角度距離

上記の式は、球面上のAとBの任意の位置に対して有効です。天文学では、望遠鏡の視野内の星、連星、太陽系の巨大惑星の衛星など、考慮対象の天体が空で非常に近い位置にあることがよくあります。${\displaystyle \theta \ll 1}$ラジアン、つまり${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$そして${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$以上の式を展開して簡略化することができます。小角近似では、2次において、上記の式は次のようになります。

${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left[1-{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\right]}$

意味

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

したがって

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$。

とすれば${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$そして${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$二次展開では、${\displaystyle \cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$、 となることによって

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}\right]^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}}$

検出器が小さなスカイフィールド（1ラジアンよりはるかに小さい寸法）を画像化する場合、${\displaystyle y}$軸は上向きで、赤経線に平行である。${\displaystyle \alpha }$、そして${\displaystyle x}$緯線に沿った軸${\displaystyle \delta }$角度分離は次のように表すことができます。

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}}$

どこ${\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}}$そして${\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta _{B}}$。

注意${\displaystyle y}$軸は偏角に等しく、一方${\displaystyle x}$-軸は、によって変調された赤経です${\displaystyle \cos \delta _{A}}$半径の球の断面は${\displaystyle R}$赤緯（緯度）${\displaystyle \delta }$は${\displaystyle R'=R\cos \delta _{A}}$（図を参照）。