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無次元量、または次元が1の量[ 1 ]は、測定単位に集約できないように定義された量です。[ 2 ] [ 3 ]通常、他のシステムと一致する比率として表現されるこれらの量は、明示的に定義された単位を必要としません。たとえば、アルコール度数（ABV）は体積比を表します。その値は、ミリリットル/ミリリットル（mL/mL）などの特定の体積単位に依存しません。特性数は、除算だけでなく、乗算や指数を含む可能性のある量の組み合わせによって定義される次元が1の量です。[ 4 ]
1は無次元の基本量として認識されている。[ 5 ]ラジアンは角度測定の無次元単位として機能し、円の半径の2π倍が円周に等しいという普遍的な比率から導き出される。 [ 6 ]
無次元量は、さまざまな技術分野の微分方程式のパラメータとして重要な役割を果たします。微積分では、極限や導関数における無次元比などの概念には、しばしば無次元量が含まれます。微分幾何学では、無次元パラメータの使用は、幾何学的関係や変換において明らかです。物理学では、流体力学におけるレイノルズ数[ 7 ]、量子力学における微細構造定数[ 8 ]、相対性理論におけるローレンツ因子[ 9 ]などの無次元数に依存しています。化学では、モル分率（濃度比など）などの状態特性や比率は無次元です[ 10 ] 。
次元が 1 である無次元量は、科学において頻繁に現れ、次元解析の分野で正式に扱われます。19 世紀には、フランスの数学者ジョセフ・フーリエとスコットランドの物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルが、次元と単位の現代的な概念の重要な発展を主導しました。その後、イギリスの物理学者オズボーン・レイノルズとレイリー卿の研究は、物理学における無次元数の理解に貢献しました。レイリーの次元解析の方法に基づいて、エドガー・バッキンガムは、これらの量の性質を形式化するために、 π定理を証明しました(フランスの数学者ジョセフ・ベルトランの以前の研究とは独立して)。[ 11 ]
1900年代初頭、特に流体力学や熱伝達の分野で、多くの無次元数（主に比率）が考案された。現在では、比率の対数を（派生した）単位であるデシベル（dB）で表す方法が広く用いられている。
SI システムを「修正」して物理次元に関する混乱を減らすという提案が定期的に行われてきました。たとえば、2017 年のNatureの論説[ 12 ]では、ラジアンを物理単位として正式に定めることを主張しました。このアイデアは、ストローハル数などの確立された無次元群と、トルク(ベクトル積) とエネルギー (スカラー積) のようにたまたま同じ単位を持つ数学的に異なる実体の両方に矛盾が生じるという理由で反論されました [ 13 ]。2000年代初頭の別の例では、国際度量衡委員会が1 の単位を「uno」と命名することを議論しましたが、単に 1 に新しい SI 名を導入するというアイデアは却下されました。[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]
バッキンガムのπ定理[ 17 ]は、物理法則の妥当性が特定の単位系に依存しないことを示しています。この定理の記述は、任意の物理法則は、その法則によって結び付けられる変数の無次元の組み合わせ（比または積）のみを含む恒等式として表現できるということです（例えば、圧力と体積はボイルの法則によって結び付けられており、反比例の関係にあります）。無次元の組み合わせの値が単位系によって変化すると、その式は恒等式ではなくなり、バッキンガムの定理は成り立たなくなります。
この定理のもう一つの帰結は、ある数（例えばn）の変数間の関数的依存関係を、それらの変数に現れる独立次元の数（例えばk）だけ減らすことで、p = n − k個の独立した無次元量の集合が得られるということである。実験者にとって、無次元量によって同じ記述を共有する異なるシステムは同等である。
整数は無次元量を表すことができます。整数は無次元量を表すこともできます。より具体的には、数える数は数えられる量を表すために使用できます。[ 18 ] [ 19 ] この概念は、ISO 80000-1で数量エンティティ数(記号N )として形式化されています。[ 20 ] 例としては、粒子数や個体群サイズなどがあります。数学では、集合の「要素数」は基数と呼ばれます。数えられる名詞は、関連する言語学の概念です。ビット数などの数える数は、周波数の単位 (逆秒) と合成して、ビット/秒などのカウント率の単位を導き出すことができます。 カウントデータは、統計学における関連概念です。この概念は、完全なアイテムの分数を表すために非整数数を許可することによって一般化できます。たとえば、回転数が1/2 に等しい場合などです。
無次元量は、無次元ではないものの、数学的演算で次元が相殺される量の比として得られる。 [ 20 ] [ 21 ] 1 次元の商の例としては、傾きや単位変換係数の計算などがある。別の例としては、質量分率やモル分率があり、多くの場合、ppm (= 10 −6 )、ppb (= 10 −9 )、ppt (= 10 −12 )などの部分単位表記で表され、あるいは紛らわしいことに、2 つの同一単位 ( kg /kg またはmol /mol) の比として表される。例えば、アルコール飲料中のエタノールの濃度を表す体積アルコールは、 mL / 100 mLと表すことができる。
その他の一般的な比率は、パーセント% (= 0.01)、‰ (= 0.001) です。ターン、ラジアン、ステラジアンなどの角度の単位は、同じ種類の量の比率として定義されます。統計学では、変動係数は標準偏差と平均値の比率であり、データのばらつきを測定するために使用されます。
分子と分母の次元が等しい比率Q = A / Bとして定義される量は、実際には無次元量であり、 dim Q = dim A × dim B −1として定義される物理的次元を持つと主張されてきた。[ 22 ] 例えば、水分含有量は、体積の比率 (体積水分、m 3 ⋅m −3、次元 L 3 ⋅L −3 ) または質量の比率 (重量水分、単位 kg⋅kg −1、次元 M⋅M −1 ) として定義されることがある。どちらも無次元量であるが、次元が異なる。あるいは、次元は、 (L 3 ) 0または M 0のように、被除数の次元をゼロ乗して表すこともできる。[ 23 ]
真空中の光速、万有引力定数、プランク定数、クーロン定数、ボルツマン定数などの特定の普遍的な次元を持つ物理定数は、時間、長さ、質量、電荷、温度の適切な単位を選択すれば、1 に正規化できます。結果として得られる単位系は自然単位として知られており、特にこれら 5 つの定数に関しては、プランク単位と呼ばれます。ただし、すべての物理定数をこのように正規化できるわけではありません。たとえば、次の定数の値は単位系に依存せず、定義できず、実験的にのみ決定できます。[ 24 ]
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