地平線

地平線とは、天体の表面またはその近くにいる観測者の視点から見たときに、天体の表面と空を分ける見かけの曲線です。この曲線は、天体の表面と交差するかどうかに基づいて、すべての視線方向を分割します。

真の地平線は理論上の線であり、地球の海のような比較的滑らかな表面に沿っている場合にのみ、ある程度の精度で観察できます。多くの場所でこの線は地形によって不明瞭であり、地球上では木などの生物や建物などの人間の建造物によっても不明瞭になることがあります。その結果、このような障害物と空が交差する部分が可視地平線と呼ばれます。地球上では、海岸から海を見たときに、地平線に最も近い海の部分は沖合と呼ばれます。 [ ^1]

真の地平線は観測者を取り囲み、通常は、関連する天体の完全な球形モデルの表面に描かれた円、すなわち局所接触球の小さな円であると考えられている。地球に関して、真の地平線の中心は観測者の下で海面より下にある。その半径または観測者からの水平距離は、気象条件に大きく影響される大気の屈折により、日々わずかに変化する。また、観測者の目が海面から高いほど、地平線は観測者から遠ざかる。例えば、標準的な大気条件では、目の高さが海面から 1.8 メートル (6 フィート) 上にある観測者の場合、地平線は約 4.8 キロメートル (3 マイル) の距離にある。^[2]宇宙ステーション などの非常に高い視点から観測する場合、地平線ははるかに遠く、地球の表面のはるかに広い領域を囲む。この場合、地平線は完全な円ではなくなり、特に観測者が赤道より上にいる場合は、地球の表面は球体よりも扁平楕円体としてモデル化される方が適切であるため、楕円などの平面曲線でさえなくなります。

地平線という言葉は、ギリシャ語のὁρίζων κύκλος ( horízōn kýklos )「分離する円」に由来しています。 ^[3]ここで、ὁρίζωνは、動詞ὁρίζω ( horízō )「分割する、分離する」から来ており、^[4]これはさらに、ὅρος ( hóros )「境界、目印」から来ています。^[5]

歴史的に、目に見える地平線までの距離は、特に海上では、生存と航海の成功に非常に重要でした。なぜなら、それによって観測者の最大視野範囲、ひいては通信範囲が決まり、この範囲が暗示する安全性と情報伝達に対する明らかな結果がもたらされるからです。この重要性は無線と電信の発達とともに低下しましたが、今日でも、有視界飛行規則に従って航空機を飛行させる場合、姿勢飛行と呼ばれる技術を使用して航空機を制御します。この技術では、パイロットは航空機の機首と地平線の視覚的な関係を使用して航空機を制御します。パイロットは、地平線を参照することで 空間的な方向を維持することもできます。

多くの状況、特に透視図法では、地球の曲率は無視され、地平線は、水平面上の点が観察者から遠ざかるにつれて収束する理論上の線（絵画の平面に投影された場合）であると考えられています。海面近くの観察者にとって、この幾何学的な地平線（完全に平らで無限の地面を想定）と真の地平線（球状の地球表面を想定）の違いは、肉眼では知覚できません。ただし、海を見渡す標高 1,000 メートル (3,300 フィート) の丘の上にいる人にとっては、真の地平線は水平線より約 1 度下になります。

天文学において、地平線は観測者の目から見た水平面です。地平線は水平座標系の基本平面であり、高度が 0 度の点の軌跡です。地平線は幾何学的な地平線と似ていますが、この文脈では、地平線は絵画の平面上の線ではなく、空間内の平面であると考えられます。

大気の屈折の影響を無視すると、地球の表面に近い観測者から真の地平線までの距離は約^[2]

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\,h\,R}}\,,}$

ここで、hは海抜の高さ、R は地球の半径です。

この式は次のように簡略化できます。

${\displaystyle d\approx k{\sqrt {h}}\,,}$

ここで定数はk =3.57 km/m ^½ =1.22 mi/ft ^½。この式では、地球の表面は完全な球形で、R は約 6,371 キロメートル (3,959 マイル) であると仮定されています。

大気の屈折がなく、半径 R = 6,371 キロメートル (3,959 マイル) の球形の地球であると仮定すると、次のようになります。

• h = 1.70 メートル (5 フィート 7 インチ)で地上に立っている観測者にとって、地平線は 4.7 キロメートル (2.9 マイル) の距離にあります。
• h = 2 メートル (6 フィート 7 インチ)で地面に立っている観測者にとって、地平線は 5 キロメートル (3.1 マイル) の距離にあります。
• 海抜 30 メートル (98 フィート) の丘や塔の上に立っている観測者にとって、地平線は 19.6 キロメートル (12.2 マイル) の距離にあります。
• 海抜 100 メートル (330 フィート) の丘や塔の上に立っている観測者にとって、地平線は 36 キロメートル (22 マイル) の距離にあります。
• 地上から828メートル（2,717フィート）、海抜約834メートル（2,736フィート）のブルジュ・ハリファの屋上に立つ観測者にとって、地平線は103キロメートル（64マイル）の距離にある。
• エベレスト山（標高8,848メートル（29,029フィート））の頂上にいる観測者にとって、地平線は336キロメートル（209マイル）の距離にあります。
• 通常高度 35,000 フィート (11,000 メートル) を飛行する民間旅客機に搭乗した観測者にとって、地平線は 369 キロメートル (229 マイル) の距離にあります。
• U-2 のパイロットにとって、実用高度 21,000 メートル (69,000 フィート) で飛行しているとき、地平線は 517 キロメートル (321 マイル) の距離にあります。

地球型惑星や大気の影響が無視できるその他の固体天体では、「標準観測者」にとっての地平線までの距離は、惑星の半径の平方根に比例して変化します。したがって、水星の地平線は、地球の地平線から観測者までの距離の 62% であり、火星では73%、月では 52%、ミマスでは18% となります。

地球が大気の屈折のない、特徴のない球体（扁平回転楕円体ではなく）であると仮定すると、地平線までの距離は簡単に計算できます。^[6]

接線正接定理は、

${\displaystyle \mathrm {OC} ^{2}=\mathrm {OA} \times \mathrm {OB} \,.}$

次のように置き換えてください。

• d = OC = 地平線までの距離
• D = AB = 地球の直径
• h = OB = 観測者の海抜高度
• D+h = OA = 地球の直径と観測者の海抜の高さ、

d、D、 hはすべて同じ単位で測定されます。式は次のようになります。

${\displaystyle d^{2}=h(D+h)\,\!}$

または

${\displaystyle d={\sqrt {h(D+h)}}={\sqrt {h(2R+h)}}\,,}$

ここで、R は地球の半径です。

同じ式は、ピタゴラスの定理を使っても導き出すことができます。地平線では、視線は地球に接し、地球の半径にも垂直です。これにより、半径と高さの合計が斜辺となる直角三角形が形成されます。

• d = 地平線までの距離
• h = 観測者の海抜高度
• R = 地球の半径

右の 2 番目の図を参照すると、次のようになります。

${\displaystyle (R+h)^{2}=R^{2}+d^{2}\,\!}$

${\displaystyle R^{2}+2Rh+h^{2}=R^{2}+d^{2}\,\!}$

${\displaystyle d={\sqrt {h(2R+h)}}\,.}$

上記の正確な式は次のように展開できます。

${\displaystyle d={\sqrt {2Rh+h^{2}}}\,,}$

ここで、Rは地球の半径です ( Rとh は同じ単位でなければなりません)。たとえば、衛星が高度 2000 km にある場合、地平線までの距離は 5,430 km (3,370 mi) です。括弧内の 2 番目の項を無視すると、距離は 5,048 km (3,137 mi) となり、誤差は 7% になります。

観測者が地球の表面に近い場合、項(2 R + h )のh を無視することができ、式は次のようになります。

${\displaystyle d={\sqrt {2Rh}}\,.}$

dとRにキロメートル、hにメートルを使用し、地球の半径を6371kmとすると、地平線までの距離は

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\cdot 6371\cdot {h/1000}}}\approx 3.570{\sqrt {h}}\,}$。

帝国単位系を使用し、dとRを法定マイル（陸上で一般的に使用される）とし、hをフィートとすると、地平線までの距離は

${\displaystyle d\approx {\sqrt {2\cdot 3963\cdot {h/5280}}}\approx {\sqrt {1.5h}}\approx 1.22{\sqrt {h}}}$。

dが海里、h がフィートの場合、定数係数は約 1.06 となり、これは 1 に十分近いため無視されることが多く、次のようになります。

${\displaystyle d\approx {\sqrt {h}}}$

これらの式は、 h が地球の半径 (6371 km または 3959 マイル) よりはるかに小さい場合に使用できます。これには、山頂、飛行機、高高度気球からの眺めも含まれます。定数が指定されている場合、メートル法とヤードポンド法の両方の式は 1% 以内の精度です (精度を上げる方法については、次のセクションを参照してください)。ほとんどの衛星と同様に、 h がRに関して重要な場合は、近似値は有効ではなくなり、正確な式が必要になります。

もう 1 つの関係は、地球の曲面から地平線までの弧に沿った大圏距離 sです。これは、地図上の 地理的な距離とより直接的に比較できます。

これはγをラジアンで表すと、

${\displaystyle s=R\gamma \,;}$

それから

${\displaystyle \cos \gamma =\cos {\frac {s}{R}}={\frac {R}{R+h}}\,.}$

sについて解くと

${\displaystyle s=R\cos ^{-1}{\frac {R}{R+h}}\,.}$

距離sは視線距離dで表すこともできる。右の2番目の図から、

${\displaystyle \tan \gamma ={\frac {d}{R}}\,;}$

γを代入して整理すると、

${\displaystyle s=R\tan ^{-1}{\frac {d}{R}}\,.}$

物体の高さが半径に比べて無視できるほど小さい場合（つまり、h  ≪  R）、 距離dとs はほぼ同じになります。

観測者が高度を上げている場合、地平線の天頂角は90°を超えることがあります。最大可視天頂角は、光線が地球の表面に接しているときに発生します。右図の三角形OCGから、

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {R}{R+h}}}$

ここで、は観測者の表面からの高さ、は地平線の傾斜角です。 これは地平線の天頂角と次の式で関係します。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=\gamma +90{}^{\circ }}$

高さが負でない場合、角度は常に ≥ 90° になります。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle z}$

観測者 B が地平線上の物体 L の頂点を見ることができる最大距離D _{BL を}計算するには、2 つの点から地平線までの距離をそれぞれ加算するだけです。

DBL = DB + DL_​​​

たとえば、地上に立っている高さh _{B =1.70 m の観測者 B にとって、地平線は}D _{B =4.65 km 離れています。高さ}h _L =100 mの塔の場合、地平線までの距離はD _{L =35.7 km です。したがって、海岸にいる観測者は、塔の頂上が}D _BL =40.35 km以内であれば見ることができます。逆に、船上の観測者 ( h _B =1.7  m) が近くの海岸 ( h _L =10  m) の木の頂上をちょうど見ることができる場合、その木はおそらくD _BL =16 km ほど離れていることになります。

右の図を参考に、上記の近似値を用いると、船のマストの頂上にある 見張り台から灯台の頂上が見えるようになる。

${\displaystyle D_{\mathrm {BL} }<3.57\,({\sqrt {h_{\mathrm {B} }}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L} }}})\,,}$

ここで、D _BLはキロメートル単位、h _Bとh _Lはメートル単位です。

別の例として、地面から 2 メートルの高さにある目を持つ観察者が、双眼鏡を使って遠くの建物を見ているとします。その建物は 30階建てで、各階の高さは 3.5 メートルです。観察者は見える階数を数え、10 階しかないことに気が付きます。つまり、地球の曲率によって建物の 20 階、つまり 70 メートルが隠れていることになります。このことから、観察者は建物からの距離を計算できます。

${\displaystyle D\approx 3.57({\sqrt {2}}+{\sqrt {70}})}$

約35キロメートルになります。

同様に、遠くの物体が地平線より上にどれだけ見えるかを計算することもできます。観測者の目が海抜 10 メートルにあり、20 km 離れた船を見ているとします。地平線は次のようになります。

${\displaystyle 3.57{\sqrt {10}}}$

彼からキロメートル離れており、約 11.3 キロメートル離れています。船はさらに 8.7 キロメートル離れています。観測者にちょうど見える船上の点の高さは次のように表されます。

${\displaystyle h\approx \left({\frac {8.7}{3.57}}\right)^{2}}$

これはほぼ正確に 6 メートルになります。したがって、観測者は、水面から 6 メートル以上上にある船の部分を見ることができます。この高さより下にある船の部分は、地球の曲率によって観測者から隠されています。この状況では、船はハルダウン状態にあると言われます。

大気の屈折により、目に見える地平線までの距離は、単純な幾何学的計算に基づく距離よりも長くなります。地表（または水面）がその上の空気よりも冷たい場合、冷たく濃い空気の層が地表近くに形成され、光は進むにつれて下方に屈折し、したがって、ある程度、地球の曲率を迂回します。砂漠でよくあるように、地表が上の空気よりも熱い場合は逆のことが起こり、蜃気楼が発生します。屈折のおおよその補正として、100メートルを超える距離を測定する測量士は、計算された曲率誤差から14％を差し引き、視線が地面から少なくとも1.5メートル離れていることを確認し、屈折によって生じるランダムな誤差を減らします。

もし地球が月のように空気のない世界であれば、上記の計算は正確でしょう。しかし、地球には大気があり、その密度と屈折率は温度と圧力によって大きく変わります。そのため、空気はさまざまな程度に光を屈折させ、地平線の見え方に影響を与えます。通常、地球の表面のすぐ上の空気の密度は、より高い高度での密度よりも大きくなります。そのため、屈折率はより高い高度よりも地表近くで大きくなり、ほぼ水平に進む光は下方向に屈折します。^[7]このため、地平線までの実際の距離は、幾何学的な公式で計算した距離よりも長くなります。標準的な大気状態では、その差は約 8% です。これにより、上で使用したメートル法の公式の係数 3.57 は約 3.86 に変わります。^[2]たとえば、観測者が海抜 1.70 m のところに立っていた場合、上記の簡単な幾何学的な公式によれば、地平線は 4.7 km 離れているはずです。実際、大気の屈折により、観測者は 300 メートル遠くまで見ることができ、実際の地平線は観測者から 5 km 離れたところに移動します。

この補正は、大気の状態が標準に近い場合には、かなり良い近似値として適用することができ、また多くの場合、実際に適用されている。しかし、状態が異常な場合には、この近似値は当てはまらない。屈折は温度勾配に大きく影響され、温度勾配は日によって大きく変化する可能性があり、特に水上ではその傾向が強い。極端な場合、通常は春に暖かい空気が冷たい水の上に重なると、屈折によって光が地球の表面を数百キロメートルにわたってたどることがある。反対の状態は、例えば砂漠で発生する。砂漠では地表が非常に高温になるため、高温で密度の低い空気が冷たい空気の下にある。これにより光が上方に屈折し、蜃気楼効果が生じて地平線の概念がいくぶん無意味になる。したがって、異常な条件下での屈折効果の計算値は近似値にすぎない。^[2]それでも、上記の単純な近似値よりも正確に計算する試みがなされている。

可視波長範囲外では、屈折は異なります。レーダーの場合(たとえば、波長 300 ～ 3 mm、つまり周波数 1 ～ 100 GHz)、地球の半径に 4/3 を掛けて有効半径を求めると、メートル法の式では係数 4.12 になります。つまり、レーダーの地平線は幾何学的地平線より 15% 外側、または可視光線より 7% 外側になります。4/3 係数は正確ではありません。可視光線の場合、屈折は大気の状態によって左右されるからです。

統合法 - スウィアー

大気の密度プロファイルが分かっている場合、地平線までの距離dは^{[8]で与えられる。}

${\displaystyle d={{R}_{\text{E}}}\left(\psi +\delta \right)\,,}$

ここで、R _Eは地球の半径、ψ は地平線の傾斜、δ は地平線の屈折である。傾斜は次のように簡単に求められる。

${\displaystyle \cos \psi ={\frac {{R}_{\text{E}}{\mu }_{0}}{\left({{R}_{\text{E}}}+h\right)\mu }}\,,}$

ここで、hは地球上の観測者の高さ、μは観測者の高さでの空気の屈折率、μ _{0 は}地球の表面での空気の屈折率です。

屈折は積分によって求められる。

${\displaystyle \delta =-\int _{0}^{h}{\tan \phi {\frac {{\text{d}}\mu }{\mu }}}\,,}$

ここで、は光線と地球の中心を通る線との間の角度である。角度ψとは次の関係がある。 ${\displaystyle \phi \,\!}$${\displaystyle \phi \,\!}$

${\displaystyle \phi =90{}^{\circ }-\psi \,.}$

シンプルな方法—ヤング

より単純なアプローチでは、上記の一次近似と本質的に同じ結果が得られ、幾何学モデルを使用しますが、半径R′ = 7/6 R _{E を}使用します。地平線までの距離は^[2]

${\displaystyle d={\sqrt {2R^{\prime }h}}\,.}$

地球の半径を6371kmとし、dをkm、hをmとすると、

${\displaystyle d\approx 3.86{\sqrt {h}}\,;}$

dはmi、hはftで、

${\displaystyle d\approx 1.32{\sqrt {h}}\,.}$

レーダーの場合、典型的にはR′ = 4/3 R _Eとなり、（dはkm、hはm）

${\displaystyle d\approx 4.12{\sqrt {h}}\,;}$

Young の方法による結果は Sweer の方法による結果に非常に近く、多くの目的に対して十分な精度を備えています。

地平線は、図的遠近法の科学における絵画平面の重要な特徴である。絵画平面が地面に対して垂直であり、視点Oの絵画平面への垂直投影がPであると仮定すると、地平線は P を通る水平線として定義される。点Pは、絵画に垂直な線の消失点である。地平線上の別の点Sは、 OSに平行なすべての線の消失点である。しかし、ブルック・テイラー(1719) は、 Oと地平線によって決まる地平線平面は、他の平面と同じであると指摘した。

たとえば、水平線という用語を使うと、学習者の概念が地平線の平面に限定され、その平面には特別な特権があり、その平面の図形は他のどの平面の図形よりも水平線を使って簡単に、便利に描写できると想像しがちです。…しかし、この本では、地平線の平面と他のどの平面とも区別しません… ^{[9] [10]}

遠方で平行線が収束する遠近法の特異な幾何学は、平行線が交わる無限遠点を仮定する射影幾何学の発展を促した。キルスティ・アンダーセンは著書『芸術の幾何学』（2007年）で、 1800年までの遠近法の描画と科学の発展について述べ、消失点は必ずしも地平線上にある必要はないと指摘した。ジョン・スティルウェルは「地平線」と題する章で、射影幾何学がどのようにして現代の抽象的な線交差の研究である入射幾何学につながったかを詳述した。スティルウェルはまた、「代数の法則とは何か？」と題するセクションで数学の基礎にも踏み込んだ。もともとカール・フォン・シュタウトが体の公理を導出するために提唱した「点の代数」は、20世紀に解体され、多種多様な数学的可能性を生み出した。スティルウェルは次のように述べている。

この100年前の発見は数学をひっくり返す可能性があるように思われるが、数学界にはまだ完全には受け入れられていない。幾何学を代数に変えるという傾向に逆らうだけでなく、幾何学と代数の両方がこれまで考えられていたよりも単純な基礎を持っていることを示唆している。^[11]

• ヤング、アンドリュー T.「地平線の傾斜」。グリーン フラッシュの Web サイト (セクション: 天文屈折、地平線のグループ化)。サンディエゴ州立大学天文学部。2011年4 月 16 日閲覧。