角度

2本の線が一点で曲がっている — 直交座標系上の2本の赤い光線によって形成される緑の角度

ユークリッド幾何学では、角とは、角の辺と呼ばれる2本の光線が共通の終点（角の頂点）を共有して形成される図形です。 ^{[1] 2本の光線によって形成される角度は、光線を含む}平面内にあるため、平面角 とも呼ばれます。角度は、2つの平面の交差によっても形成され、二面角と呼ばれます。交差する2本の曲線によっても角度が定義される場合があります。角度とは、交差点でそれぞれの曲線に接する光線の角度です。

角度の大きさは、角度測定または単に「角度」と呼ばれます。回転角は、円弧の長さとその半径の比として慣例的に定義される測定で、負の数になる場合があります。幾何学的な角度の場合、円弧は頂点を中心とし、辺によって区切られます。回転の場合、円弧は回転の中心を中心とし、他の任意の点とそのイメージによって回転によって区切られます。

歴史と語源

角度という語はラテン語のangulusから来ており、「角」を意味する。同義語にはギリシャ語の ἀγκύλος ( ankylοs ) （「曲がった、湾曲した」を意味する）や英語の「足首」などがある。どちらも「曲がる」や「お辞儀をする」を意味するインド・ヨーロッパ祖語の語根*ank-と関連している。^[2]

ユークリッドは平面角を、平面上で交わり、互いに対して真っ直ぐではない2本の直線の傾きと定義した。新プラトン主義の形而上学者プロクロスによれば、角度は質、量、関係のいずれかでなければならない。最初の概念である質としての角度は、ロドスのエウデモスが角度を直線からの偏差とみなして用いた。2番目の概念である質としての角度は、アンティオキアのカルプスが交差する線間の間隔または空間とみなして用いた。ユークリッドは3番目の概念である関係としての角度を採用した。^[3]

角度の特定

数学的表現では、角度の大きさを表す変数としてギリシャ文字（α、β、γ、θ、φ、…）を使用するのが一般的です^[4]（記号 $π$ は、その記号で表される定数との混同を避けるため、通常はこの目的では使用されません）。小文字のローマ字（a、 b、 c、…）も使用されます。混乱を招かない場合は、角度の頂点を表す大文字のローマ字で表すこともできます。例については、この記事の図を参照してください。

3 つの定義点は、幾何学図形の角度も特定します。たとえば、光線ABと AC (つまり、点 A から点 B と点 C を通る半直線) によって頂点 A と形成される角度は、 $∠BAC$ またはと表されます。混乱の恐れがない場合は、角度は単一の頂点のみで表すこともあります (この場合は「角度 A」)。 ${\widehat {\rm {BAC}}}$

別の言い方をすると、例えば $∠BAC$ と表記される角度は、次の 4 つの角度のいずれかを指します。A を中心とする B から C への時計回りの角度、A を中心とする B から C への反時計回りの角度、A を中心とする C から B への時計回りの角度、A を中心とする C から B への反時計回りの角度、A を中心とする C から B への反時計回りの角度です。この場合、角度を測定する方向によって符号が決まります ( § 符号付き角度を参照)。ただし、多くの幾何学的な状況では、文脈から 180 度以下の正の角度を意味していることは明らかであり、このような場合には曖昧さは生じません。それ以外の場合は、曖昧さを避けるために、たとえば $∠BAC は$ 常に A を中心とする B から C への反時計回り (正) の角度を指し、 $∠CAB は$ A を中心とする C から B への反時計回り (正) の角度を指すなど、特定の規則が採用される場合があります。

種類

個々の角度

角度には共通の用語があり、その測定値は常に非負です（§ 符号付き角度を参照）。

0°に等しい角度、または回転していない角度をゼロ角度と呼びます。^[5]
直角よりも小さい角度（90°未満）は鋭角と呼ばれます^[6]（「鋭い」は「鋭い」という意味です）。
⁠に等しい角度1/4⁠ 回転（90°または⁠ $π$ /2⁠ラジアン) の角度は直角と呼ばれます。直角を形成する2本の線は、垂直、直交、または垂直であると言われます。^[7]
直角より大きく直線角より小さい角度（90°から180°の間）は鈍角と呼ばれます^[6]（「鈍角」は「鈍い」という意味です）。
⁠に等しい角度1/2⁠ 回転（180°または $π$ ラジアン）は直角と呼ばれます。^[5]
直角より大きく1回転未満の角度（180°～360°）を反射角と呼びます。
$1 回転 (360° または 2 π$ ラジアン)に等しい角度は、全角、完全角、円角、またはペリゴンと呼ばれます。
直角の倍数ではない角度を斜角といいます。

名前、間隔、測定単位を次の表に示します。

垂直および隣接角度ペア

2 本の直線が 1 点で交差すると、4 つの角度が形成されます。これらの角度は、互いの相対的な位置に応じて、ペアごとに名前が付けられます。

2本の直線が交差してX字型に形成される、互いに反対の角度のペアは、垂直角、反対角、垂直反対角と呼ばれます。これらはvert. opp. ∠sと略されます。^[8]

垂直に向かい合った角が等しいことは、鉛直角定理と呼ばれる。ロドスのエウデモスは、その証明をミレトスのタレスに帰した。^[9]^[10]この命題は、一対の鉛直角は両方とも隣接する角の両方の補角であるため、鉛直角は大きさが等しいことを示した。歴史的記録によると、^[10]タレスはエジプトを訪れた際、エジプト人が交差する2本の線を引くたびに、それらが等しいことを確認するために鉛直角を測定しているのを観察した。タレスは、次のような一般的な概念を受け入れれば、すべての鉛直角が等しいことを証明できると結論付けた。
- すべての直角は等しい。
- 等しいものに等しいものを足すと等しい。
- 等しいものから等しいものを引いたものは等しい。
隣接する 2 つの角が直線を形成する場合、それらの角は補角です。したがって、角Aの角度がx に等しいと仮定すると、角Cの角度は180° − xになります。同様に、角Dの角度は180° − xです。角Cと角D の角度は両方とも180° − xに等しく、合同です。角B は角Cと角D の両方に対して補角であるため、これらの角度のどちらかの角度の角度を使用して、角Bの角度を決定できます。角Cまたは角Dのいずれかの角度の角度を使用すると、角Bの角度は180° − (180° − x ) = 180° − 180° + x = xであることがわかります。したがって、角Aと角B の角度は両方ともxに等しく、角度が等しくなります。

角度AとB は隣接しています。
隣接角は、しばしばadj. ∠sと略され、共通の頂点と辺を共有するが、内部の点は共有しない角度です。言い換えると、隣り合った、または隣接した角度で、「腕」を共有しています。直角、直線角、または全角になる隣接角は特別であり、それぞれ補角、補助角、および補角と呼ばれます(以下の§ 角度のペアの組み合わせを参照)。

交差線は、一対の線（多くの場合平行）と交差する線であり、外角、内角、交互外角、交互内角、対応する角、連続する内角に関連付けられています。^[11]

角度の組み合わせ

角の加法公理は、Bが角AOCの内部にある場合、

$m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC}$

つまり、角 AOC の寸法は、角 AOB の寸法と角 BOC の寸法の合計です。

3 つの特別な角度のペアには、角度の合計が含まれます。

補角とは、その大きさの合計が1つの直角になるような角度のペアのことです（⁠1/4⁠ 90°回転、または⁠ $π$ /2⁠ラジアン）。^[12] 2つの補角が隣接している場合、それらの共有されていない辺は直角を形成します。ユークリッド幾何学では、直角三角形の2つの鋭角は補角です。三角形の内角の合計は180度で、直角は90度を占めるからです。

形容詞 complementary はラテン語のcomplementumに由来し、動詞complere (「満たす」) と関連しています。鋭角は補角によって「満たされ」、直角を形成します。

角度と直角の差は角度の補角と呼ばれます。 ^[13]

角度AとBが補完的な場合、次の関係が成り立ちます。 ${\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}$

(角度の正接はその補角の余接に等しく、その割線はその補角の余割に等しくなります。)

いくつかの三角比の名前に付いている接頭辞「co- 」は、「相補的」という言葉を指します。

角度aとb は補角です。
2つの角度を足すと直角になる（⁠1/2⁠回転、180°、 $π$ ラジアンなどの角度は補角と呼ばれます。^[14]

2つの補角が隣接している場合（つまり、共通の頂点を持ち、1つの辺だけを共有している場合）、共有されていない辺は直線を形成します。このような角度は、線状角と呼ばれます。^[15]ただし、補角は同じ線上にある必要はなく、空間的に離れている場合もあります。たとえば、平行四辺形の隣接する角は補角であり、円周四辺形（すべての頂点が1つの円上にある四辺形）の反対の角は補角です。

点 P が中心 O を持つ円の外部にあり、 P からの接線が点 T と Q で円に接する場合、∠TPQ と∠TOQ は補線です。

補角の正弦は等しくなります。補角の余弦と正弦は（定義されていない限り）大きさは等しくなりますが、符号は反対になります。

ユークリッド幾何学では、三角形の内角の合計は直角であるため、三角形の 2 つの角度の合計は 3 番目の角度の補角となります。

角度 AOB と COD は完全な角度を形成するため共役です。大きさを考慮すると、45° + 315° = 360° です。
2つの角度を足し合わせると完全な角度（1回転、360°、または2πラジアン）になり、 $これ$ を補角または共役角と呼びます。^[16]

角度と完全な角度の差は、角度の補角または角度の 共役角と呼ばれます。

多角形に関連する角度

単純多角形の一部である角度は、その単純多角形の内側にある場合、内角と呼ばれます。単純凹多角形には、少なくとも 1 つの内角、つまり反射角があります。
ユークリッド幾何学では、三角形の内角の合計はπ $ラジアン$ 、180°、または⁠1/2⁠回転; 単純な凸四辺形の内角の合計は2 $πラジアン、360°、または 1 回転になります。一般に、$ n辺の単純な凸多角形の内角の合計は( n − 2) $π$ ラジアン、つまり ( n − 2)180 度、( n − 2)2 直角、または ( n − 2) になります。1/2⁠ ターン。
内角の補角は外角と呼ばれます。つまり、内角と外角は線状の角のペアを形成します。多角形の各頂点には2つの外角があり、それぞれは頂点で交わる多角形の2辺のうちの1つを延長することによって決まります。これらの2つの角は垂直なので等しいです。外角は、多角形をトレースするために頂点で行う必要がある回転量を測定します。^[17]対応する内角が反射角である場合、外角は負のと見なす必要があります。単純でない多角形であっても、外角を定義できる場合があります。それでも、外角の符号を決定するには、平面（または表面）の方向を選択する必要があります。
ユークリッド幾何学では、単純な凸多角形の各頂点に 2 つの外角のうち 1 つだけがあると仮定した場合、その外角の合計は 1 回転 (360°) になります。ここでの外角は、補助外角と呼ぶことができます。外角は、Logo Turtle プログラムで正多角形を描画するときによく使用されます。
三角形では、２つの外角の二等分線と他の内角の二等分線は交わる（一点で交わる）。^[18]^{: 149}
三角形では、外角の二等分線と反対側の延長辺との３つの交点は同一直線上にある。^[18]^{: 149}
三角形では、内角の二等分線と対辺との交点が2つ、外角の二等分線と対辺の延長線との交点が3つあり、これらは同一直線上にある。^[18]^{: 149}
一部の著者は、単純多角形の外角という名称を、内角の補外角（補足ではない！）という意味で使用している。 ^[19]これは上記の用法と矛盾している。

平面に関する角度

2つの平面（多面体の隣接する2つの面など）の間の角度は二面角と呼ばれます。^[13]これは、平面に垂直な2本の線の間の鋭角として定義されます。
平面と交差する直線との間の角度は、交差する直線と、交差点を通り平面に垂直な直線との間の角度を 90 度から引いた値に等しくなります。

角度の測定

幾何学的な角度の大きさは、通常、一方の光線を他方の光線に写像する最小の回転の大きさによって特徴付けられます。同じ大きさの角度は、等しい、合同 である、または大きさが等しいと言われます。

円上の点を識別したり、基準方向を基準として 2 次元でオブジェクトの方向を記述するなどの一部のコンテキストでは、1回転の正確な倍数だけ異なる角度は実質的に同等です。一方、らせん曲線上の点を識別したり、基準方向を基準として 2 次元でオブジェクトの累積回転を記述するなどの他のコンテキストでは、1 回転の 0 以外の倍数だけ異なる角度は同等ではありません。

角度θを測るには、例えばコンパスを使って、その角度の頂点を中心とする円弧を描きます。円弧の長さsと円の半径rの比が角度のラジアン数です。 ^[20] 慣例的に、数学とSIでは、ラジアンは無次元単位の1に等しいものとして扱われ、通常は省略されます。 $\theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} .$

別の角度単位で表された角度は、その角度に次の形式の適切な変換定数を掛けることによって得られる。け/2π $$ ⁠、ここでk は選択した単位で表された完全な回転の測定値です (たとえば、度の場合はk = 360° 、グラジアンの場合は 400 grad )。

$\theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.$

$このように定義されたθ$ の値は円の大きさとは無関係です。半径の長さが変わると円弧の長さも同じ割合で変わるので、s / rの比は変わりません。^{[注 1]}

ユニット

歴史を通じて、角度は様々な単位で測定されてきました。これらは角度単位として知られており、最も現代的な単位は度(°)、ラジアン(rad)、グラジアン(grad) ですが、歴史を通じて他の多くの単位も使用されてきました。^[22]角度測定のほとんどの単位は、1回転(つまり、円の中心における円周によって囲まれる角度) がn単位 (ある整数nに対して) に等しいと定義されています。2つの例外は、ラジアン (およびその小数部) と直径部分です。

国際数量体系では、角度は無次元量として定義され、特にラジアン単位は無次元です。この規則は、次元解析における角度の扱い方に影響を与えます。

次の表は、角度を表すために使用されるいくつかの単位を示しています。

次元解析

$平面角はθ = s / r$ と定義されます。ここで $θ$ はラジアンで表した角度、 $s$ は円弧の長さ、 $rは半径です。1 SI ラジアンは、$ $s = r と$ なるラジアンで表した角度に対応するため、 $1 SI ラジアン = 1 m/m$ = 1 となります。 ^[28]ただし、 $rad は$ 角度を表すためにのみ使用され、一般に長さの比を表すために使用されることはありません。^[29]円扇形の面積 $θ = 2 A / r 2 を$ 使用した同様の計算では、 1 SI ラジアンは 1 m ² /m ² = 1となります。 ^{[30]重要な事実は、 SI ラジアンは}1に等しい無次元単位であるということです。SI 2019 では、 SI ラジアンはそれに応じて1 rad = 1と定義されています。^[31]数学や科学のあらゆる分野で $rad = 1$ を利用することは古くから行われている慣習である。^[32]^[33]

ジャコモ・プランドは「現状では、物理方程式の次元解析においてラジアンが幽霊のように現れたり消えたりする」と書いている。^[34]たとえば、滑車から紐で吊るされた物体は、 $y = rθ$ センチメートル上昇または下降する。ここで、 $r$ は滑車の半径（センチメートル）、 $θ は$ 滑車が回転する角度（ラジアン）である。r に θ を掛けても、 $結果$ に $単位$ ラジアンは現れない。同様に、転がる車輪の角速度の式 $ω$ $=$ $v$ $/$ $r$ $では、ラジアンはω$ の単位で現れるが、右辺には現れない。^[35]アンソニー・フレンチはこの現象を「力学の教育における永遠の問題」と呼んでいる。 [ ^36]オーバーホファーは、次元解析中にラジアンを無視し、慣習と文脈的知識に従って単位でラジアンを追加または削除するという典型的なアドバイスは「教育的に満足のいくものではない」と述べています。^[37]

1993年にアメリカ物理教師協会のメートル法委員会は、角度（rad）、角速度（rad/s）、角加速度（rad/ s ²）、ねじり剛性（N⋅m/rad）などの他の角度の測定単位を使用した場合に異なる数値が得られる場合にのみ、ラジアンを明示的に量に使用し、トルク（N⋅m）や角運動量（kg⋅m ² /s）などの量には使用しないことを規定しました。^[38]

1936年から2022年の間に少なくとも12人の科学者が、ラジアンを「平面角」の基本量（および次元）の測定の基本単位として扱う提案を行った。 ^[39]^[40]^[41]クインシーの提案のレビューでは、2種類の提案が概説されている。最初の選択肢は、半径の単位をメートル/ラジアンに変更するが、これは円の面積π $r$ $2$ $の$ 次元解析と互換性がない。もう1つの選択肢は、次元定数を導入することである。クインシーによると、このアプローチはSIに比べて「論理的に厳密」だが、「多くのよく知られた数学的および物理的方程式の修正」を必要とする。^[42]角度の次元定数は「かなり奇妙」であり、次元定数を追加するために方程式を修正する難しさは、広範囲にわたる使用を妨げる可能性が高い。^[41]

特に、クインシーは、定数 ε ₀の導入に似た方法で、1 逆ラジアン (1 rad ^{−1 ) に等しい定数} $η$ を導入するというトーレンスの提案を特定している。^[42]^[a]この変更により、円の中心を囲む角度の式 $s$ $=$ $rθは$ $s$ $=$ $ηrθ$ に修正され、角度 $θの$ 正弦のテイラー級数は次のようになる: ^[41]^[43] ここで、はラジアン単位の角度である。大文字の関数 $Sin$ は、角度の次元を持つ引数を取り、表現される単位に依存しない「完全な」関数である。^[43]一方、 $sin は$ 、引数がラジアン単位の無次元数であると想定する、純粋数に対する伝統的な関数である。 ^[44]完全な形式を意味することが明らかな場合は、大文字の記号で表記することができる。 ^[41]^[45] $\operatorname {Sin} \theta =\sin \ x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,$ $x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}$ $\operatorname {Sin}$ $\sin$

$現在のSIは、この枠組みに相対的に、 η$ $= 1$ 、または同様に1 rad = 1が成り立つと仮定される自然単位系として考えることができます。このラジアンの慣習により、数式で $η$ を省略することができます。 ^[46]

ラジアンを基本単位として定義することは、方程式が長くなるというデメリットが最小限であるソフトウェアには有用である。^[47]例えば、Boost単位ライブラリは角度の単位を次元で定義しておりplane_angle、^[48]Mathematicaの単位系も同様に角度を角度次元を持つものとみなしている。 ^[49]^[50]

符号付き角度

正と負の角度値が、何らかの基準に対して反対方向または「方向」の向きや回転を表すことを許可する規則を課すことが役立つことがよくあります。

2 次元の直交座標系では、角度は通常、原点を頂点とする 2 つの辺によって定義されます。最初の辺は正のx 軸上にあり、もう 1 つの辺または終端辺は最初の辺からのラジアン、度、または回転数で定義され、正の角度は正のy 軸に向かう回転を表し、負の角度は負のy軸に向かう回転を表します。直交座標が、 x軸が右向き、y軸が上向きで定義される標準位置によって表される場合、正の回転は反時計回り、負のサイクルでは時計回りになります。

多くの状況では、角度 - θは実質的に「1 回転マイナスθ」の角度に相当します。たとえば、-45° として表される方向は、360° - 45° または 315° として定義された方向と実質的に等しくなります。最終的な位置は同じですが、-45° の物理的な回転 (移動) は 315° の回転と同じではありません (たとえば、ほこりっぽい床にほうきを持った人の回転は、床に掃いた領域の視覚的に異なる痕跡を残します)。

3 次元幾何学では、「時計回り」と「反時計回り」には絶対的な意味がないため、正の角度と負の角度の方向は、通常、角度の頂点を通り、角度の光線が存在する平面に垂直な法線ベクトルによって決定される方向によって定義される必要があります。

ナビゲーションでは、方位角または方位は北を基準として測定されます。慣例により、上から見た場合、方位角は時計回りに正であるため、方位 45° は北東方向に相当します。ナビゲーションでは負の方位は使用されないため、北西方向は方位 315° に相当します。

等価角度

同じ大きさの角度は、等しい、または合同であると言われます。角度はその大きさによって定義され、角度の辺の長さには依存しません (たとえば、すべての直角の大きさは等しい)。
終端辺を共有しているが、大きさが回転の整数倍だけ異なる 2 つの角度を、共通終端角と呼びます。
標準位置における任意の角度θの基準角（関連角と呼ばれることもある）は、 θの終端側とx軸（正または負）の間の正の鋭角である。 ^[51]^[52]手順的には、与えられた角度に対する基準角の大きさは、角度の大きさを法として求めることで決定できる。 1/2⁠回転、180°、または $π$ ラジアン、角度が鋭角の場合は停止し、そうでない場合は補角、つまり180°から減少した大きさを引いた値を取ります。たとえば、30度の角度はすでに基準角であり、150度の角度にも30度の基準角があります（180°−150°）。210°と510°の角度も30度の基準角に対応します（210° mod 180° = 30°、510° mod 180° = 150°、その補角は30°です）。

曲線間の角度

直線と曲線の間の角度（混合角）または交差する2つの曲線の間の角度（曲線角）は、交差点における接線間の角度と定義されます。特定のケースには、さまざまな名前が付けられています（現在ではほとんど使用されていません）。両円形（ギリシャ語ἀμφί、両側、κυρτός、凸状）またはシソイド状（ギリシャ語 κισσός、ツタ）、両凸、軸索状またはシストロイド状（ギリシャ語 ξυστρίς、削るための道具）、凹凸、両凹（ギリシャ語 κοίλη、くぼみ）、または月状角、両凹。^[53]

角度の二等分と三等分

古代ギリシャの数学者は、コンパスと定規だけを使って角度を二等分する（等しい大きさの 2 つの角度に分割する）方法を知っていましたが、三等分できるのは特定の角度だけでした。1837 年、ピエールワンツェルは、この作図はほとんどの角度では実行できないことを示しました。

ドット積と一般化

ユークリッド空間では、2つのユークリッドベクトルuとvの間の角度θは、それらの内積と長さに次の式で関連付けられます。

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.$

この式は、法線ベクトルから 2 つの平面 (または曲面) 間の角度を、ベクトル方程式から斜線間の角度を簡単に見つける方法を提供します。

内積

抽象的な実内積空間における角度を定義するために、ユークリッド内積（·）を内積に置き換える。すなわち、 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.$

複素内積空間では、上記の余弦の式は実数値ではない値を与える可能性があるため、次のように置き換えられます。

$\operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.$

または、より一般的には絶対値を使用して、

$\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.$

後者の定義はベクトルの方向を無視します。したがって、ベクトルとによって張られる1次元の部分空間と間の角度を記述します。 $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {v}$

部分空間間の角度

1次元部分空間と間の角度の定義は次のように与えられる。 $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$

$\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|$

ヒルベルト空間内のは、有限次元の部分空間に拡張できます。の2 つの部分空間が与えられると、部分空間間の標準角または主角と呼ばれる角度の定義が導かれます。 ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {W}}$ $\dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l$ $k$

リーマン幾何学における角度

リーマン幾何学では、計量テンソルは2つの接線間の角度を定義するために使用されます。ここで、UとVは接線ベクトルであり、g _{ij は}計量テンソルGの成分です。

$\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.$

双曲角

双曲角は双曲関数の引数であり、円角は円関数の引数である。双曲扇形と円扇形の面積はそれぞれの場合の角度の大きさに対応するため、この比較は双曲扇形と円扇形の開口部のサイズとして視覚化できる。 ^{[54]円角とは異なり、双曲角は無制限である。円}関数と双曲関数を角度引数の無限級数として見ると、円関数は双曲関数の交互級数形式にすぎない。角度の関数に対応する2つの級数のこの比較は、レオンハルト・オイラーの『無限の解析入門』 （1748年）で説明されている。

地理学と天文学における角度

地理学では、地球上のあらゆる地点の位置は地理座標系を使用して特定できます。この座標系は、赤道と（通常は）グリニッジ子午線を基準として、地球の中心を基準とした角度であらゆる場所の緯度と経度を指定します。

天文学では、天球上の任意の点（つまり、天体の見かけの位置）は、いくつかの天文座標系のいずれかを使用して特定できます。これらの座標系の基準は、特定のシステムによって異なります。天文学者は、地球の中心を通る 2 本の線がそれぞれ 1 つの星と交差することを想定して、2 つの星の角度の分離を測定します。これらの線の間の角度と 2 つの星の角度の分離を測定できます。

地理学と天文学の両方において、視線方向は、地平線に対する高度/仰角、および北に対する方位角などの垂直角度で指定できます。

天文学者は物体の見かけの大きさを角直径として測定します。たとえば、地球から見た満月の角直径は約 0.5° です。「月の直径は半度の角度を占める」と言えます。小角の公式は、このような角度の測定値を距離/大きさの比率に変換できます。

その他の天文学的な近似値には以下のものがあります。

0.5°は地球から見た太陽と月のおおよその直径です。
1°は腕を伸ばしたときの小指の幅とほぼ同じです。
10°は、腕を伸ばした状態で握りこぶしを握ったときの幅とほぼ同じです。
20°は腕を伸ばしたときの手の幅のおおよその幅です。

これらの測定値は個々の被験者によって異なるため、上記はあくまでも大まかな目安として扱う必要があります。

天文学では、赤経と赤緯は通常、1 日 24 時間に基づく時間で表された角度単位で測定されます。

参照

注記

^しかし、このアプローチでは、角度の測定値が半径 $r の$ 変化によって変化しないという追加の証明と、「選択された測定単位」の問題が必要です。よりスムーズなアプローチは、対応する単位円弧の長さで角度を測定することです。ここで、「単位」は、実数直線上の単位セグメントに関連付けられた実数 1 という意味で無次元になるように選択できます。たとえば、Radoslav M. Dimitrić を参照してください。^[21]

^ その他の提案としては、略語「rad」（Brinsmade 1936）、表記法（Romain 1962）、定数ם（Brownstein 1997）、◁（Lévy-Leblond 1998）、k（Foster 2010）、θ _C（Quincey 2021）、（Mohr et al. 2022）などがある。 $\langle \theta \rangle$ ${\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}$

参考文献

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この記事には、現在パブリックドメインとなっている出版物のテキストが組み込まれています: ヒュー・チザム編 (1911)、「Angle」、ブリタニカ百科事典、第 2 巻 (第 11 版)、ケンブリッジ大学出版局、p. 14

外部リンク

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[22] ^しかし、このアプローチでは、角度の測定値が半径 $r の$ 変化によって変化しないという追加の証明と、「選択された測定単位」の問題が必要です。よりスムーズなアプローチは、対応する単位円弧の長さで角度を測定することです。ここで、「単位」は、実数直線上の単位セグメントに関連付けられた実数 1 という意味で無次元になるように選択できます。たとえば、Radoslav M. Dimitrić を参照してください。^[21]

[44] その他の提案としては、略語「rad」（Brinsmade 1936）、表記法（Romain 1962）、定数ם（Brownstein 1997）、◁（Lévy-Leblond 1998）、k（Foster 2010）、θ _C（Quincey 2021）、（Mohr et al. 2022）などがある。 $\langle \theta \rangle$ ${\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}$

[1] シドロフ 2001

[2] スローカム 2007

[3] チザム、1911年。ハイベルク 1908、177–178 ページ

[FOOTNOTEAboughantous201018-4] アボガンタス 2010、18ページ。

[FOOTNOTEMoser197141-5] モーザー1971、41ページより。

[FOOTNOTEGodfreySiddons19199-6] ゴッドフリー & シドンズ 1919、p. 9.

[FOOTNOTEMoser197171-7] モーザー1971、71ページ。

[tb-8] ウォン＆ウォン 2009、161-163ページ

[9] ユークリッド『原論』命題I:13.

[FOOTNOTEShuteShirkPorter196025–27-10] シュート、シャーク、ポーター 1960年、25～27頁。

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