グーデルマン関数

数学において、グーデルマン関数は、双曲角の測度を のグーデルマン関数と呼ばれる円角の測度に関連付け、 と表記します。^[1]グーデルマン関数は、円関数と双曲関数の間に密接な関係があることを明らかにします。これは、1760年代にヨハン・ハインリッヒ・ランバートによって導入され、後に1830年に円関数と双曲関数の関係についても説明したクリストフ・グーデルマンにちなんで名付けられました。^{[2]グーデルマン}関数は、パラメータ${\textstyle \psi }$${\textstyle \phi }$${\textstyle \psi }$${\textstyle \operatorname {gd} \psi }$ ${\textstyle \operatorname {am} (\psi ,m)}$${\textstyle m=1.}$

実グーデルマン関数は、通常、双曲正割の積分として定義されます^[3]${\textstyle -\infty <\psi <\infty }$

${\displaystyle \phi =\operatorname {gd} \psi \equiv \int _{0}^{\psi }\operatorname {sech} t\,\mathrm {d} t=\operatorname {arctan} (\sinh \psi ).}$

実逆グーデルマン関数は、（円）割線の積分として定義できる。${\textstyle -{\tfrac {1}{2}}\pi <\phi <{\tfrac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\operatorname {sec} t\,\mathrm {d} t=\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).}$

双曲角の測度はの反グーデルマン多角形、あるいは のランバート多角形と呼ばれ、^{[4]と表記される。}測地学や航海の分野では、緯度（任意の定数 でスケール）は歴史的にの子午線部分（フランス語：緯度クロワッサン）と呼ばれていた。これはメルカトル図法の鉛直座標である。 ${\displaystyle \psi =\オペレーター名 {gd} ^{-1}\phi }$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi =\オペレータ名 {lam} \phi .}$${\textstyle \phi }$${\displaystyle k\operatorname {gd} ^{-1}\phi }$${\textstyle k}$${\displaystyle \phi}$

2つの角度の測定値と共通の立体投影によって関連付けられている${\textstyle \phi }$${\textstyle \psi }$

${\displaystyle s=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ,}$

そしてこの恒等式は の代替定義として機能し、複素平面全体で有効です。 ${\textstyle \operatorname {gd} }$${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}\tan {\tfrac {1}{2}}\phi \,{\bigr )}.\end{aligned}}}$

双曲正接の積分は、変数変換として立体投影（双曲半正接）を用いて評価することができる。^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &\equiv \int _{0}^{\psi }{\frac {1}{\operatorname {cosh} t}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\tanh {\frac {1}{2}}\psi }{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}{\frac {2\,\mathrm {d} u}{1-u^{2}}}\qquad {\bigl (}u=\tanh {\tfrac {1}{2}}t{\bigr )}\\[8mu]&=2\int _{0}^{\tanh {\frac {1}{2}}\psi }{\frac {1}{1+u^{2}}}\mathrm {d} u={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )},\\[5mu]\tan {\tfrac {1}{2}}{\operatorname {gd} \psi }&=\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi .\end{aligned}}}$

とすると、の双曲関数と円関数の間にはいくつかの恒等式が導かれる^[6]。${\textstyle \phi =\オペレータ名 {gd} \psi }$${\textstyle s=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }$${\textstyle \psi }$${\textstyle \phi .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ,\\[6mu]{\frac {2s}{1+s^{2}}}&=\sin \phi =\tanh \psi ,\quad &{\frac {1+s^{2}}{2s}}&=\csc \phi =\coth \psi ,\\[10mu]{\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}&=\cos \phi =\operatorname {sech} \psi ,\quad &{\frac {1+s^{2}}{1-s^{2}}}&=\sec \phi =\cosh \psi ,\\[10mu]{\frac {2s}{1-s^{2}}}&=\tan \phi =\sinh \psi ,\quad &{\frac {1-s^{2}}{2s}}&=\cot \phi =\operatorname {csch} \psi .\\[8mu]\end{aligned}}}$

これらは、およびの実数値に対する式としてよく使用されます。たとえば、数値的に適切な式 ${\displaystyle \operatorname {gd} }$${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &=\operatorname {arctan} (\sinh \psi ),\\[6mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &=\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).\end{aligned}}}$

（注意：複素引数については、逆関数の分岐を選択する際に注意が必要である。） ^[7]${\displaystyle |\phi |>{\tfrac {1}{2}}\pi }$

とを次のように表現することもできます。${\textstyle \psi }$${\textstyle \phi }$${\textstyle s\colon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\arctan s&=\phi =\operatorname {gd} \psi ,\\[6mu]2\operatorname {artanh} s&=\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\psi .\\[6mu]\end{aligned}}}$

および を指数関数について展開すると、 および はすべて互いのメビウス変換であることがわかります（具体的には、リーマン球面の回転）。 ${\textstyle \tan {\tfrac {1}{2}}}$${\textstyle \tanh {\tfrac {1}{2}}}$${\textstyle s,}$ ${\displaystyle \exp \phi i,}$${\displaystyle \exp \psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=i{\frac {1-e^{\phi i}}{1+e^{\phi i}}}={\frac {e^{\psi }-1}{e^{\psi }+1}},\\[10mu]i{\frac {s-i}{s+i}}&=\exp \phi i\quad ={\frac {e^{\psi }-i}{e^{\psi }+i}},\\[10mu]{\frac {1+s}{1-s}}&=i{\frac {i+e^{\phi i}}{i-e^{\phi i}}}\,=\exp \psi .\end{aligned}}}$

の実数値と の条件で、これらのメビウス変換は三角関数を用いていくつかの方法で記述できる。 ${\textstyle \psi }$${\textstyle \phi }$${\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp \psi &=\sec \phi +\tan \phi =\tan {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi +\phi {\bigr )}\\[6mu]&={\frac {1+\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }}={\sqrt {\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}},\\[12mu]\exp \phi i&=\operatorname {sech} \psi +i\tanh \psi =\tanh {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\pi i+\psi {\bigr )}\\[6mu]&={\frac {1+i\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }{1-i\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }}={\sqrt {\frac {1+i\sinh \psi }{1-i\sinh \psi }}}.\end{aligned}}}$

これらは、実引数に対するおよびに対するさらなる表現を与える。例えば、^[8]${\displaystyle \operatorname {gd} }$${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$${\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &=2\arctan e^{\psi }-{\tfrac {1}{2}}\pi ,\\[6mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &=\log(\sec \phi +\tan \phi ).\end{aligned}}}$

複素変数の関数として、無限ストリップを無限ストリップに等角写像し、無限ストリップを無限ストリップに等角写像する。${\textstyle z\mapsto w=\operatorname {gd} z}$ ${\textstyle \left|\operatorname {Im} z\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi }$${\textstyle \left|\operatorname {Re} w\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi ,}$${\textstyle w\mapsto z=\operatorname {gd} ^{-1}w}$${\textstyle \left|\operatorname {Re} w\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi }$${\textstyle \left|\operatorname {Im} z\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi .}$

複素平面全体に反射して解析的に続けると、任意の無限の「高さ」ストリップをストリップに送る周期の周期関数になります。同様に、複素平面全体に拡張すると、任意の無限の「幅」ストリップをストリップに送る周期の周期関数になります。 ^[9]複素平面内のすべての点に対して、これらの関数は次のように正しく記述できます。 ${\textstyle z\mapsto w=\operatorname {gd} z}$${\textstyle 2\pi i}$${\textstyle 2\pi i}$${\textstyle -\pi <\operatorname {Re} w\leq \pi .}$${\textstyle w\mapsto z=\operatorname {gd} ^{-1}w}$${\textstyle 2\pi }$${\textstyle 2\pi }$${\textstyle -\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} z&={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}z\,{\bigr )},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}w&={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}\tan {\tfrac {1}{2}}w\,{\bigr )}.\end{aligned}}}$

関数と がこれらの拡張された定義域で可逆性を保つためには、それぞれを多価関数（おそらくと、主枝）と見なすか、それらの定義域と余領域をリーマン面と見なす必要があります。 ${\textstyle \operatorname {gd} }$${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$${\textstyle \operatorname {Gd} }$${\textstyle \operatorname {Gd} ^{-1}}$${\textstyle \operatorname {gd} }$${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$

すると、実数部と虚数部は次のように求められる。^[10]${\textstyle u+iv=\operatorname {gd} (x+iy),}$${\textstyle u}$${\textstyle v}$

${\displaystyle \tan u={\frac {\sinh x}{\cos y}},\quad \tanh v={\frac {\sin y}{\cosh x}}.}$

(実際の実装では、必ず2 つの引数の逆正接、を使用してください。)${\textstyle u=\operatorname {atan2} (\sinh x,\cos y)}$

同様に、 の場合には、成分とは次の式で求められる。^[11]${\textstyle x+iy=\operatorname {gd} ^{-1}(u+iv),}$${\textstyle x}$${\textstyle y}$

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sin u}{\cosh v}},\quad \tan y={\frac {\sinh v}{\cos u}}.}$

これらを掛け合わせると、追加の同一性が明らかになる^[8]

${\displaystyle \tanh x\,\tan y=\tan u\,\tanh v.}$

2つの関数は、正弦と双曲正弦の関係と同様の関係を持ち、互いの回転または反射として考えることができる。^[12]${\textstyle \sinh iz=i\sin z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} iz&=i\operatorname {gd} ^{-1}z,\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}iz&=i\operatorname {gd} z.\end{aligned}}}$

これらの関数は両方とも奇関数であり、複素共役と可換である。つまり、領域内で実軸または虚軸を横切る鏡映は、共役領域内で同じ鏡映をもたらす。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (-z)&=-\operatorname {gd} z,&\quad \operatorname {gd} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {gd} z}},&\quad \operatorname {gd} (-{\bar {z}})&=-{\overline {\operatorname {gd} z}},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(-z)&=-\operatorname {gd} ^{-1}z,&\quad \operatorname {gd} ^{-1}{\bar {z}}&={\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}},&\quad \operatorname {gd} ^{-1}(-{\bar {z}})&=-{\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}}.\end{aligned}}}$

関数は周期で、周期は およびです。 ${\textstyle 2\pi i}$${\textstyle 2\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+2\pi i)&=\operatorname {gd} z,\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+2\pi )&=\operatorname {gd} ^{-1}z.\end{aligned}}}$

の領域での平行移動は、半回転の回転と、の1つによる共領域での平行移動をもたらし、その逆も同様である^[13]${\textstyle \operatorname {gd} }$${\textstyle \pm \pi i}$${\textstyle \pm \pi ,}$${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}\colon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ({\pm \pi i}+z)&={\begin{cases}\pi -\operatorname {gd} z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z\geq 0,\\[5mu]-\pi -\operatorname {gd} z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z<0,\end{cases}}\\[15mu]\operatorname {gd} ^{-1}({\pm \pi }+z)&={\begin{cases}\pi i-\operatorname {gd} ^{-1}z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z\geq 0,\\[3mu]-\pi i-\operatorname {gd} ^{-1}z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z<0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

いずれかの線を横切るの領域での反射は、いずれかの線を横切る の領域での反射となり、その逆も同様である。${\textstyle \operatorname {gd} }$${\textstyle x\pm {\tfrac {1}{2}}\pi i}$${\textstyle \pm {\tfrac {1}{2}}\pi +yi,}$${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}\colon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ({\pm \pi i}+{\bar {z}})&={\begin{cases}\pi -{\overline {\operatorname {gd} z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z\geq 0,\\[5mu]-\pi -{\overline {\operatorname {gd} z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z<0,\end{cases}}\\[15mu]\operatorname {gd} ^{-1}({\pm \pi }-{\bar {z}})&={\begin{cases}\pi i+{\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z\geq 0,\\[3mu]-\pi i+{\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z<0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

これはアイデンティティに関係している

${\displaystyle \tanh {\tfrac {1}{2}}({\pi i}\pm z)=\tan {\tfrac {1}{2}}({\pi }\mp \operatorname {gd} z).}$

いくつかの具体的な値（ここでは無限ストリップの一端の限界を示す）: ^[14]${\textstyle \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (0)&=0,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\log }{\bigl (}2+{\sqrt {3}}{\bigr )}}{\bigr )}&=\pm {\tfrac {1}{3}}\pi ,\\[5mu]\operatorname {gd} (\pi i)&=\pi ,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{3}}}\pi i{\bigr )}&=\pm {\log }{\bigl (}2+{\sqrt {3}}{\bigr )}i,\\[5mu]\operatorname {gd} ({\pm \infty })&=\pm {\tfrac {1}{2}}\pi ,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}}{\bigr )}&=\pm {\tfrac {1}{4}}\pi ,\\[5mu]{\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}}\pi i{\bigr )}&=\pm \infty i,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{4}}}\pi i{\bigr )}&=\pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}i,\\[5mu]&&{\operatorname {gd} }{\bigl (}{\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}\pm {\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}&={\tfrac {1}{2}}\pi \pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}i,\\[5mu]&&{\operatorname {gd} }{\bigl (}{-\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}\pm {\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}&=-{\tfrac {1}{2}}\pi \pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}i.\end{aligned}}}$

グデルマン関数と逆グデルマン関数は、それぞれ双曲正割関数と円正割関数の不定関数として定義できるため、それらの導関数は次の正割関数になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {gd} z&=\operatorname {sech} z,\\[10mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {gd} ^{-1}z&=\sec z.\end{aligned}}}$

双曲的および循環的な引数加算の恒等式 を組み合わせることで、

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(z+w)&={\frac {\tanh z+\tanh w}{1+\tanh z\,\tanh w}},\\[10mu]\tan(z+w)&={\frac {\tan z+\tan w}{1-\tan z\,\tan w}},\end{aligned}}}$

円・双曲的同一性により、

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)=\tanh {\tfrac {1}{2}}z,}$

グーデルマンの引数加算恒等式は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+w)&=2\arctan {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)+\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} w)}{1+\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} w)}},\\[12mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+w)&=2\operatorname {artanh} {\frac {\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}z)+\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}w)}{1-\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}z)\,\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}w)}}.\end{aligned}}}$

さらに、引数加算恒等式は他の循環関数で記述することができるが^[15]、逆関数の分岐の選択にはより注意が必要である。特に、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+w)&=u+v,\quad {\text{where}}\ \tan u={\frac {\sinh z}{\cosh w}},\ \tan v={\frac {\sinh w}{\cosh z}},\\[10mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+w)&=u+v,\quad {\text{where}}\ \tanh u={\frac {\sin z}{\cos w}},\ \tanh v={\frac {\sin w}{\cos z}},\end{aligned}}}$

これは複素グデルマン多様体と逆グデルマン多様体の成分ごとの計算を導くために使用できる。^[16]

具体的なケースでは、二重引数の恒等式は ${\textstyle z=w,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (2z)&=2\arctan(\sin(\operatorname {gd} z)),\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(2z)&=2\operatorname {artanh} (\sinh(\operatorname {gd} ^{-1}z)).\end{aligned}}}$

ゼロ付近のテイラー級数は、複素数値に対して有効であり、 [ 17 ^]${\textstyle z}$${\textstyle |z|<{\tfrac {1}{2}}\pi ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} z&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{k}}{(k+1)!}}z^{k+1}=z-{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{5}-{\frac {61}{5040}}z^{7}+{\frac {277}{72576}}z^{9}-\dots ,\\[10mu]\operatorname {gd} ^{-1}z&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|E_{k}|}{(k+1)!}}z^{k+1}=z+{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{5}+{\frac {61}{5040}}z^{7}+{\frac {277}{72576}}z^{9}+\dots ,\end{aligned}}}$

ここで数字はオイラー正割数、1、0、-1、0、5、0、-61、0、1385...（OEISのシーケンスA122045、A000364、およびA028296）です。これらの数列は1671年にジェームズ・グレゴリーによって初めて計算されました。^[18]${\textstyle E_{k}}$

グデルマン関数と逆グデルマン関数は双曲正割関数と正割関数の積分であるため、分子と はそれぞれsechとsecのテイラー級数の分子と同じですが、1 桁ずれています。 ${\textstyle E_{k}}$${\textstyle |E_{k}|}$

約分された符号なし分子は 1、1、1、61、277、... であり、約分された分母は 1、6、24、5040、72576、... です ( OEISのシーケンス A091912 および A136606 )。

関数とその逆関数はメルカトル図法に関連しています。メルカトル図法の垂直座標は等角緯度と呼ばれ、次のように表記されることが多いです。球面上の緯度（ラジアンで表す）では、等角緯度は次のように表記されます。 ${\textstyle \psi .}$ ${\textstyle \phi }$

${\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\sec t\,\mathrm {d} t.}$

等尺緯度から球面緯度への逆は、次のようになります(注:回転楕円体では、測地緯度と等尺緯度の関係は若干複雑になります)。 ${\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi .}$

ジェラルドゥス・メルカトルは1569年に有名な地図を作成したが、その正確な作成方法は明らかにされなかった。1599年、エドワード・ライトは三角関数の表から数値的にメルカトル図法を作成する方法を説明したが、閉じた公式は作成しなかった。閉じた公式は1668年にジェームズ・グレゴリーによって発表された。

グーデルマン関数自体は、 1760年代にヨハン・ハインリッヒ・ランベルトによって双曲関数と同時に導入されました。ランベルトはこれを「超越角」と呼び、1862年にアーサー・ケイリーが1830年代のクリストフ・グーデルマンの特殊関数理論の研究に敬意を表して現在の名前を与えることを提案するまで、様々な名前で呼ばれていました。 ^{[19]グーデルマンは}クレレのジャーナル に記事を発表し、後に本^[20]にまとめられ、幅広い読者にと を 解説しました（ただし、記号はとで表されます）。 ${\textstyle \sinh }$${\textstyle \cosh }$${\textstyle {\mathfrak {Sin}}}$${\textstyle {\mathfrak {Cos}}}$

この表記法はケイリーによって導入された。彼は、楕円係数がとなる退化したケースにおけるヤコビ楕円振幅をと呼ぶことから始め、は^{[21]となる。これは、}セカント関数 の積分の逆である。ケイリーの表記法を用いると、 ${\textstyle \operatorname {gd} }$${\textstyle \phi =\operatorname {gd} u}$ ${\textstyle \operatorname {am} u}$${\textstyle m=1,}$${\textstyle {\sqrt {1+m\sin \!^{2}\,\phi }}}$${\textstyle \cos \phi .}$

${\displaystyle u=\int _{0}{\frac {d\phi }{\cos \phi }}={\log \,\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\phi {\bigr )}.}$

そして彼は「超越的なものの定義」を導き出す。

${\displaystyle \operatorname {gd} u={{\frac {1}{i}}\log \,\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}ui{\bigr )},}$

「想像上の形で表現されているが、それは現実の機能である」と観察する。${\textstyle u}$

グーデルマン多様体とその逆関数は、円関数の三角関数表を双曲関数表としても機能させるために使用されました。双曲角 が与えられている場合、双曲関数は、まずグーデルマン多様体表を調べ、次に の適切な円関数を調べるか、三角関数表の補助列を直接検索することによって見つけることができます。^[22]${\textstyle \psi }$${\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi }$${\textstyle \phi }$${\textstyle \psi }$${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$

グーデルマン関数は、双曲線の 1 つの枝上の点を半円上の点にマッピングするものと考えることができます。2枚のn次元双曲面の 1 枚の点も同様に、立体投影によってn次元半球にマッピングできます。双曲空間の半球モデルは、このようなマッピングを使用して双曲空間を表します。

• 双曲幾何学における平行角関数はグーデルマン多様体の補角であり、${\displaystyle {\mathit {\Pi }}(\psi )={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} \psi .}$
• メルカトル図法では、一定の緯度の線は、緯度の反グーデルマン曲線に比例する距離で、赤道（投影上）と平行になります。
• グデルマン関数（複素引数）は横メルカトル図法を定義するために使われる。^[23]
• グーデルマン関数は倒立振り子の非周期解に現れる。^[24]
• グーデルマン関数は動的カシミール効果の動く鏡像解に現れる。^[25]
• 無限本の長さ、等距離、平行、共面、直線の電線が等電位で交互に符号が変わるように配置されている場合、電線に垂直な断面における電位分布は複素グデルマン関数となる。^[26]
• グーデルマン関数はシグモイド関数であり、機械学習の活性化関数として使用されることがあります。
• （スケーリングおよびシフトされた）グーデルマン関数は、双曲正割分布の累積分布関数です。
• グーデルマン関数に基づく関数は、渦巻き銀河の腕の形状の良いモデルを提供します。 ^[27]

• トラクトリクス
• カテナリー § 等強度カテナリー

• ペン、マイケル (2020)「グーデルマン関数!」YouTube より。