時計の角度の問題

時計の角度の問題は、アナログ時計の針の間の角度を求める数学の問題の一種です。

時計の角度の問題は、角度と時間という 2 つの異なる測定値に関連しています。角度は通常、12 の目盛りから時計回りに度数で測定されます。時間は通常、12 時間制の時計に基づいています。

このような問題を解決する方法は、1分あたりの角度の変化率を考慮することです。通常の12時間アナログ時計の時針は12時間（720分）で360°、つまり1分あたり0.5°回転します。分針は60分で360°、つまり1分あたり6°回転します。^[1]

${\displaystyle \theta _{\text{hr}}=0.5^{\circ }\times M_{\Sigma }=0.5^{\circ }\times (60\times H+M)}$

どこ：

• θは、12度から時計回りに測った針の角度です。
• Hは時間です。
• M は時間経過の分数です。
• M _Σは12時からの分数です。${\displaystyle M_{\Sigma }=(60\times H+M)}$

${\displaystyle \theta _{\text{min.}}=6^{\circ }\times M}$

どこ：

• θ は、12 時の位置から時計回りに測定された針の角度（度）です。
• Mは分です。

時刻は 5:24 です。時針の角度は、次のとおりです。

${\displaystyle \theta _{\text{hr}}=0.5^{\circ }\times (60\times 5+24)=162^{\circ }}$

分針の角度は度単位で次のようになります。

${\displaystyle \theta _{\text{min.}}=6^{\circ }\times 24=144^{\circ }}$

手の間の角度は次の式で求められます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \theta &=\vert \theta _{\text{hr}}-\theta _{\text{min.}}\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times H+M)-6^{\circ }\times M\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times H+M)-0.5^{\circ }\times 12\times M\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times H-11\times M)\vert \\\end{aligned}}}$

どこ

• Hは時間です
• Mは分です

角度が 180 度より大きい場合は、360 度からそれを引きます。

時刻は2時20分です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \theta &=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times 2-11\times 20)\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (120-220)\vert \\&=50^{\circ }\end{aligned}}}$

時刻は10時16分です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \theta &=\vert 0.5^{\circ }\times (60\times 10-11\times 16)\vert \\&=\vert 0.5^{\circ }\times (600-176)\vert \\&=212^{\circ }\ \ (>180^{\circ })\\&=360^{\circ }-212^{\circ }\\&=148^{\circ }\end{aligned}}}$

時針と分針は、角度が同じ場合にのみ重なります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{\text{min}}&=\theta _{\text{hr}}\\\Rightarrow 6^{\circ }\times M&=0.5^{\circ }\times (60\times H+M)\\\Rightarrow 12\times M&=60\times H+M\\\Rightarrow 11\times M&=60\times H\\\Rightarrow M&={\frac {60}{11}}\times H\\\Rightarrow M&=5.{\overline {45}}\times H\end{aligned}}}$

Hは 0 から 11 までの範囲の整数です。これにより、0:00、1:05.45、2 : 10.90、3 : 16.36、4 : ​​21.81、5 :27.27、6 : 32.72、7: 38.18、8 :43.63、9 : 49.09、10 : 54.54、12 : 00の時刻が返されます。(0.45分はちょうど 27.27秒です 。)

• 時計の位置

• https://web.archive.org/web/20100615083701/http://delphiforfun.org/Programs/ Clock_angle.htm
• http://www.ldlewis.com/hospital_clock/ - 詳細な時計の角度分析
• https://web.archive.org/web/20100608044951/http://www.jimloy.com/puzz/ Clock1.htm