角の三等分

角度は、目盛りのない定規とコンパス以外の道具を使って、ニューシス作図によって三等分することができます。この例では、任意の角度 $θ >の三等分を示しています.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}。3π/4⁠$ 円の半径と同じ長さの定規で三等分角 $φ = ⁠ θ / 3 ⁠$ .

角の三等分は、古代ギリシャ数学における定規とコンパスによる作図の古典的な問題です。これは、目盛りのない定規とコンパスという2 つの道具だけを使用して、任意の角度の 3 分の 1 に等しい角度を作図する問題です。

1837 年、ピエール・ワンツェルは、前述のように、任意の角度に対してこの問題を解くことは不可能であることを証明しました。ただし、一部の特殊な角度は三等分できます。たとえば、直角を三等分するのは簡単です。

定規とコンパス以外の道具を使って任意の角度を三等分することは可能です。例えば、古代ギリシャ人も知っていたネウシス作図では、マークの付いた定規を同時にスライドさせながら回転させますが、これは元の道具では実現できません。他の技法は、何世紀にもわたって数学者によって開発されました。

角の三等分の問題は、定義は単純だが、解けないことを証明するには複雑であるため、素朴な愛好家による疑似数学的な解決の試みの対象として頻繁に取り上げられる。これらの「解決」には、ルールの誤った解釈が含まれているか、単に間違っていることが多い。^[1]

背景と問題の説明

ギリシャの数学者たちは、目盛りのない定規とコンパスだけを使って、線を任意の等しい線分に分割したり、平行線を引いたり、角を二等分したり、多くの多角形を作ったり、与えられた多角形の面積と同じか2倍の面積の正方形を作ったりする方法を発見しました。

3 つの問題は、角度の 3 等分、立方体の 2 倍、円の 2 乗、が難問であることが判明しました。角度の 3 等分の問題は次のとおりです。

次の 2 つのツールのみを使用して、任意の角度の 3 分の 1 に等しい角度を作成します(または、3 つの等しい角度に分割します)。

目盛りのない定規、そして
コンパス。

不可能の証明

定規。表示されている定規にはマークが付いています。理想的な定規にはマークがありません。

ピエール・ワンツェルは1837年に、任意の角度を古典的に三等分することが不可能であることの証明を発表しました。 ^[2]ワンツェルの証明は、現代の用語で言い換えると、現在ではガロア理論と組み合わされることが多い体の拡大の概念を使用しています。しかし、ワンツェルはエヴァリスト・ガロア（1830年に執筆された作品は1846年にようやく出版された）よりも早くこれらの結果を発表しており、ガロアによって導入された概念を使用していませんでした。^[3]

与えられた大きさ $θ$ の角度を作図する問題は、長さの比が $cos θ$ である 2 つの線分を作図することと同等です。これら 2 つの問題の 1 つの解から、コンパスと定規を使ってもう 1 つの問題の解を得ることができます。三角公式は、元の角度の余弦とその三等分を関連付ける式を与えます: $cos θ$ = $4 cos 3 ⁠ θ / 3 ⁠ - 3 コス ⁠ θ / 3 ⁠$ .

したがって、単位長さを持つように定義された線分が与えられた場合、角の三等分の問題は、長さが3 次多項式の根である線分を構築することと同等になります。この同等性により、元の幾何学の問題は純粋に代数的な問題に簡略化されます。

すべての有理数は構成可能です。いくつかの与えられた数から 1 つのステップで構成可能なすべての無理数は、これらの数によって生成される体における係数を持つ 2 次多項式の根です。したがって、一連のステップで構成可能な任意の数は、次数が2 の累乗である最小多項式の根です。角度 $⁠$ $π / 3 ⁠$ ラジアン（60度、60°と表記）は作図可能です。以下の議論は、20°の角度を作図することは不可能であることを示しています。これは、60°の角度を三等分できないことを意味し、したがって任意の角度を三等分できないことを意味します。

有理数の集合を $Q$ で表す。60° を 3 等分できる場合、 $Q$ 上の $cos 20°$ の最小多項式の次数は 2 の累乗になる。ここで $x$ $= cos 20°とする。cos$ $60°$ = $cos$ $⁠$ であることに注意する。 $π / 3 ⁠$ = $⁠$ $1 / 2 ⁠$ . そして三倍角の公式により、 $cos ⁠ π / 3 ⁠ = 4 x 3 - 3 x$ なので $4 x 3 - 3 x = ⁠ 1 / 2 ⁠$ . したがって $8 x 3 - 6 x - 1 = 0 です$ 。 $p (t) を$ 多項式 $p (t) = 8 t 3 - 6 t - 1$ と定義します。

$x = cos 20° は$ $p (t)$ の根なので、 $cos 20°$ の最小多項式は $p (t)$ の因数です。 $p (t)は次数 3 なので、$ $Q$ で約分できる場合は有理根を持ちます。有理根定理により、この根は $\pm1、\pm ⁠でなければなりません。 1 / 2 ⁠ 、\pm ⁠ 1 / 4 ⁠$ または $\pm ⁠ 1 / 8 ⁠$ ですが、これらはいずれも根ではありません。したがって、 $p (t) は$ $Q$ によって既約であり、 $cos 20°の最小多項式は$ $3$ 次です。

$したがって、 60°$ の角度を三等分することはできません。

三等分できる角度

ただし、一部の角度は三等分できます。たとえば、作図可能な任意の角度 $θ$ について、与えられた角度を無視して直接 $θ$ $の角度を作図することで、測度3 θ$ の角度を簡単に三等分できます。作図できないが三等分できる角度もあります (1/3 角自体は作図できませんが)。たとえば、 $⁠$ $3π / 7 ⁠ は$ そのような角度です: 5つの測定角度 $⁠$ $3π / 7 ⁠$ 測定角度を作るために組み合わせる $⁠$ $15π / 7 ⁠$ 、これは完全な円と希望の ⁠ を加えたものです $。$ $π / 7 ⁠$ .

正の整数 $N$ に対して、測定角度は $⁠$ $2π / いいえ ⁠ は$ $3で$ $N を$ 割り切れないときのみ三等分可能である。^[4]^[5] 対照的に、 $⁠$ $2π / いいえ ⁠ は$ $、 N が$ $2$ の累乗である $か、 2$ の累乗と 1 つ以上の異なるフェルマー素数の積である場合にのみ構成可能です。

代数的特徴づけ

ここでも、有理数の集合を $Q$ で表します。

定理: 測角 $θを$ 三等分できるのは、 $q$ $($ $t$ $)=4t3-3t$ $-$ $cos$ $($ $θ$ $)$ $が$ 体拡大 $Q ($ $cos$ $($ $θ$ $))$ 上で約分可能な場合のみである。

この証明は、 $60°の$ 角度は三等分できないという上記の証明を比較的簡単に一般化したものである。 ^[6]

その他の部品数

任意の非ゼロ整数 $Nについて、$ $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}2 π ⁄ N$ ラジアンの角度を定規とコンパスで $n$ 等分できるのは、 $nが$ $2$ の累乗であるか、または $2$ の累乗に 1 つ以上の異なるフェルマー素数の積を掛けたもので、そのいずれも $N を割り切れない場合に限ります。三等分（$ $n = 3$ でフェルマー素数）の場合、この条件は $N が$ $3$ で割り切れないという上記の要件になります。^[5]

その他の方法

角度の三等分という一般的な問題は、追加のツールを使用することで解決でき、それによってコンパスと定規というギリシャの本来の枠組みの外に出ることができます。

一般的な角度を三等分する誤った方法が数多く提案されている。これらの方法の中には妥当な近似値を提供するものもあるが、他の方法（その一部は以下で述べる）は古典的な問題では許されない手段を必要とする。数学者アンダーウッド・ダドリーは著書『三等分法』の中で、これらの失敗した試みのいくつかを詳述している。^[1]

連続二分法による近似

三等分は、コンパスと定規を使って角度を二等分する方法を繰り返すことで近似できます。等比級数⁠1/3⁠ = ⁠1/4⁠ + ⁠1/16⁠ + ⁠1/64⁠ + ⁠1/256⁠ + ⋯または⁠1/3⁠ = ⁠1/2⁠ − ⁠1/4⁠ + ⁠1/8⁠ − ⁠1/16⁠ + ⋯ は二分法の基底として使用できます。有限数のステップで、任意の精度の近似値を得ることができます。^[7]

折り紙を使う

三等分は、定規とコンパスでは不可能な多くの作図と同様に、紙を折る、つまり折り紙の操作によって簡単に実現できます。フジタの公理(折り畳み操作の種類) は、指定された長さの 3 次拡張 (立方根) を作成できますが、定規とコンパスでは 2 次拡張 (平方根) しか作成できません。

リンクの使用

ケンプの三等分器やシルベスターのリンクファン、アイソクリノスタットなど、角度を三等分する器具を作るために使用できる単純なリンク機構は数多くあります。 ^[8]

直角三角定規で

1932 年、ルートヴィヒビーバーバッハは、『Journal für die reine und angewandte Mathematik』に著書『Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen』を発表しました。^[9]彼はその中で次のように述べています（意訳）。

「ご存知のとおり、すべての立方体の構築は、角度の三等分と立方体の乗算、つまり 3 乗根の抽出にまで遡ることができます。私は、この 2 つの古典的な課題を直角フックを使用してどのように解決できるかを示すだけで十分です。」

作図は、三等分する角の頂点 $P$ を通り、この角の辺 $A$ を中心とし、辺との 2 番目の交点を $Bとする$ 円を描くことから始まります。P $を中心とし、同じ半径を持つ円は、$ $A$ と $O$ で辺を支える線と交差します。

ここで、直角三角定規を次の方法で図面上に配置します。直角の1 つの辺は $O を通過します。直角の頂点は、定規の 2 番目の辺が$ $A$ を中心とする円に $E$ で接するように、線 $PC$ 上の点 $S$ に配置されます。したがって、元の角度は、線 $PEと、$ $SE$ に垂直で $P$ を通る線 $PD$ によって三等分されます。この線は、再び直角三角定規を使用することも、従来の定規とコンパスの構成を使用して描くこともできます。同様の構成を使用して、 E が線 $SEと$ $A$ を通るその垂線の交点であることを利用して、 $E$ の位置を改善できます。

証明:角の等式とを証明しなければなりません。3本の線分 $OS$ 、 $PD$ 、 $AE$ は平行です。線分 $OP$ と $PA$ は等しいので、これらの 3 本の平行線は、他のすべての割線、特に共通の垂線 $SE$ 上で 2 つの等しい線分を区切ります。したがって $SD$ $'$ $=$ $D$ $'$ $E$ となり、ここで $D' は$ 線分 $PD$ と線分 $SE$ の交点です。これにより、直角三角形 $PD$ $'$ $S$ と $PD$ $'$ $E$ は合同であり、したがって最初の目的の等式が成立します。一方、三角形 $PAEは$ 二等辺三角形です。円の半径はすべて等しいからです。これはまた、これら 2 つの角度が 2 本の平行線に対する交差線の交互角であるため、次の式も成立することを意味します。これにより 2 番目に目的の等式が成立し、したがって構築の正しさが証明されます。 ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}$ ${\widehat {BPE}}={\widehat {EPD}}.$ ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},$ ${\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.$ ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$

補助曲線付き

アルキメデスの螺旋を使った三等分
マクローリン三等分線を使った三等分

三等分線と呼ばれる曲線があり、これを他の方法で平面上に描くと、任意の角度を三等分することができます。^{[10]例としては、}コリン・マクローリンの三等分線があり、これは直交座標で暗黙の方程式で与えられます。

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),

そしてアルキメデスの螺旋です。螺旋は、実際に角度を任意の数の等しい部分に分割するために使用できます。アルキメデスは、紀元前225年頃に「螺旋について」で、アルキメデスの螺旋を使用して角度を3等分する方法を説明しました。

目盛り付きの定規

ギリシャの枠組みから外れた「小さな」ステップで任意の角度を三等分する別の方法は、一定の距離を置いて 2 つの目盛りが付いた定規を使用することです。次の作図はもともとアルキメデスによるもので、ノイシス作図と呼ばれ、目盛りのない定規以外のツールを使用します。ここで使用する図では鋭角の作図を示していますが、実際には 180 度までの任意の角度に使用できます。

これには、幾何学からの 3 つの事実が必要です (右図)。

直線上の任意の角度の合計は180°になります。
任意の三角形の角度の合計は180°であり、
二等辺三角形の任意の 2 つの等しい辺は、3 番目の辺と同じ角度で交わります。

隣の図の水平線を $l$ とします。角 $a (点$ $B$ の左) が三等分の対象です。まず、角の放射状に点 $A$ を描き、 $B$ から 1 単位離します。半径 $AB$ の円を描きます。次に、定規のマークが関係してきます。定規の 1 つのマークを $A$ に、もう 1 つを $B$ に置きます。定規 (マークではなく) を $A に$ 接触させたまま、定規をスライドさせて回転させ、一方のマークが円上に、もう一方のマークが線 $l$ 上に来るようにします。円上のマークには $C$ 、線上のマークには $D という$ ラベルを付けます。これにより、 $CD$ $=$ $AB$ が保証されます。半径 $BC$ を描いて、線分 $AB$ 、 $BC$ 、および $CD が$ すべて等しい長さであることを確認します。これで、三角形 $ABC$ と $BCD は$ 二等辺三角形となり、(上記の事実 3 により) それぞれに 2 つの等しい角度があります。

仮説： $AD$ は直線であり、 $AB$ 、 $BC$ 、 $CDは$ すべて等しい長さである。

結論：角度 $b = ⁠ 1つの / 3 ⁠$ .

証拠：

上記事実1)より、°. $e+c=180$
三角形BCDを見ると、事実 2) ° からわかります。 $e+2b=180$
最後の 2 つの方程式から、. $c=2b$
したがって、。 $a=c+b=2b+b=3b$

そして定理は証明されます。

もう一度言いますが、この構築は、マークされた定規を使用することで、許可された構築の枠組みから外れています。

紐で

トーマス・ハッチソンは、コンパスと定規の代わりに紐を使った記事をMathematics Teacher^[11]に発表しました。紐は、（伸ばすことで）定規として、または（1つの点を固定して別の点を特定することで）コンパスとして使用できますが、円筒に巻き付けることもできます。これがハッチソンの解決策の鍵です。

ハッチソンは、三等分する角度から円柱を作成した。その際、角度を横切る円弧を描き、円として完成させ、その円から、たとえば正三角形 (360 度の角度を 3 つに分割したもの) が内接する円柱を作成した。次に、これを三等分する角度に「マッピング」し、相似三角形の簡単な証明を行った。

「トマホーク」で

「トマホーク」は、半円と 2 つの直交線分で構成される幾何学的形状で、短い線分の長さは円の半径に等しくなります。三等分は、トマホークの短い線分の端を一方の線に、円の端をもう一方の線に傾けて実行します。その結果、「ハンドル」(長い線分) が角度の頂点を横切ります。三等分線は、頂点と半円の中心の間を走ります。

トマホークはコンパスと定規で作ることができますが、通常、トマホークを任意の位置に作ることができるわけではありません。したがって、上記の作図は、定規とコンパスのみでは角度が三等分できないという性質と矛盾しません。

トマホークは三角定規としても使えるので、§ 直角三角定規を使った方法で角度の三等分にも使えます。

トマホークは紙を折る方法と同じ幾何学的効果を生み出します。円の中心と短いセグメントの先端の間の距離は半径の距離の 2 倍であり、角度に接触することが保証されています。これは、建築家の L 定規 (大工の定規) の使用と同等です。

相互接続されたコンパスで

角度は、本質的にはコンパスの4本爪バージョンである装置を使用して3等分することができ、爪の間の連結部は隣接する爪の間の3つの角度が等しくなるように設計されています。^[12]

角度の三等分の使用

アンドリュー・M・グリーソンの手法に基づいて、トマホーク^[13]による角の三等分法を用いて、半径が外接円の七角形をニューシス作図するアニメーション^{：p. 186} ${\overline {OA}}=6$

実係数の3次方程式は、3つの実根を持つ場合にのみ、コンパス、定規、角の三等分線を使って幾何学的に解くことができます。^[13]^{: Thm. 1}

n辺の正多角形は、r、s、k ≥ 0かつp i_が3より大きい異なる素数（つまり、3より大きいピアポント素数）である場合に限り、定規、コンパス、角の三等分線で作図できる。 ^[13]^{: Thm. 2} $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ $2^{t}3^{u}+1$

参照

参考文献

^ ab ダドリー、アンダーウッド（1994）、三等分線、アメリカ数学協会、ISBN 978-0-88385-514-0
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^ ルフィニとアーベルの初期の著作におけるワンツェルの証明の歴史的根拠と、ガロアとの相対的なタイミングについては、スモーリンスキー、クレイグ（2007年）、数学の歴史：補足、シュプリンガー、p. 130、ISBNを参照。 9780387754802。
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さらに読む

クーラント、リチャード、ハーバート・ロビンズ、イアン・スチュワート、「数学とは何か？：アイデアと方法への初歩的なアプローチ」、オックスフォード大学出版局、米国、1996年。ISBN 978-0-19-510519-3。

外部リンク

MathWorldサイト
古代の幾何学問題、角の三等分を含む
歴史
マークされた定規構造の1つのリンク
アルキメデスについて言及した別の人物
ギリシャの枠組みから外れた多くの近似と手段を含む長い記事
ジオメトリサイト

他の三等分法

アニメーションによる角度の三等分近似値、角度の最大誤差 ≈ ±4E-8°
パスカルのリマコンによる三等分（2009-10-25アーカイブ）；三等分線も参照
アルキメデスの螺旋による三等分
ニコメデスの貝殻による三等分
折り紙の使い方に関するsciencenews.orgサイト
双曲三等分と正多角形のスペクトル

[trisectors-1] ダドリー、アンダーウッド（1994）、三等分線、アメリカ数学協会、ISBN 978-0-88385-514-0

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