双曲セクター

双曲セクターは、双曲線と原点から双曲線に向かう2 本の光線で囲まれたデカルト平面の領域です。たとえば、長方形双曲線xy = 1上の2 つの点( a , 1/ a )と( b , 1/ b )、またはこの双曲線のスケールが変更され、単位双曲線と同様に原点を中心として回転によって向きが変更された場合の対応する領域です。標準位置の双曲セクターは、 a = 1かつb > 1です。

双曲セクターは双曲関数の基礎となります。

標準位置における双曲扇形の面積はbの 自然対数です。

証明: 1/ xの下で1 からbまで積分し、三角形 {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} を加え、三角形 {(0, 0), ( b , 0), ( b , 1/ b )} を引きます (どちらの三角形も面積は同じです)。 ^[1]

標準位置では、双曲扇形は原点における正の双曲角に対応し、原点の角度は前者の面積として定義されます。

標準位置では、双曲扇形は双曲三角形を決定します。双曲三角形は、原点に1つの頂点があり、対角線y  =  xを底辺とし、3番目の頂点が双曲線上にある直角三角形です。

${\displaystyle xy=1,\,}$

斜辺は原点から双曲線上の点（ x,y ）までの線分である。この三角形の底辺の長さは

${\displaystyle {\sqrt {2}}\cosh u,\,}$

そして高度は

${\displaystyle {\sqrt {2}}\sinh u,\,}$

ここで、u は適切な双曲角です。双曲関数の通常の定義は、双曲座標でプロットされた直角三角形の脚によって確認できます。これらの脚の長さを2 の平方根で割ると、双曲余弦座標と双曲正弦座標を持つ単位双曲線としてグラフ化できます。

円関数と双曲関数の類似性は、オーガスタス・ド・モルガンの著書『三角法と二重代数』（1849年）で説明されている。^[2] ウィリアム・バーンサイドは、論文「双曲関数の加法定理に関する注記」の中で、双曲線上の点xy = 1 から主対角線上に投影されたこのような三角形を使用している。^[3]

f( x ) = x ^{p は}、双曲線の求積法に対応するp = –1 の場合を除いて、代数的不定積分を持つことが知られています。その他の場合は、カヴァリエリの求積法の公式によって与えられます。放物線の求積法は紀元前 3 世紀にアルキメデスによって達成されていました(放物線の求積法) が、双曲求積法では 1647 年に新しい関数の発明が必要でした。グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンは、双曲線で囲まれた面積を計算する問題に取り組みました。彼の発見は自然対数関数につながりました。これは、双曲線の下で積分または面積を求めることで得られることから、かつては双曲対数と呼ばれていました。 ^[4]

1748 年に『無限の解析入門』が出版される前は、自然対数は双曲扇形の面積で表されていました。レオンハルト・オイラーは、10 ^xなどの超越関数を導入してこの状況を変えました。オイラーは、 e を、（双曲線の下または標準位置の双曲扇形内の）面積の単位を生成するbの値と見なしました。これにより、自然対数は超越関数 e ^xの逆関数として認識されるようになりました。

負の対数および対応する負の双曲角の場合に対応するため、x が1 より大きいか小さいかに応じて異なる双曲セクターが構築されます。面積が 1/2 の可変直角三角形は、二等辺三角形の場合は、自然対数は、y = 1/ xにおける1 とxの間の面積として知られています。正の双曲角は、面積で与えられ、 負の双曲角は、面積の負数で与えられます。この規則は、(0,1) におけるxの自然対数が負であることと一致しています。 ${\displaystyle V=\{(x,1/x),\ (x,0),\ (0,0)\}.}$${\displaystyle T=\{(1,1),\ (1,0),\ (0,0)\}。}$${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}+TV.}$${\displaystyle \int _{x}^{1}{\frac {dt}{t}}+VT.}$

フェリックス・クラインの非ユークリッド幾何学に関する本が1928年に出版されたとき、それは射影幾何学を参照してこの主題の基礎を提供した。直線上の双曲測度を確立するために、クラインは双曲扇形の面積がその概念を視覚的に説明することを指摘した。^[5]

双曲扇形も双曲線上に描くことができる。このような双曲扇形の面積は幾何学の教科書で双曲距離を定義するために使われている。^[6]${\displaystyle y={\sqrt {1+x^{2}}}}$

• スクイーズマッピング

• メレン・W・ハスケル（1895）「双曲関数の概念の導入について」アメリカ数学会報1（6）：155-9。