角変位

物体の角変位（記号θ、ϑ、またはφ）は、回転角、回転変位、または回転変位とも呼ばれ、物体が回転中心または回転軸の周りを回転（回転またはスピン）した角度（単位はラジアン、度、回転など）です。角変位には符号が付く場合があり、回転方向（時計回りか反時計回りかなど）を示します。また、回転が1回転より絶対値が大きい場合もあります。

コンテクスト

物体が一定の向きで回転する場合、その向きの動きも考慮に入れる必要があります。例えば、飛行機のヨー、ピッチ、ロールはそれぞれ異なる新しい向きを生み出します。物体の各部分は、回転するにつれて円運動をします。

最も単純なケースは、物体自体が変化しない剛体の場合です。正確には、物体内部で動く部品があったり、物体の一部が蓄積または放出されたりするのではなく、物体の運動中、すべての粒子間の距離が一定に保たれる場合です。飛行シミュレーションにおける飛行機など、多くの実際の物体は剛体として近似されます。

例

左図（または一部のモバイル版では上図）の例では、粒子または物体 P は原点Oから一定の距離rの位置にあり、反時計回りに回転しています。この場合、粒子 P の位置を極座標 ( r , θ ) で表すことが重要になります。この例では、 θの値は変化しますが、半径の値は変わりません。（直交座標 ( x , y )では、 xとyの両方が時間とともに変化します。）粒子が円に沿って移動すると、弧長sを移動します。この弧長は、次の関係式によって角度位置と関連付けられます。

s=r\theta .

定義と単位

角度変位はラジアンまたは度という単位で表すことができます。ラジアンを用いると、円周上の移動距離（円弧の長さ）と中心からの距離r （半径）との間に非常に単純な関係が得られます。

\theta ={\frac {s}{r}}\mathrm {rad}

例えば、物体が半径rの円周上を360°回転する場合、角変位は円周上の移動距離（2πr）を半径で割った値で表されます。 $\theta ={\frac {2\pi r}{r}}$ これは簡単に次のように簡略化できます。 $\theta =2\pi$ したがって、1回転は $2π$ ラジアン。

上記の定義は、国際量体系（ISQ）の一部であり、国際規格ISO 80000-3（空間と時間）^{[ 1 ]}で正式に定められ、国際単位系（SI） ^{[ 2 ]}^[³^]で採用されています。

角変位には符号が付くことがあり、回転の方向（例えば時計回り）を示します。^{[ 1 ]}また、（絶対値で）1回転よりも大きくなることもあります。ISQ/SIでは、角変位は回転数N = θ/(2π rad)を定義するために使用され、これは比率であり、したがって次元が1の量です。

三次元

3次元空間において、角変位は方向と大きさを持つ実体です。方向は回転軸を指定し、これはオイラーの回転定理によって常に存在します。大きさは、その軸を中心としたラジアン単位の回転量を指定します（方向を決定するために右手の法則を使用します）。この実体は軸角と呼ばれます。

方向と大きさはあるものの、角変位は加算の交換法則に従わないためベクトルではありません。^[⁴^]ただし、微小回転を扱う場合、2次微小は無視でき、この場合交換法則が現れます。

回転行列

回転を表す方法はいくつかあり、回転行列やオイラー角などが挙げられます。その他の方法については、SO(3)の図表を参照してください。

空間内の任意のフレームは回転行列で記述できるため、それらの間の変位も回転行列で記述できます。 $A_{0}$ そして $A_{f}$ 2つの行列から、それらの間の角度変位行列を次のように得ることができます。 $\displaystyle \Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}}$ ⁠。両方のフレーム間の差が非常に小さい場合、この積を実行すると、単位行列に近い行列が得られます。

極限においては、回転行列は無限小となる。

微小回転行列

微小回転行列または微分回転行列とは、無限に小さな回転を表す行列のことです。

回転行列は直交行列である $R^{\mathsf {T}}=R^{-1}$ 要素を表す $\mathrm {SO} (n)$ （特殊直交群）回転の微分は歪対称行列である $A^{\mathsf {T}}=-A$ 接空間において ${\mathfrak {so}}(n)$ （特殊直交リー代数）は、それ自体は回転行列ではない。

微小回転行列は次の形式をとる。

I+d\theta \,A,

どこ $I$ は単位行列です。 $dθ$ 極めて小さく、 $A\in {\mathfrak {so}}(n)$ ⁠ .

例えば、 $A=L_{x}$ ⁠ は $、 x$ 軸を中心とした微小な三次元回転を表し、の基底要素です。 ${\mathfrak {so}}(3)$ ⁠、それから

L_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},

そして

I+d\theta L_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.

微小回転行列の計算規則は、2 次以上の微小項を省略する点を除いて、通常の規則と同じです。これらの規則では、これらの行列は、微小項の通常の扱いの下での通常の有限回転行列と同じ性質をすべて満たすわけではありません。^{[ 5 ]}微小回転を適用する順序は関係ないことがわかります。

参考文献

1 2 「ISO 80000-3:2019 量と単位 - パート 3: 空間と時間」 (第 2 版)。国際標準化機構。2019 年。2019年 10 月 23 日に取得。（11ページ）
↑国際単位系（PDF）、V4.01（第9版）、国際度量衡局、2026年6月、ISBN 978-92-822-2272-0
↑ Thompson, Ambler; Taylor, Barry N. (2020-03-04) [2009-07-02]. "国際単位系の使用に関するNISTガイド、特別刊行物811" (2008年版).国立標準技術研究所. 2023-07-17に取得。
↑クレップナー、ダニエル；コレンコウ、ロバート（1973）。力学入門。マグロウヒル。pp . 288–89。ISBN 9780070350489。
↑（ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、§4.8）

情報源

ゴールドスタイン、ハーバート；プール、チャールズ P.；サフコ、ジョン L. (2002)、古典力学（第 3 版）、アディソンウェスリー、ISBN 978-0-201-65702-9
ウェダーバーン、ジョセフ・H・M（1934）、『行列に関する講義』、AMS、ISBN 978-0-8218-3204-2{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

[ISO80000-3_2019-1] 1 2 「ISO 80000-3:2019 量と単位 - パート 3: 空間と時間」 (第 2 版)。国際標準化機構。2019 年。2019年 10 月 23 日に取得。（11ページ）

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[4] クレップナー、ダニエル；コレンコウ、ロバート（1973）。力学入門。マグロウヒル。pp . 288–89。ISBN 9780070350489。

[5] （ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、§4.8）

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角変位

コンテクスト

例

定義と単位

三次元

回転行列

微小回転行列

関連項目

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関連するトピック

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回転（回転またはスピン）した