横断的（幾何学）

幾何学において、横断線とは、同一平面上の2本の直線を2つの異なる点で通過する 直線のことです。横断線は、ユークリッド平面上の2本以上の直線が平行であるかどうかを判断する上で重要な役割を果たします。横断線と2本の直線の交点からは、対頂角、同側内角、同側外角、同位角、錯角、錯角、線形対角など、さまざまな種類の角のペアが生まれます。ユークリッドの平行線公準によれば、2本の直線が平行であれば、同側角と線形対角は補角の関係にあり、同位角、錯角、対頂角は等しくなります。通常、横断線は平行です。

横断線は、左上のグラフに示すように、8つの角を生み出します。

• 4 は、2 つの線それぞれ、すなわち α、β、γ、δ と、α ₁、β ₁、γ ₁、δ ₁とします。
• そのうち4つは内部（2つの線の間）にあり、α、β、γ1 _、 δ1_であり、残りの4つは外部にあり、α1 _、 β1 _、 γ、δである。

2本の平行線を直角に切る横断線は垂直横断線と呼ばれます。この場合、8つの角はすべて直角です^{[ 1 ]}

線が平行な場合（これはよく考えられるケースである）、横断線によっていくつかの合同な補角が生じる。これらの角のペアには特定の名前が付けられており、以下で説明する。同位角、錯角、同側角である。^{[ 2 ] [ 3 ]：第87条}

別の角度

錯角とは、次の4組の角のことです。

• 異なる頂点を持ち、
• 横断線と反対側に位置する
• 両方の角が内角であるか、両方の角が外角である。

ある一組の角が合同（大きさが等しい）であれば、他のすべての組の角も合同である。

ユークリッドの『原論』の命題1.27は、絶対幾何学の定理（したがって双曲幾何学とユークリッド幾何学の両方で有効）であり、横断線の錯角のペアの角度が合同であれば、2つの直線は平行（交わらない）であることを証明している。

ユークリッドの平行線公準によれば、2つの直線が平行であれば、横断線の錯角のペアの角度は合同である（ユークリッド『原論』命題1.29 ）。

対応する角度

同位角とは、次の4組の角のことです。

• 異なる頂点を持ち、
• 横断線と同じ側に位置し、
• 一方の角度は内角で、もう一方は外角です。

2つの直線が平行であるのは、任意の横断線上の対応する角の2つの角が合同（大きさが等しい）である場合に限る。

ユークリッドの『原論』の命題1.28は、絶対幾何学の定理（したがって双曲幾何学とユークリッド幾何学の両方で有効）であり、横断線の対応する角のペアの角が合同であれば、2つの直線は平行（交わらない）であることを証明している。

ユークリッドの平行線公準によれば、2つの直線が平行であれば、横断線の対応する角のペアの角は合同である（ユークリッド『原論』命題1.29 ）。

対応する角の 1 つの角が合同であれば、他の各ペアの角も合同です。このページの平行線のあるさまざまな画像では、対応する角のペアは α=α ₁、β=β ₁、γ=γ ₁、δ=δ ₁です。

連続する内角

連続する内角とは、次の 2 組の角のことです。^{[ 4 ] [ 2 ]}

• 異なる頂点を持ち、
• 横断線と同じ側に位置し、
• どちらも室内です。

2つの直線が平行であるのは、任意の横断線上の隣接する2つの内角の和が補角（合計が180°）である場合に限る。

ユークリッドの『原論』の命題1.28は、絶対幾何学の定理（したがって双曲幾何学とユークリッド幾何学の両方で有効）であり、隣り合う2つの内角の角度が補角である場合、2つの直線は平行（交わらない）であることを証明している。

ユークリッドの平行線公準から、2つの直線が平行であれば、横断線の隣り合う内角のペアの角度は補角になることがわかる（ユークリッド『原論』命題1.29 ）。

隣り合う内角の1組が補角である場合、もう1組も補角となる。

一般の位置にある3つの線が三角形を形成し、横断線によって切断された場合、結果として生じる6つの線分の長さはメネラウスの定理を満たす。

ユークリッドの平行線公準は、横断線を用いて表現することができる。具体的には、横断線の同じ側の内角が2直角より小さい場合、直線は交わる。実際、ユークリッドはギリシャ語で「横断線」と訳されるのと同じ語句を用いている。^{[ 5 ]： 308、nfote 1}

ユークリッドの命題27は、横断線が2本の直線と交わり、錯角が等しい場合、それらの直線は平行であると述べている。ユークリッドはこれを背理法で証明している。直線が平行でない場合、それらは交わり、三角形が形成される。すると、錯角の1つは外角であり、もう1つの角は三角形の対角である。これは、三角形の外角は常に対角よりも大きいと述べている命題16に矛盾する。^{[ 5 ]： 307 [ 3 ]： Art.88}

ユークリッドの命題28は、この結果を2つの方法で拡張している。第一に、横断線が2つの直線と交わり、対応する角が合同であれば、それらの直線は平行である。第二に、横断線が2つの直線と交わり、横断線の同じ側の内角が補角であれば、それらの直線は平行である。これらは、交わる直線の対角が等しいこと（命題15）と、直線上の隣り合う角が補角であること（命題13）という事実を適用することで、前の命題から導かれる。プロクロスが指摘しているように、ユークリッドは平行線に関する6つの可能な基準のうち、3つしか示していない。^{[ 5 ]： 309-310 [ 3 ]： Art. 89-90}

ユークリッドの命題29は、前の2つの命題の逆である。まず、横断線が2本の平行線と交わる場合、錯角は合同である。そうでない場合、一方の角が他方の角よりも大きいため、その補角は他方の角の補角よりも小さいことになる。これは、横断線の同じ側に2つの直角よりも小さい内角が存在することを意味し、第5公準に矛盾する。命題はさらに、2本の平行線の横断線上では、同位角は合同であり、同じ側の内角は2つの直角に等しいと述べている。これらの記述は、命題28が命題27から導かれるのと同様の方法で導かれる。^{[ 5 ]： 311-312 [ 3 ]： Art. 93-95}

ユークリッドの証明は第 5 公準を本質的に利用しているが、現代の幾何学では代わりにプレイフェアの公理が用いられている。プレイフェアの公理を仮定して命題 29 を証明するには、横断線が 2 つの平行線と交わるとし、錯角が等しくないと仮定する。横断線が最初の線と交わる点を通る 3 番目の線を引くが、その角度は横断線が 2 番目の線となす角に等しい。これにより、ある点を通る 2 つの異なる線が作られ、どちらも別の線に平行になり、公理に矛盾する。^{[ 5 ] : 313 [ 6 ]}

高次元空間では、一連の直線のそれぞれと異なる点で交わる直線は、その直線の集合の横断線である。2次元（平面）の場合とは異なり、2本以上の直線の集合に対しては、横断線が存在するとは限らない。

ユークリッド3次元空間において、レギュラスとは、Rのねじれ直線の集合Rのことで、 Rの各直線上の各点を通るRの横断線が存在せず、またRの横断線上の各点を通るRの直線が存在するような集合である。レギュラスRの横断線の集合もまたレギュラスであり、反対レギュラスR₀と呼ばれる^。この空間では、互いにねじれ合う3本の直線は常にレギュラスに拡張できる。