平面間の角度

直線間（平面または空間内）、2 つの平面間（二面角）、または直線と平面の間の角度の概念は、任意の次元に一般化できます。この一般化は、カミーユ・ジョーダンによって最初に議論されました。^{[1]任意の次元の}ユークリッド空間内の任意の平面のペアに対して、ユークリッド空間の等長変換で不変な相互角度の集合を定義できます。平面が交差しない場合は、それらの最短距離がもう 1 つの不変量に​​なります。^{[1]これらの角度は、}標準角度^[2]または主角度と呼ばれます。^{[3]角度の概念は}、複素数上の有限次元内積空間内の平面のペアに一般化できます。

と を- 次元ユークリッド空間における次元と の平面とします。定義により、または を平行移動しても、それらの相互角度は変化しません。 と が交差しない場合は、内の点を内の点に写像するの任意の平行移動を行うと交差します。したがって、一般性を失うことなく、 と が交差していると仮定できます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle n}$${\displaystyle E^{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

ジョーダンは、の直交座標は 次のように定義できることを示し、 と はそれぞれ次の方程式の集合で記述される。 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{\rho },}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{\sigma },}$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{\tau },}$ ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{\upsilon },}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{\alpha },}$ ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{\alpha }}$${\displaystyle E^{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle u_{1}=0,\dots ,u_{\upsilon }=0,}$

${\displaystyle v_{1}=0,\dots ,v_{\alpha }=0}$

そして

${\displaystyle x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle z_{1}=0,\dots ,z_{\tau }=0,}$

${\displaystyle v_{1}\cos \theta _{1}+w_{1}\sin \theta _{1}=0,\dots ,v_{\alpha }\cos \theta _{\alpha }+w_ {\alpha }\sin \theta _{\alpha }=0}$

と です。ジョーダンはこれらの座標を標準 と呼んでいます。定義により、角度はと の間の角度です。 ${\displaystyle 0<\theta _{i} <\pi /2,i=1,\dots ,\alpha }$${\displaystyle \theta_{i}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

非負整数は、 ${\displaystyle \rho ,\sigma ,\tau ,\upsilon ,\alpha }$

${\displaystyle \rho +\sigma +\tau +\upsilon +2\alpha =n,}$

${\displaystyle \sigma +\tau +\alpha =k,}$

${\displaystyle \sigma +\upsilon +\alpha =\ell .}$

これらの方程式で 5 つの非負整数を完全に決定するには、次元とおよび角度 の数の他に、非負整数 を指定する必要があります。これは、対応する軸がと の両方に完全に含まれる座標の数です。したがって、整数は の次元です。角度の集合に角度を追加して、がその次元を持つ ことを示すことができます。${\displaystyle n,k}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \theta_{i}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle F\cap G}$${\displaystyle \theta_{i}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle F\cap G}$

ジョーダンの証明は、複素数上の次元内積空間に置き換えても本質的に変更されずに適用される。（部分空間間の角度については、ガランタイとヘゲズによって以下の変分特徴付けの観点から一般化が議論されている。^[4]）^[1]${\displaystyle E^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

ここで、と を実数または複素数上の - 次元内積空間の部分空間とします。幾何学的には、と は平坦なので、相互角のジョルダンの定義が適用されます。任意の標準座標に対して記号が軸の単位ベクトルを表す場合、ベクトルはの正規直交基底を形成し、ベクトルはの正規直交基底を形成します。ここで ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle {\hat {\xi}}}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat {w}}_{1},\dots ,{\hat {w}}_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{1},\dots ,{\hat {z}}_{\tau }}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat {w}}'_{1},\dots ,{\hat {w}}'_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{1},\dots ,{\hat {u}}_{\upsilon }}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}={\hat {w}}_{i}\cos \theta _{i}+{\hat {v}}_{i}\sin \theta _{i},\quad i=1,\dots ,\alpha .}$

これらの基本ベクトルは標準座標に関連しているため、標準ベクトルと呼ばれることがあります。

の標準基本ベクトルを、の標準基本ベクトルをと表記すると、 次のものを除く と の任意のペアに対して内積はゼロになります。${\displaystyle a_{i},i=1,\dots ,k}$${\displaystyle F}$${\displaystyle b_{i},i=1,\dots ,l}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle {\hat {y}}_{i},{\hat {y}}_{i}\rangle =1,&&i=1,\dots ,\sigma ,\\&\langle {\hat {w}}_{i},{\hat {w}}'_{i}\rangle =\cos \theta _{i},&&i=1,\dots ,\alpha .\end{aligned}}}$

基本ベクトルを上記のように順序付けると、内積の行列は対角 になります。言い換えると、およびがおよびにおける任意の正規直交基底である場合、基底から基底への、および基底から基底への実数、直交、またはユニタリ変換により、内積行列 の特異値分解が実現されます。対角行列要素は、後者の行列の特異値です。特異値分解の一意性により、ベクトルは、それらの間の実数、直交、またはユニタリ変換を除いて一意であり、ベクトルと(したがって) は、 の共通値に関連付けられたベクトルの集合と、対応するベクトルの集合(したがって の対応する集合) に同時に適用される等しい実数、直交、またはユニタリ変換を除いて一意です。 ${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$${\displaystyle (a'_{i},i=1,\dots ,k)}$${\displaystyle (b'_{i},i=1,\dots ,\ell )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (a'_{i})}$${\displaystyle (a_{i})}$${\displaystyle (b'_{i})}$${\displaystyle (b_{i})}$${\displaystyle \langle a'_{i},b'_{j}\rangle }$${\displaystyle \langle a_{i},b_{i}\rangle }$${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$

特異値は、上で紹介した および に関連付けられた角度に対応すると解釈できます。また、特異値は、直交空間との間の直角に対応すると解釈できます。ここで、上付き文字は直交補角を表します。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \cos \,0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle F\cap G}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \cos \pi /2}$${\displaystyle F\cap G^{\bot }}$${\displaystyle F^{\bot }\cap G}$${\displaystyle \bot }$

特異値とベクトルの変分的特徴付けは、特別なケースとして、部分空間とそれに関連する正準ベクトル間の角度の変分的特徴付けを意味します。この特徴付けには、上で紹介した角度とが含まれ、角度は値の昇順に並べられます。これは、以下の代替定義の形式で表すことができます。この文脈では、主角と主ベクトルについて話すのが一般的です。^[3]${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi /2}$

を内積空間とする。の2つの部分空間が与えられたとき、主角と呼ばれる 角度の列が存在する。最初の主角は次のように定義される。${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {U}},{\mathcal {W}}}$${\displaystyle \dim({\mathcal {U}})=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=\ell }$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \cdots \leq \theta _{k}\leq \pi /2}$

${\displaystyle \theta _{1}:=\min \left\{\arccos \left(\left.{\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},w\in {\mathcal {W}}\right\}=\angle (u_{1},w_{1}),}$

ここで、は内積、 は誘導ノルムです。ベクトルと は対応する主ベクトルです。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle w_{1}}$

他の主角とベクトルは、次のように再帰的に定義されます。

${\displaystyle \theta _{i}:=\min \left\{\left.\arccos \left({\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},~w\in {\mathcal {W}},~u\perp u_{j},~w\perp w_{j}\quad \forall j\in \{1,\ldots ,i-1\}\right\}.}$

これは、主角が2 つの部分空間間の最小の角度の集合を形成し、各部分空間の主ベクトルが互いに直交することを意味します。 ${\displaystyle (\theta _{1},\ldots ,\theta _{k})}$

幾何学的には、部分空間は原点を含む平面（点、線、平面など）であるため、任意の 2 つの部分空間は少なくとも原点で交差します。2 つの 2 次元部分空間および は、2 つの角度のセットを生成します。3 次元ユークリッド空間では、部分空間および は同一であるか、それらの交差が直線を形成します。前者の場合、両方とも です。後者の場合、 のみです。ここで、ベクトルおよび は交差の線上にあり、同じ方向を持ちます。角度 は、の直交補空間における部分空間との間の角度になります。3Dで 2 つの平面間の角度を想像すると、直観的に最大の角度 を思い浮かべます。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=0}$${\displaystyle \theta _{1}=0}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}$${\displaystyle \theta _{2}>0}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}$${\displaystyle \theta _{2}>0}$

4次元実座標空間R ⁴において、2次元部分空間がおよびで張られ、2次元部分空間がおよびとなる実数 およびで張られるとします。このとき、 およびは、との角度に対応する主ベクトルのペアであり、および は、 との角度に対応する主ベクトルのペアです。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle u_{1}=(1,0,0,0)}$${\displaystyle u_{2}=(0,1,0,0)}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle w_{1}=(1,0,0,a)/{\sqrt {1+a^{2}}}}$${\displaystyle w_{2}=(0,1,b,0)/{\sqrt {1+b^{2}}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle |a|<|b|}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \cos(\theta _{1})=1/{\sqrt {1+a^{2}}}}$${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \cos(\theta _{2})=1/{\sqrt {1+b^{2}}}.}$

（またはそれ以上の）次元ユークリッド空間において、任意の角度の集合を持つ部分空間のペアを構成するには、正規直交基底を持つ部分空間を取り、それをユークリッド空間 の 正規直交基底 に完成させる。ここで、もう一方の部分空間の正規直交基底は、例えば、 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{k})}$${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle n\geq 2k}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle (\cos(\theta _{1})e_{1}+\sin(\theta _{1})e_{k+1},\ldots ,\cos(\theta _{k})e_{k}+\sin(\theta _{k})e_{2k}).}$

• 最大角度がゼロの場合、一方の部分空間は他方の部分空間のサブセットになります。
• 最大角度が の場合、一方の部分空間にもう一方の部分空間に垂直なベクトルが少なくとも 1 つ存在します。${\displaystyle \pi /2}$
• 最小の角度がゼロの場合、部分空間は少なくとも直線で交差します。
• 最小の角度が の場合、部分空間は直交します。${\displaystyle \pi /2}$
• ゼロに等しい角度の数は、2 つの部分空間が交差する空間の次元です。

• 2つの部分空間間の非自明な角度（^[5]と異なる）は、それらの直交補空間間の非自明な角度と同じである。^{[6] [7]}${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi /2}$
• 部分空間と間の非自明な角度と、部分空間と間の対応する非自明な角度を合計すると となる。^{[6] [7]}${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}^{\perp }}$${\displaystyle \pi /2}$
• 部分空間間の角度は、主項の観点から三角不等式を満たすため、すべての部分空間の集合上の距離を定義し、その集合を距離空間に変換するために使用できます。^[8]
• 部分空間間の角度の正弦は、主項に関して三角不等式を満たすため、すべての部分空間の集合上の距離を定義し、その集合を距離空間に変換するために使用できます。^[6]たとえば、最大角度の正弦は部分空間間のギャップとして知られています。^[9]

角度の概念といくつかの変分特性は、任意の内積^[10]や無限次元の部分空間^[7]に自然に拡張することができます。

歴史的に、主角と主ベクトルは、正準相関の文脈で初めて登場し、もともとは対応する共分散行列のSVD を使用して計算されていました。しかし、^[3]で最初に指摘されたように、正準相関は主角のコサインと関連しており、これは小さな角度に対しては条件が悪く、有限精度のコンピュータ演算では相関の高い主ベクトルの計算が非常に不正確になります。正弦ベースのアルゴリズム^[3]はこの問題を修正しますが、正弦関数はπ /2に近い角度に対して条件が悪いため、相関の低い主ベクトルの計算が非常に不正確になるという新たな問題が生じます。主角の全範囲に対してコンピュータ演算で正確な主ベクトルを生成するために、組み合わせた手法^[10]では、まず従来のコサインベースのアプローチを使用してすべての主角とベクトルを計算し、次にπ /4より小さい主角と対応する主ベクトルを正弦ベースのアプローチを使用して再計算します。^[3]複合技術^[10]はオープンソースライブラリOctave ^[11]とSciPy ^[12]に実装されており、MATLABにも^[13]と ^[14]が貢献している。

• 特異値分解
• 正準相関