛んでいる様子を描いた「メビウスの帯I」 （1961年）と、レムニスケート型のメビウスの帯の周りを這うアリを描いた「メビウスの帯II」 （1963年） ^{[95] [96] 。また、}マックス・ビル（「無限のリボン」（1953年）、ホセ・デ・リベラ（「無限」（1967年）、セバスチャン・カーン）の作品など、数学的彫刻の人気テーマでもある。^[93]三つ葉の結び目のあるメビウスの帯は、ジョン・ロビンソンの「不滅」 （1982年）で使用されている。^[97]チャールズ・O・ペリーの「コンティニュアム」（1976年）は、メビウスの帯のバリエーションを探求したペリーの作品のうちの1つです。^[98]

メビウスの輪は、その認識しやすい形状のため、グラフィックデザインの一般的な要素である。^[97] 1970年にデザインされた、おなじみの3つの矢印のリサイクルのロゴは、メビウスの輪の滑らかな三角形の形状に基づいており、^[99]環境をテーマにした74年の万博のロゴも同様である。^[100]リサイクルシンボルのいくつかのバリエーションは、1つではなく3つの半ねじれを使用した異なる埋め込みを使用しており、^[99] Google Driveのロゴのオリジナルバージョンは、他の同様のデザインと同様に、平らに折りたたまれた3つのねじれのメビウスの輪を使用していた。^[101]ブラジルの純粋応用数学研究所（IMPA）は、様式化された滑らかなメビウスの輪をロゴとして使用し、建物内にメビウスの輪の大きな彫刻を展示している。^[102]メビウスの輪はブラジル、ベルギー、オランダ、スイスなどの国の切手にも描かれています。^{[103] [104]}

メビウスの輪は、建物や橋の建築デザインのインスピレーションとして頻繁に使われてきました。しかし、これらの多くは建設物というよりはプロジェクトや概念設計であり、メビウスの輪の解釈を、数学的形状や建築の機能的な部分としての認識を超えて広げています。^{[105] [106]}一例はカザフスタン国立図書館で、この図書館の建物は太めのメビウスの輪の形に計画されましたが、元の建築家がプロジェクトから撤退した後、別のデザインに仕​​上げ直されました。^[107]メビウスの輪を取り入れた有名な建物の1つはNASCARの殿堂で、ファサードとキャノピーとして機能する大きなねじれたステンレス鋼のリボンに囲まれており、レーストラックの湾曲した形状を彷彿とさせます。^[108]より小規模では、ペドロ・レイエスによるメビウスチェア（2006年）は、ベースと側面がメビウスの輪の形をした求愛ベンチです。 ^[109]数学と繊維芸術の一形態として、1980年代初頭のエリザベス・ツィンメルマンの作品以来、スカーフはメビウスの輪に編まれてきました。 ^[110]フードスタイリングでは、メビウスの輪はベーグルをスライスしたり、^[111]ベーコンからループを作ったり、^[112]パスタの新しい形を作ったりするのに使用されてきました。^[113]

数学的にはメビウスの輪と第四次元はどちらも純粋に空間的な概念であるが、空想小説では不注意な犠牲者が陥る可能性のあるタイムループの基礎として頻繁に引用されてきた。この比喩の例には、マーティン・ガードナーの「ノーサイド教授」（1946年）、アーミン・ジョセフ・ドイチュの「メビウスという名の地下鉄」（1950年）、およびそれを基にした映画「メビウス」（1996年）がある。アーサー・C・クラークの「闇の壁」（1946年）では、メビウスの輪のような形をした世界全体が舞台となっており、一方、従来のメビウスの輪は、1940年代のウィリアム・ハズレット・アプソンの複数の物語で巧妙な発明として使用されている。 ^[114]他のフィクション作品も、プロットの要素がひねりを効かせて繰り返されるメビウスの輪のような構造を持つと分析されている。これらには、マルセル・プルーストの『 失われた時を求めて』（1913年 - 1927年）、ルイジ・ピランデッロの『 六人の作家』（1921年）、フランク・キャプラの『素晴らしき哉、人生』（1946年）、ジョン・バースの 『迷い子』（1968年）、サミュエル・R・ディレイニーの『ダルグレン』（1975年）、映画『ドニー・ダーコ』 （2001年）などがある。^[115]

JS バッハのカノンの一つで、1974年にバッハのゴルトベルク変奏曲のコピーで発見された14のカノンのうちの5番目（BWV 1087 ）は、グライド・リフレクト対称性を備えており、カノン内の各声部は2小節前の同じモチーフを反転した音符で繰り返す。この対称性のため、このカノンはメビウスの帯に楽譜が書かれていると考えることができる。^{[116] [h]}音楽理論では、オクターブ違う音は一般に同音であると考えられており、可能な音の空間は円、つまり半音円を形成する。メビウスの帯は円上の順序付けられていない2つの点の配置空間であるため、 2音和音のすべての空間はメビウスの帯の形をとる。この概念、およびより多くの点への一般化は、オービフォールドの音楽理論への重要な応用である。^{[117] [118]}メビウスの輪にちなんで名付けられた現代の音楽グループには、アメリカのエレクトロニックロックトリオ、モービウス・バンド^[119]やノルウェーのプログレッシブ・ロックバンド、リング・ヴァン・メビウス^[120]などがある。

メビウスの帯とその特性は、舞台マジックのデザインに利用されてきた。アフガンバンドとして知られるそのようなトリックの1つは、メビウスの帯を縦に切っても1本の帯のままであるという事実を利用している。これは1880年代に始まり、20世紀前半に非常に人気があった。このトリックには多くのバージョンがあり、ハリー・ブラックストーン・シニアやトーマス・ネルソン・ダウンズなどの有名な奇術師によって演じられてきた。^{[121] [122]}

• メビウスカウンタ、出力ビットが補完されてから入力ビットにフィードバックされるシフトレジスタ
• ペンローズの三角形、その境界がメビウスの帯のように周囲を囲んでいるように見える不可能図形
• リボン理論、結び目のある空間曲線に従う極小の薄い帯の数学的理論
• スメール・ウィリアムズ・アトラクターは、空間曲線をメビウスの帯に繰り返し太らせ、それを境界エッジに置き換えることによって形成されるフラクタルである。
• 臍帯隆起