球面三角法

球面三角法は、球面三角形の辺と角度の間の距離関係を扱う球面幾何学の分野であり、伝統的に三角関数を使用して表現されます。球面上では、測地線は大円です。球面三角法は、天文学、測地学、航海における計算に非常に重要です。

ギリシャ数学における球面三角法の起源とイスラム数学の主な発展については、『三角法の歴史と中世イスラムの数学』で詳しく論じられている。この主題は、ジョン・ネイピア、デランブルらによる重要な発展により近世に結実し、19世紀末にはトッドハンターの教科書『大学や学校での使用のための球面三角法』の出版によりほぼ完成した形となった。^[1] それ以来、ベクトル法、四元数法、数値法の応用が大きな発展を遂げてきた。

球面多角形は、球の表面上の多角形です。その辺は大円の弧であり、平面幾何学の線分に相当する球面幾何学です。

このような多角形は、1 より大きい任意の数の辺を持つことができます。2 辺の球面多角形(ルーン、二角形、双角形とも呼ばれる)は、2 つの大円弧で囲まれます。よく知られている例としては、オレンジの一部の外向きの湾曲した表面があります。3 つの弧は、この記事の主題である球面三角形を定義するために使用されます。より多くの辺を持つ多角形 (4 辺の球面四辺形、5 辺の球面五角形など) も同様の方法で定義されます。平面多角形と同様に、4 辺を超える球面多角形は常に、球面三角形の合成として扱うことができます。

興味深い特性を持つ球面多角形の 1 つに、すべての頂点が直角である 5 辺の球面星型多角形であるペンタグラマ・ミリフィクムがあります。

この記事のこの時点から、議論は球面三角形（単に三角形と呼ぶ）に限定されます。

• 三角形の頂点と頂点の角度は、同じ大文字のA、B、Cで表されます。
• 辺は小文字のa、b、cで表されます。球の半径は 1 なので、辺の長さと小文字の角度は等しくなります (円弧の長さを参照)。
• 角度A (それぞれBとC )は、 頂点Aで球面と交差する 2 つの平面間の角度、または、同等に、頂点で交わる大円弧の接線間の角度と見なすことができます。
• 角度はラジアンで表されます。真球面三角形の角度は（慣例により） π未満であるため、（Todhunter、^[1] Art.22,32）。$${\displaystyle \pi <A+B+C<3\pi }$$

特に、球面三角形の角度の合計は、ユークリッド平面上で定義された三角形の角度の合計（常に正確にπラジアン）よりも確実に大きくなります。

• 辺もラジアンで表されます。辺（大円弧とみなされます）は、中心で囲まれる角度で測定されます。単位球面上では、このラジアンの測定値は数値的に弧の長さに等しくなります。慣例により、真球面三角形の辺はπ未満であるため、（Todhunter、^[1] Art.22,32）。$${\displaystyle 0<a+b+c<2\pi }$$
• 球の半径は 1 とします。半径Rの球に関する具体的な実際的な問題では、以下に示す恒等式を使用する前に、測定された辺の長さをRで割る必要があります。同様に、単位球面上の計算の後は、辺a、b、cにRを掛ける必要があります 。

三角形△ ABCに関連付けられた極三角形は、次のように定義されます。 辺 BCを含む大円を考えます。 この大円は、直径平面と表面の交点によって定義されます。 その平面の法線を中央に描きます。法線は表面と 2 点で交差し、平面Aと同じ側にある点は (慣例的に) Aの極と呼ばれ、 A'で示されます。 点B'と点C'も同様に定義されます。

三角形△ A'B'C'は三角形△ ABCに対応する極三角形です 。非常に重要な定理 (Todhunter、^[1] Art.27) は、極三角形の角度と辺が次のように与えられることを証明しています 。したがって、 △ ABC の恒等式が証明されれば、上記の代入を行って最初の恒等式を極三角形に適用することで、すぐに 2 番目の恒等式を導くことができます。このようにして、補足の余弦方程式が余弦方程式から導かれます。同様に、四分円三角形の恒等式は直角三角形の恒等式から導くことができます。極三角形の極三角形は元の三角形です。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}}$$

余弦定理は球面三角法の基本的な恒等式です。正弦定理を含む他のすべての恒等式は余弦定理から導き出されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\\[2pt]\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\\[2pt]\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C.\end{aligned}}}$$

これらの恒等式は平面三角法の余弦定理を一般化したものであり、小さな内角の極限では漸近的に同値である。（単位球面上で、 設定などの場合。球面余弦定理を参照。） ${\displaystyle a,b,c\rightarrow 0}$${\displaystyle \sin a\approx a}$${\displaystyle \cos a\approx 1-{\frac {a^{2}}{2}}}$

球面正弦法則は、次の式で与えられます。 これらの等式は、辺が球面の半径よりもはるかに小さい場合、 平面三角法 の正弦法則に近似します。$${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$

球面余弦の公式は、もともと初等幾何学と平面余弦定理によって証明されました (Todhunter、^[1] Art.37)。彼はまた、単純な座標幾何学と平面余弦定理を使用した導出も示しています (Art.60)。ここで概説するアプローチでは、より単純なベクトル法を使用します。 (これらの方法は、球面余弦定理でも説明されています。)

原点から三角形の頂点（単位球面上）まで引かれた3 つの単位ベクトルOA →、OB →、OC →を考えます。弧BC は中心で大きさaの角度を成すため、 OB → · OC → = cos aとなります。 OA →をz軸に沿って、 OB → をxz平面でz軸と角度c をなす直交座標基底を導入します。ベクトルOC → はxy平面でONに投影され、 ONとx軸の間の角度はAです。したがって、3 つのベクトルには次の成分があります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {OA}}:&\quad (0,\,0,\,1)\\{\vec {OB}}:&\quad (\sin c,\,0,\,\cos c)\\{\vec {OC}}:&\quad (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b).\end{aligned}}}$$

スカラー積OB → · OC → は、成分に関して次のようになります。 スカラー積の 2 つの式を等しくすると、次のように なります。この式を整理すると、辺に関して角度を明示的に表すことができます。 $${\displaystyle {\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}=\sin c\sin b\cos A+\cos c\cos b.}$$$${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.}$$$${\displaystyle \cos A={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}.}$$

その他の余弦定理は巡回置換によって得られます。

この導出はTodhunter ^[1] (Art.40)に示されています。上記の cosAの恒等式と明示的な表現から 、右辺はa、b、cの巡回置換に対して不変であるため、球面正弦定理が直ちに得られます。 ${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[5pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$$

基本的な余弦定理と正弦定理、および以降のセクションで展開される他の規則を導出する方法は多数あります。たとえば、Todhunter ^[1]は余弦定理の 2 つの証明 (記事 37 と 60) と正弦定理の 2 つの証明 (記事 40 と 42) を示しています。球面余弦法則のページには、余弦定理の 4 つの異なる証明が示されています。測地学^[2]と球面天文学^[3]の教科書にはさまざまな証明が示されており、MathWorld のオンライン リソースにはさらに多くの証明が提供されています。^{[4] Banerjee [5]}のように、射影行列の線型代数を使用して公式を導出し、微分幾何学と回転の群論の手法も引用するなど、さらに変わった導出もあります。

上で示した余弦定理の導出は、単純かつ直接的という利点があり、正弦定理の導出は、余弦定理以外の別の証明が必要ないという事実を強調しています。ただし、上記の幾何学を使用して、正弦定理の独立した証明を与えることができます。スカラー三重積OA → · ( OB → × OC → )は、示されている基底でsin b sin c sin Aと評価されます。同様に、 OB →に沿ったz軸を向いた基底では、三重積OB → · ( OC → × OA → ) はsin c sin a sin Bと評価されます。したがって、巡回置換に対する三重積の不変性により、sin b sin A = sin a sin Bが得られ、これが最初の正弦定理です。この導出の詳細については、 正弦定理の曲線バリエーションを参照してください。

微分da、db、dc、dA、dB、dCのいずれか3つがわかっている場合、余弦定理を微分し正弦定理を使って得られる次の式を使用して、消去法で他の3つを計算することができます。^[6]

$${\displaystyle {\begin{aligned}da=\cos C\ db+\cos B\ dc+\sin b\ \sin C\ dA,\\db=\cos A\ dc+\cos C\ da+\sin c\ \sin A\ dB,\\dc=\cos B\ da+\cos A\ db+\sin a\ \sin B\ dC.\\\end{aligned}}}$$

極三角形に余弦定理を適用すると（Todhunter, ^[1] Art.47）、すなわちAをπ – aに、aをπ – Aなどに置き換えると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned}}}$$

三角形の 6 つの部分は、循環的に ( aCbAcB )と表記されます。コタンジェント、つまり 4 つの部分から成る公式は、2 つの辺と 2 つの角度を関連付け、三角形の周囲に4 つの連続する部分を形成します (例: ( aCbA ) またはBaCb )。このようなセットには、内側部分と外側部分があります。たとえば、セット ( BaCb ) では、内角はC、内側の辺はa、外側の角はB、外側の辺はbです。コタンジェントの規則は、(Todhunter、 ^[1] Art.44) と表記され 、考えられる 6 つの方程式は次のとおりです (関連するセットを右に示します)。 最初の公式を証明するには、最初の余弦定理から始めて、右側の項に第 3 余弦定理の cos cを代入します。 結果はsin a sin bで割ることで得られます。他の 2 つの余弦定理と同様の手法で、CT3 と CT5 が得られます。他の 3 つの方程式は、規則 1、3、および 5 を極三角形に適用することで得られます。 $${\displaystyle \cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}=\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}-\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )},}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\text{(CT1)}}&&\qquad \cos b\,\cos C&=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C\qquad &&(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&&\cos b\,\cos A&=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A&&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&&\cos c\,\cos A&=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A&&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&&\cos c\,\cos B&=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B&&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&&\cos a\,\cos B&=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B&&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&&\cos a\,\cos C&=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C&&(BaCb)\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}}$$

と​${\displaystyle 2s=(a+b+c)}$${\displaystyle 2S=(A+B+C),}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sin {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}&\qquad \qquad \sin {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\cos {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}&\cos {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}&\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}\end{alignedat}}}$$

巡回置換によりさらに 12 個の恒等式が続きます。

最初の公式の証明 (Todhunter, ^[1] Art.49) は、余弦定理を使用してA を辺で表し、2 つの余弦の和を積に置き換える恒等式から始まります。 (和と積の恒等式を参照)。2 番目の公式は恒等式から始まり、3 番目は商、剰余は結果を極三角形に適用することで得られます。 ${\displaystyle 2\sin ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1-\cos A,}$${\displaystyle 2\cos ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1+\cos A,}$

デランブル類推（ガウス類推とも呼ばれる）は、1807年から1809年にかけてデランブル、ガウス、モルワイデによって独立して出版された。^[7]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\\[2ex]{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad &{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\end{aligned}}}$$ 巡回置換によってさらに 8 つの恒等式が続きます。

分子を展開し、半角の公式を用いて証明した。（Todhunter ^[1] Art.54およびDelambre ^[8]）

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\end{aligned}}}$$

巡回置換によってさらに 8 つの恒等式が続きます。

これらの等式はデランブル公式の分割によって得られる。（トッドハンター^[1]第52条）

これらの商をとると正接の法則が得られる。これはペルシャの数学者 ナスィルッディーン・アルトゥースィー（1201-1274） によって初めて述べられた。

$${\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}}$$

球面三角形の角度の 1 つ、たとえばCがπ /2に等しい場合、上記のさまざまな恒等式は大幅に簡略化されます。集合a、b、c、A、およびBから選択された 3 つの要素に関連する恒等式は 10 個あります。

ネイピア^[9]は10個の独立した方程式を記憶するための優れた記憶補助法を提供した。この記憶法はネイピアの円またはネイピアの五角形（上図の右の円を五角形に置き換えたもの）と呼ばれている。

まず、三角形の 6 つの部分 (3 つの頂点角、3 つの辺の弧角) を、三角形のどの周回でも発生する順序で書きます。左上に示した三角形の場合、aから時計回りに進むと、 aCbAcBになります。次に、 Cに隣接していない部分(つまり、A、c、B ) をその補角に置き換え、リストから角C を削除します。残りの部分は、上図 (右) に示すように、五芒星または円の 5 つの整然とした等しいスライスとして描くことができます。隣接する 3 つの部分のいずれかを選択すると、1 つ (中央の部分) が 2 つの部分に隣接し、他の 2 つの部分と反対側になります。ネイピアの 10 の規則は次のように与えられます。

• 中央部分の正弦 = 隣接する部分の正接の積
• 中央部分の正弦 = 反対側部分の余弦の積

どの三角関数がどの部分に当てはまるかを覚えるには、その部分の最初の母音を見るのが鍵です。真ん中の部分は正弦、隣接する部分は正接、反対側の部分は余弦を取ります。例えば、aを含むセクターから始めると、次のようになります。 直角球面三角形の完全なルールセットは次のとおりです（Todhunter、^[1] Art.62） $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a&=\tan({\tfrac {\pi }{2}}-B)\,\tan b\\[2pt]&=\cos({\tfrac {\pi }{2}}-c)\,\cos({\tfrac {\pi }{2}}-A)\\[2pt]&=\cot B\,\tan b\\[4pt]&=\sin c\,\sin A.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}}$$

四分円球面三角形は、球の中心でπ /2 ラジアンの角度を成す辺を持つ球面三角形として定義されます。単位球面上では、辺の長さはπ /2 です。単位球面上で辺c の長さがπ /2 の場合、 残りの辺と角度を支配する方程式は、前のセクションの直角球面三角形の規則を、A' = π − a、a' = π − Aなどとなる辺a'、b'、c'を持つ極三角形△ A'B'C'に適用することで得られます。結果は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}}$$

2番目の余弦定理を1番目の余弦定理に代入して簡略化すると次のようになります。 sin c の因数を消去すると次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=(\cos a\,\cos c+\sin a\,\sin c\,\cos B)\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A\\[4pt]\cos a\,\sin ^{2}c&=\sin a\,\cos c\,\sin c\,\cos B+\sin b\,\sin c\,\cos A\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \cos a\sin c=\sin a\,\cos c\,\cos B+\sin b\,\cos A}$$

他の余弦および補助余弦の公式でも同様の置き換えにより、5 部構成の規則が多数得られます。これらはめったに使用されません。

最初の余弦定理にcos Aを掛けると次のように なります。 同様に最初の補足余弦定理にcos aを掛けると次のようになります。この2つ を 減算し、正弦定理に従って 、球面三角形の6つの部分間の関係である カニョーリの方程式が得られる ことに留意してください。 ^[10]$${\displaystyle \cos a\cos A=\cos b\,\cos c\,\cos A+\sin b\,\sin c-\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A.}$$$${\displaystyle \cos a\cos A=-\cos B\,\cos C\,\cos a+\sin B\,\sin C-\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a.}$$${\displaystyle \sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A=\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a}$$${\displaystyle \sin b\,\sin c+\cos b\,\cos c\,\cos A=\sin B\,\sin C-\cos B\,\cos C\,\cos a}$$

三角形を解くことが球面三角法の主な目的です。三角形の 3 つ、4 つ、または 5 つの要素が与えられれば、他の要素を決定します。5 つの要素が与えられている場合は簡単で、正弦定理を 1 回適用するだけで済みます。4 つの要素が与えられている場合は、1 つの重要なケースがあり、これについては後述します。3 つの要素が与えられている場合は、3 つの辺、2 つの辺と内角または対角、2 つの角度と内角または対辺、または 3 つの角度の 6 つのケースがあります (最後のケースは、平面三角法では類似するものがありません)。単一の方法ですべてのケースを解くことはできません。下の図は、7 つの重要なケースを示しています。各ケースで、与えられた辺は横棒でマークされ、与えられた角度は円弧でマークされています (与えられた要素は三角形の下にもリストされています)。ここでの ASA などの要約表記では、A は与えられた角度、S は与えられた辺を指し、表記法の A と S のシーケンスは、三角形内の対応するシーケンスを指します。

• ケース 1: 3 辺が与えられている (SSS)。 余弦定理を使用して角度A、B、C を求めることもできますが、あいまいさを避けるために半角の公式を使用することをお勧めします。
• ケース 2: 2 つの辺と内角が与えられています (SAS)。余弦定理により、ケース 1 に戻ります。
• ケース 3: 2 つの辺と対角が与えられます (SSA)。正弦定理によりCが得られ、ケース 7 になります。解は 1 つまたは 2 つあります。
• ケース 4: 2 つの角度と 1 つの辺が与えられている (ASA)。集合 ( cBaC ) と ( BaCb )の 4 部構成の余接公式からcとbが得られ、正弦定理からAが導かれます。
• ケース 5: 2 つの角度と対辺が与えられています (AAS)。正弦定理によりbが得られ、ケース 7 (回転) になります。解は 1 つまたは 2 つあります。
• ケース 6: 3 つの角度が与えられている (AAA)。補助余弦定理を使用して辺a、b、c を求めることもできますが、あいまいさを避けるために、半辺の公式を使用することをお勧めします。
• ケース 7: 2 つの角度と 2 つの対辺が与えられています (SSAA)。aと Aにネイピアの類推を使用するか、ケース 3 (SSA) またはケース 5 (AAS) を使用します。

ここで挙げた解法は、唯一の選択肢ではありません。他にも多くの解法があります。一般的には、角度とその補角の間に曖昧さが生じる可能性があるため、逆正弦を取らない方法を選択するのがよいでしょう。半角はπ /2 未満で曖昧さがなくなるため、半角の公式の使用が推奨されます。Todhunter に詳しい説明があります。三角形の解法#球面三角形の解法の記事では、これらの方法のバリエーションを若干異なる表記で紹介しています。

^{斜三角形の解法については、トッドハンター[1]}に詳しく論じられている。^{第6章 ロス[11]} の論じも参照のこと。ナスィルッディーン・アルトゥースィーは、球面三角法における直角三角形の6つの異なるケース（図の2～7）を初めて列挙した人物である。^[12]

別の方法としては、三角形を 2 つの直角三角形に分割する方法があります。たとえば、b、c、Bが与えられているケース 3 の例を考えてみましょう。点Dで辺BCに垂直なAから大円を作成します。ネイピアの規則を使用して三角形△ ABD を解きます。つまり、 cとB を使用して、辺ADとBD、および角度∠ BADを見つけます。次に、ネイピアの規則を使用して三角形△ ACD を解きます。つまり、ADとb を使用して、辺DC、角度Cと∠ DAC を見つけます。角度Aと辺a は加算によって求められます。

角度が 0 またはπに近づく場合など、極端な例では、得られた規則のすべてが数値的に堅牢であるとは限りません 。特に任意の三角形を解くコードを書く場合は、問題と解決策を慎重に検討する必要があるかもしれません。

N辺の球面多角形を考え 、n番目の内角をAn_で表すとします。このような多角形の面積は次のように表されます (Todhunter、^[1] Art.99)。 $${\displaystyle {{\text{Area of polygon}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E_{N}=\left(\sum _{n=1}^{N}A_{n}\right)-(N-2)\pi .}$$

角A、B、C を持つ球面三角形の場合、これはジラールの定理 に帰着します。 ここで、E は角度の合計がπラジアンを超える量であり、三角形の球面超過と呼ばれます。この定理は、その考案者であるアルバート・ジラールにちなんで名付けられました。^{[13]以前の証明は、英国の数学者}トーマス・ハリオットによって導かれましたが、公表されていませんでした。半径Rの球上では、上記の両方の面積式にR ²が掛けられます。超過の定義は、球の半径とは無関係です。 $${\displaystyle {{\text{Area of triangle}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E=E_{3}=A+B+C-\pi ,}$$

逆の結果は次のように書ける。

$${\displaystyle A+B+C=\pi +{\frac {4\pi \times {\text{Area of triangle}}}{\text{Area of the sphere}}}.}$$

三角形の面積は負にはなり得ないので、球面余剰は常に正です。角度の合計が 5 π (真角の場合は3 π ) に達することもあるため、余剰は必ずしも小さいとは限りません。たとえば、球の八分円は 3 つの直角を持つ球面三角形であるため、余剰はπ /2 です。実際の用途では、余剰は小さいことがよくあります。たとえば、測地測量の三角形の球面余剰は通常、1' 弧よりはるかに小さいです。^{[14]地球上では、辺が 21.3 km (面積 393 km 2} )の正三角形の余剰は、約 1 弧秒です。

超過分には多くの公式がある。例えば、トッドハンター^{[1] （A​​rt.101-103）は、}ルイリエの例を含む10の例を挙げている。 ここで$${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{4}}E={\sqrt {\tan {\tfrac {1}{2}}s\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-a)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-b)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-c)}}}$$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

三角形の中には辺によって特徴づけられないものもあるため（例えば、）、2つの辺とその夾角に関する余剰の公式を使用する方がよい場合が多い。 ${\textstyle a=b\approx {\frac {1}{2}}c}$$${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E={\frac {\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\sin C}{1+\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\cos C}}.}$$

三角形△ ABCがCで直角を持つ直角三角形のとき、cos C = 0、sin C = 1となるので、これは次のように簡約される。 $${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E=\tan {\tfrac {1}{2}}a\tan {\tfrac {1}{2}}b.}$$

角度の不足は双曲幾何学でも同様に定義されます。

赤道、経度と緯度の2つの子午線、および 経度と緯度の2点間の大円弧で囲まれた球面四角形の球面余りは 、${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2},}$${\displaystyle (\lambda _{1},\varphi _{1})}$${\displaystyle (\lambda _{2},\varphi _{2})}$$${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E_{4}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\lambda _{2}-\lambda _{1}).}$$

この結果はネイピアの類推の 1 つから得られます。 がすべて小さい極限では、これはよく知られた台形領域 に縮小されます。 ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}}$${\textstyle E_{4}\approx {\frac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})}$

多角形の面積は、上記のような個々の四角形から計算することも、（同様に）多角形の一部と2本の子午線で囲まれた個々の三角形から計算することも、^[15]グリーンの定理による線積分、^[16]またはGISで一般的に行われている等面積投影によって計算することもできます。他のアルゴリズムも、大圏距離の公式を使用して計算された辺の長さを使用して使用できます。

• 航空航法
• 天体航法
• 楕円体三角法
• 大圏距離または球面距離
• レナート球
• シュワルツ三角形
• 球面幾何学
• 球状多面体
• 三角測量（測量）

• Weisstein、Eric W.「球面三角法」。MathWorld。より詳細なアイデンティティのリストと、その由来
• Weisstein、Eric W.「球面三角形」。MathWorld。より詳細なアイデンティティのリストと、その由来
• TriSph 球面三角形を解くための無料ソフトウェア。さまざまな実用的なアプリケーションに合わせて設定可能で、測地基準用に構成されています。
• Sudipto Banerjee による「直交投影法による球面三角法の再検討」。この論文では、基本的な線形代数と投影行列を使用して、球面余弦法則と球面正弦法則を導出します。
• 「ジラールの定理の視覚的証明」。Wolframデモンストレーション プロジェクト。オケイ・アリック
• 「変則平面と単純平面の指導書」は、1740年に遡るアラビア語の写本で、球面三角法について図解付きで解説している。
• 球面上の多角形のためのいくつかのアルゴリズム Robert G. Chamberlain、William H. Duquette、ジェット推進研究所。この論文では、ナビゲーションと地図作成に焦点を当てて、多くの有用な公式を開発し、説明しています。
• 球面三角形のオンライン計算