無理回転

力学系の数学理論では、無理回転は写像である。

${\displaystyle T_{\theta }:[0,1]\rightarrow [0,1],\quad T_{\theta }(x)\triangleq x+\theta \mod 1,}$

ここで、θ は無理数です。円をR / Zと同一視するか、境界点を接着した区間[0, 1]と同一視すると、この写像は、完全な回転の比率θ (つまり、 2 πθ ラジアンの角度) による円の回転になります。θは無理数なので、回転は円群内で無限の順序を持​​ち、写像T _{θ に}は周期軌道がありません。

あるいは、無理数回転に対して乗法表記法を使用して、写像を導入することもできる。

${\displaystyle T_{\theta }:S^{1}\to S^{1},\quad \quad \quad T_{\theta }(x)=xe^{2\pi i\theta }}$

加法表記と乗法表記の関係は群同型性である。

${\displaystyle \varphi :([0,1],+)\to (S^{1},\cdot )\quad \varphi (x)=xe^{2\pi i\theta }}$。

φ は等長変換であることが示せます。

円の回転には、 θが有理数か無理数かによって明確な違いがあります。有理数回転は、 およびの場合、のときとなるため、動的システムの例としてはあまり興味深いものではありません。のときとなることも示せます 。 ${\displaystyle \theta ={\frac {a}{b}}}$${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$${\displaystyle T_{\theta}^{b}(x)=x}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle T_{\theta }^{i}(x)\neq x}$${\displaystyle 1\leq i<b}$

無理回転は、力学系の理論における基本的な例です。デンジョイの定理によれば、無理回転数θを持つ円の向きを保存するすべてのC ^{2微分同相写像は、} T _θと位相的に共役です。無理回転は測度を保存するエルゴード変換ですが、混合ではありません。角度θ >を持つトーラス上のクロネッカーの葉理構造に関連付けられた力学系のポアンカレ写像は、 θによる無理回転です。無理回転に関連付けられたC* 代数は無理回転代数として知られ、広く研究されてきました。

• θが無理数の場合、回転T _θによる[0, 1]の任意の元の軌道は[0, 1]に稠密です。したがって、無理数回転は位相的に推移的です。
• 無理数回転（および有理数回転）は位相的に混合しません。
• 無理回転は一意にエルゴード的であり、ルベーグ測度が一意に不変な確率測度として機能します。
• [ a , b ] ⊂ [0, 1]と仮定します。T _θはエルゴードなので、.
  ${\displaystyle {\text{lim}}_{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}\chi _{[a,b)}(T_{\theta }^{n}(t))=ba}$

• 円回転はグループ変換の例です。
• S ¹からそれ自身への一般的な向きを保つ準同型写像fに対して、 が成り立つとき、その同相写像をfの持ち上げと呼ぶ。^[1]${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \pi \circ F=f\circ \pi }$${\displaystyle \pi (t)=t{\bmod {1}}}$
• 円の回転は、円を 2 つの部分に分割し、それらを互いに交換すると考えることができます。 3 つ以上の部分に分割し、それらを互いに入れ替えることを、区間交換変換と呼びます。
• コンパクト群の剛体回転は事実上円回転のように動作します。不変測度はハール測度です。

• 円の回転に関する歪積: 1969 年^[2]に William A. Veech は、次のように極小かつ一意にエルゴードではない力学系の例を構築しました。「単位円のコピーを 2 つ取り、それぞれに反時計回りに長さ2 παの線分J を0 で終点としてマークします。次に、θ を無理数として、次の力学系を考えます。点p、たとえば最初の円から始めます。軌道が最初にJに入るまで反時計回りに2 πθ回転させます。次に、2 番目の円の対応する点に切り替え、点が最初にJに入るまで2 πθ回転させます。最初の円に戻ります。これを繰り返します。Veech は、θが無理数の場合、この系が最小でルベーグ測度が一意にエルゴードではない無理数α が存在することを示しまし た。」^[3]

• ベルヌーイ写像
• モジュラー演算
• シーゲルディスク
• テプリッツ代数
• 位相ロック（円形マップ）
• ワイル列

• CE Silva,エルゴード理論への招待、学生数学図書館、第 42 巻、アメリカ数学会、2008 年ISBN 978-0-8218-4420-5